病毒扩散及传播的控制模型

•总结资料•总结资料•总结资料•总结资料病毒扩散与传播的控制模型幫要本文基于传统的传染病模型，以做分方程的方法作为理沱基础，结合采取的措施不同的悄况,用MATLAB狀件拥合岀患者人数与时间的曲线关系，从中得出应釆取的相应的应对措施。在考虑地区总人数不变，人辞被分为五类：晞诊患者、様做患者、治愈者、死亡和正常人，再将这几类分为可传染性和不可传染性两种。Sllltt岀单位时间正常人数的变化、单位时同潜伏期病人数的变化、单位时间确诊患者人数的变化、单位时间退出的人数的变化、单位时间樋眦患者人数的变化等关系建立做分方程模塑，得到病毒扩散与传播的控胃模塑。在此基础上，我门稱所要求的冋題带入模塑得到患者人数厕时间变化的曲线图，根据逆图形得岀模塑给果的变化。逆样一来就可根据逆给果的变化得岀相应的应对措隨。此外对该传染病的潜伏期及治愈miaij了灵敏度分林，发现潜伏期的变化会对整个模型的结果产生较大影叫，而治愈期的变化只会使传染病的持续时间缩短，（a对累枳的患病人数影响不夫。应尽量避免患者与正常人接肌城少正常人患病的可能性；加大隔离措施強度；减少施ii患者去住院的时同，辻患者及时住院治疗。养成良好的卫生习惯，保证科学BfBK,适当ffliS,减少压力，保证营养，增强f人抵杭力，降低被病毒感染的危险。关键词：曲线关系13分方程模塑病毒扩散与传播一、冋題重述已知某种不完全确知的具有传染性病毒的潜伏期为心天，病患者的治愈时间为心天。该病毒可通11貞接接耻、口腔飞沫进行传播、扩散，该人IS的人沟毎天接触人数为为了控制病毒的扩散与传播将该人8?分为五类：确诊患者、様做患者、治愈者、死亡和正常人，可控制参数是隔离措隨强度"（潜伏期的患者被隔离的百分数）。要扎1、 在合理的個设下试建立该病毒扩散与传播的控抽模塑；2、 利用你所建立的模型针对如下数据进行模81条件［:〃1=1,〃2=11'〃3=30,厂=10；条件2：已经知道的初始发病人数为890、融（fl患者为2000；条件3：隔离措施強®/?=60%;条件4：患者2天后人院治疗，融（£1患者2天后被隔离,试给出患者人数帧时间变化的曲线图，并明确标识图中的一些特殊点的具体数据，分析给果的合理性。3、 若將2中的条件4改为条件：患者1.5天后入院治疗，显做患者1.5天后被隔离,模81给果有何变化?4、 若仅将2中的条件3改为条件：隔离措施辍度卩二40%,模给果有何变化？5、 若仅将2中的条件1改为条件:%+"5=30,-250,模U结果有何变化？6、 分析问题中的参数对计算给果的敏感性。7、 针对如上数据给政府部门写一个不1311400字的建放报告。二、网题分析在考虑地区总人数不变，人辞被分为五类：晞诊患者、様做患者、治愈者、死亡和正常人，我们可知，治愈者、死亡和正常人不可能传染病毒,我们把问題转化为如何找岀正确的关系表这式来表这岀毎天病人增加的总数的问题，找出单位时间正常人数的变化、单位时间潜伏期病人数的变化、单位时间确诊患者人数的变化、单位时间退岀的人数的变化、单位时间樋眦患者人数的变化等关系建立做分方程模里，得到病毒扩散与传播的控制模型。在冋JS—的已求出得到病毒扩散与传播的控制模塑的基础上，®IJ«后几冋所要求的问题带人模塑就可需到患者人gffiw间变化的曲线图，我m可以根据越些图得出模里結果的变化。送样一来就可根据送些模型结果的变化得岀相应的应对措隨。三、模型假设1、 稱病毒所有传播途径部視为与病原的接触;2、 在疾病传播期同所考察地区的总人数N视为常数，即认为本地区流入的人数与流出的人数相等,时同以天为计时单位;3、 该病毒处于潜伏期的病毒不具有传染性；4、 治愈者二度感染的牌率为o,MHI1以退出传染体系,因此将他们IH为“退出者”；5、 不考虑这段时间人口出生率和自然死亡率，而对于由病毒引起的死亡人数，也将其归为“退出者”;6、 被隔离的人群完全斷绝与外界的接娥，不再具有传染性；7、 不考虑被隔离而实际Q未被感染者，因为迪部分人没有自由活动，对疾病的传播（感染和被感染）基本不造成任何影晌;8、 将人群分为以下四类：正常人：易感染者确诊患者：传染者退岀者：“治愈者”和“死亡者”筑称;Itftl患者：被歸离但还没有确诊或者排除的人员;四、符号列定/:确诊病人；£：潜伏期病人（感染了但处于潜伏期没有传染性的人）；A:类做病人（症状类做感染但其实没有感染的人）；R：退岀者（建愈和死亡的确诊病人）；S]:普通易感者；病人的传染系数；«2：潜伏期病人的传染系数（假设潜伏期病人也有传染性，但&2小）；心~如：传染性病毒的潜伏期;d3：病患者的治愈W0；r该人8f的人沟毎天接融人数；P：可控制参数是隔离措葩强度（潜伏期的患者被隔离的百分数）；五、模型的建立与或解1模塑一5.1.1模型准备根据人口守11原理，可建立如下模里：模塑将疫区的总人口数看成不变（不考虑流动人口），将疫区所有的人（假设人口的自然出生率和死亡率在疫期相等）分为：I:晞诊病人•总结资料•总结资料•总结资料•总结资料 (4) (4)•总结资料E:潛伏期病人（感染了但处干潛伏期没有传染性的人）类做病人（症状类做感染（i其实没有感染的人）R：退出者（痊愈和死亡的确诊病人）5.：普通易感者5.1.1.1单位时间正常人数的变化：空=-新的感染病毒的人数-潜伏期病人的传染系数Xdt（未隔离的感染的疑似患者人数+出院的疑似患者人数）字=-引(/)(1-0)5-字=-引(/)(1-0)5-勺 (1)5.1.1.2单位时间潜伏期病人数的变化:書=未隔离的确诊患者的人数x（正常人数侏隔离的感染的疑似患者人数+出院的疑似患者人数）-潜伏期病人感染了病毒转化为确诊患者人数dF—=a}IdF—=a}I(/)(1-G7)S]+A(/)(1-q)+A(/)1GT—4+〃2 (2)5.1.1.3单位时间福诊患者人数的变化：牛潜伏期病人感染了病毒转化为确诊患者人数-确诊患者治愈后转化为正常人数和死亡的确诊病人dtd[+dtd[+d2E—— (3)5.1.1.4单位时间退岀的人数的变化:诗=确诊患者治愈后转化为正常人数和死亡的确诊病人dR17—=—1dtd35.1.1.5单位时间疑Ifl患者人数的变化:

齐=新增加的疑似患者的人数-未隔离的确诊患者X(未隔离的感染的疑似患者人数+出院的疑似患者人数)z/4 1飞=a》z/4 1飞=a》A(/)(l-0)+A⑴0丁■ 3■dAdtSx-axI(r)(l-G7)A(r)(l-G7)+A(/)G7—cK (5)其中人,SI0,观，E°为初值⑴、传染病毒的平均潛伏期为，即单位时间潜伏期病人以比例常数2-^-＞0,转为感染者；心+如、确诊病人平均死亡或痊愈的疗程为厶，即单位时间感染者的恢夏率为二＞0;£、撬做患者平均疗程为心，即单位时间疑做患者的恢夏率为：＞0;£、单位时同毎个易感者与病人的接触率参数为r＞0;、易感者与豊必患者的接触率参数勺＞0；、考虑样似患者感染病菌转为潜伏期病人,但潛伏期病人不会转为显似患者；、p为隔离措施58度；、为痊愈的被解除隔离的疑似患者；“3、I、E和A均为被隔离对象；、(E+A)p为樋(fl患者；初値的设定：(这些数据是一个根摇人口总数和医学常识的估计值。)A)=1，5。=1.1干JL不考虑流动人口；R)=°;

E°=°；4=100；参数的设定：设传染病平均潜伏期为5;Jj+d25'=设晞诊病人平沟死亡或痊愈的疗程为20;C43乙U\=设疑似病人平均疗程为20;C43 乙U02=1.0x10」，糅似病人与易感者的接触率参数也假设固定。5.1.2模型的建立/(/)(1-q)S]_冬A(f)(l_0)+A(/)0丄L g/(/)(1-q)S]_冬A(f)(l_0)+A(/)0丄L g亍=却⑴(1-0)&+A(/)(l-0)+A(f)Q dt L gdt1dEdtdi2E-丄/dtd、+d2 dydR17——=—1dt%dA「…—=a.A(/)(1-q)+A(/)gt丄山L d-dt'_&[/(/)(l_GT)A(r)(l-G7)+A(Z)G7—L 〃3./()=1'S]0=1・1干开，不考虑流动人口9R()=0,Eq=°94)=100。5.2模塑二5.2.1模塑建立当d]=1,〃2=11"=3O』=l(Vo=890,4)=2000,p=60%,患者两天后人院治疗、送样可以得到患者人数HIHOO送样可以得到患者人数HIHOO变化的曲线图：（如下）•总结资料送样可以得到患者人数HIHOO送样可以得到患者人数HIHOO变化的曲线图：（如下）•总结资料糅Ifl患者两天后被陶离时。逆样可以得到患者人数随时同变化的曲线图：（如下）5.2.2给果分林从图中我们可以看岀患者人saw间变化先是急剧升高，这说明这是病毒传播初期的发展趋势,然后可以看到最高点（第12.37天）时患者人数这到最大值6803000人，通过采取患者入院治疗fulfil患者的隔离措施，我们从图中可以明显看出患者的人数呈下降趋矜，并且在100天后患者人数降低到540800人。5.3模型三5.3.1模塑建立当4=1,〃2=11,〃3=30,尸=10,/（）=890,人）=2000,p=60%，患者1.5天后人院治疗、糅做患a1.5天后被隔离时。5.3.2结果分林从图中找们可以看岀在最高点（第12.39天）时患者人数这到最大值6776000人，通过釆取患者入院治疗和融似患者的隔离措葩，我们从图中可以明显看出患者的人数呈下降趋那，并且在100天后患者人数降低到516500人。与问题二相比较我们可以知道提前人院治疗可以减少患者的人数，同时也可以更好的控胃病毒的传播,更好的预肪正常人患病。5.4模型四5.4.1模塑建立当4=1,〃2=11,心=30,厂=10,人=890,\=2000,p=40%,患者两天后人院治疗、糅做患者两天后被隔离时。•总结资料•总结资料•总结资料•总结资料迪样可以得到患者人UffilH迪样可以得到患者人UffilH间变化的曲线图：（如下）•总结资料5.4.2结果分桥从图中找们可以看到最高点（第12.12天）时患者人数这到最大値6802000人，通过采取患者人院治疗和糅做患者的隔离措施，我们从图中可以明显看出患者的人数呈下降趋势,并且在100天后患者人数降低到540800人。与问题二相比较我们可以知道降低隔离措隨会贈加患者的人数，同时会对控制病毒的传播带来负面影晌，会导致更乡的正常人患病。所以我们建放医院加大病毒的控制強Ito5.5模型五5.5.1模塑建立当〃］=l,/=11，〃3=30"=250,人=890,人）=2000,p=60%,患者两天后人院治疗、簸Ifl患者两天后被隔离时。5.5.2结果分桥从图中找们可以看到最高点（第12.48天）时患者人数这到最大值6803000人，通过采取患者人院治疗和糅做患者的隔离措施，我们从图中可以明显看出患者的人数呈下降趋势,并且在100天后患者人数降低到540800人。与问題二相比般我们可以知道簡诊患者的人均接触人数增大时，患病高峰期会延迟，同时会对腔制病毒的传播带来负面影响，会导致更多的正常人患病。所以我『I建放逆些确诊患者减少与外界正常人的接触，逆样减少正常人患病的可能性。5.6模型五5.6.1模塑建立通过建立的模塑,我们对冋題二、三、四、五进行了定量的廿算，问题二、三、四、五是改变模塑中的一些参数的值，得到不同参数下的结果，并分析了参数的改变对患者数量最大值,迭到放个最大值的时间JUSffi得到控制的时间的变化，通il对这些数据给果的分析，可以得到某一参钦的改变对病毒传播过程的翻晌，通il数扬前后的对比，可以分析参数对廿算给果的敏感性，针对这个冋題，通ii以上几问的求解,可以得到以下表格(表1):表1各个参数湘应的数值彊大值时患病人数最大值隔离措施强iap患者人院前天数n人均每天接触人数R第二冋12.37468030000.6210第三间12.3967760000.61.510第四冋12.1268020000.4210第五间12.4868030000.62250(1k对患者m天后人院治疗的灵敏度分析通过问题二与问题三的解答可知，我们通过改变患者人院治疗的时同，即将m分别取值为2fH1.5天，然后得到患者人数册时间变化曲线(见图1和2),通过分桥对比可知：当m=2HI，患者人数的最高嘩这到了6803000人；当m=1.5患者人数的最高眸达到了6776000人。因此通il控制患者发病后人院治疗的时间就可适当的减少病悄持续时同。、对隔离强度p的灵敏度分林通过对问趣二与问題四的图象的观察，我m通过改变隔离箱施®bp分析数据的变化，当p城小后患者人数最大值相比第二问来说增加了，同时达到这个最大值的时间也增大了，我们还可以看岀病悄消退的时间也ffiffi的増长了，这说明隔离措施p诚小时患者人数的最高眸增夫了，同时达到这个数值的时间也相应的增大了，所以我们应尽量地增大隔离措施58度P,这样来馭使病毒消退时间减小，所以政府应尽量地增大漏离措施P、对人均毎天接瞅人数R的灵敏度分析通过对冋题二与冋题五的图像观察,我IJ通过改变人均接触人数R分桥数据的变化，当R增大时患病人数最大值在增加，同时达到这个最大值的时间也在增加,病毒的消退时同也相应地增加，所以我们应尽量腔制患者人均接触人数，应尽量地it大家少接触人,送样控制了人均接触人数，病毒的消退时同也会夫夫减小，疫悄容易得到控斟5.7病毒扩散与传播控匍的建炭报告隨着社会的进步，科学技术的发展，传鋭的传染病得到了有效的控制，但同时新发的传染病朋不Bi岀现，对于新发的某种不完全确知的具有传染性的病毒的突袭，我们首先要了解该病毒的传播方式，做好相应的肪措施。通过本模塑結果可知，被感染的人数有很大的差距，r毬夫被感染的人就毬多，所以找们应该尽量避免与病人接触，因而要尽量少去人多的地方。隔离措葩强度相比较可知，卩越小病悄很越难控制，所以政用要加强隔离措施强度。且要减少拖延患者去住院的时同，让患者员时住院治疗。而冃城少患者与外界人的接曜,减少正常人患病的可能性。最根本的实质还是平时要养成良好的卫生习惯，保込科学睡BL适当SS炼，减少压力，保证营养，贈强个人抵杭力，才可以降低被病毒感染的危险。兀、模型的坪价与推广6.1模型的坪价6.1.1模塑的优点⑴、将医学领域的间题转化到数学領域上进行分折和讨论,可以定量地得出传染病的发展趋势以及对未来的预测结果，具有很强的理论性和可靠性。、模里中涝及到的参变量都有相应的数弼来源，结合一定的数弼可以很方便it算岀，而且各变量间关系明确，易于模塑的求解。、由于本文的数学模塑基于连续的微分方程，不会得岀准确的解折解，我们在合理参数确定的前提下，将参uaiiifl合，准确模姒出传染病发展范势走向的曲线，从宏观的用度上给社会一个明晰的假念，易于被社会接受，对政用和人们果取措施起到了指导作用，具有一定的实用价值和直观性。、it对传染病对我『1各方面的影叫，我们给碩府相应的碩策，在现实生活中很具有实用性。6.1.2模塑的不足、釆用《!分方程方法建立数学模型，易受外界因素变化的影响，其稳定性具有相对性，逹就提出了外界干扰对该模塑的影响程度的研究，从而建立传染病模里的稳定性理论,这点需在模塑推广中进一步讨论。、模里中的参数变量有其自身的I8机性,虽然我『I采取对已知数据进行统it平均的处理方法，但在廿算结果上仍存在一定的淚差。、模里中涉及到的参数较多，在实际生活当中很难确定各参数。6.2模型的推广找们建立该传染病模型的方法和思想对其他类做的问题也很适用，可广泛应用于人口、交通、肿卿、战争、几何、物理、化学、体育、社会、经济等方面。对干B!分模里受外界因素的干扰悄况，我『I可以借助一f称为雅普谥夫函数WffiM函数和ttaia分方程所廿算岀来的全导数的符号性质来直接推Bi方程组的稳定11问题，亦称为雅普iUl接法。七、参考文献启源金星叶俊，《数学模型》（第三版），：高等教育，2003o甘筱青，《数学建模教育政竞赛》，:高校,2004o静但埼，《数学建模与数学实验》（第二版），:高等教育,2003o吴建国，《数学模塑案例精编》，:中国水利水电,2005o八、附件问题二程序:functionx=ill(t,x)%s1=x(1)e=x(2)i=x(3)r=x(4)a=x(5);问题El问题El程序:•总结资料问题El问题El程序:•总结资料问题三程序:•总结资料问题三程序:•总结资料m1=10;m2=1*10；(-11);w=0.6;d3=30;d2=11;d1=1;x=[-m1*x(3)*(1-w)*x(1)-m2*(x(5)*(1-w)+x(5)*w*1/d3)*x(1),m1*x(3)*(1-w)*(x(1)+x(5)*(1-w)+x(5)*w*1/d3)-2/(d1+d2)*x⑵,2/(d1+d2)*x(2)-1/d3*x(3),1/d3*x(3),m2*(x(5)*(1-w)+x(5)*w*1/d3)*x(1)-m1*x(3)*(1-w)*(x(5)*(1-w)+x(5)*w*1/d3)]*;s0=[10000000,500,890,0,2000];[t,x]=ode23s(ill,[0,100],s0)pl0t(t,x(:,3));holdontext(0,890,'(0,890)1,'color1,'r')text(12.37,6.803E+006；(12.37,6.803E+006)','color1,'r')text(74,5.408E+005/(100.5.408E+005)','color1,'r')plot(0,890s,g+,,12.37,6.803E+006,,g+,,100,5.408E+005t,g+')functionx=ill(t,x)%s1=x(1)e=x(2)i=x(3)r=x(4)a=x(5);m1=10;m2=1*10.7-11);w=0.6;d3=30;d2=11;d1=1;x=[-m1*x(3)*(1-w)*x(1)-m2*(x(5)*(1-w)+x(5)*w*1/d3)*x(1),m1*x(3)*(1-w)*(x(1)+x(5)*(1-w)+x(5)*w*1/d3)-2/(d1+d2)*x(2),2/(d1+d2)*x(2)-1/d3*x(3),1/d3*x(3),m2*(x(5)*(1-w)+x(5)*w*1/d3)*x(1)-m1*x(3)*(1-w)*(x(5)*(1-w)+x(5)*w*1/d3)]';s0=[10000000,500,890,0,2000];[t,x]=ode23s(ill,[0,100],s0)pl0t(t,x(:,3));holdontext(0,890,'(0,890)1,'color1,'r')text(12.39,6.776E+006；(12.39,6.776E+006)','color1,7')text(80,5.165E+005,'(100,5.165E+005)Tcolor',丫)plot(0,890s,g+,,12.39,6.776E+006,,g+,,100,5.165E+005t,g+,)问题五程序:•总结资料问题五程序:•总结资料•总结资料•总结资料functionx=ill(t,x)%s1=x(1)e=x(2)i=x(3)r=x(4)a=x(5);m1=10;m2=1*10.7-11);w=0.4;d3=32;d2=11;d1=1;x=[-m1*x(3)*(1-w)*x(1)-m2*(x(5)*(1-w)+x(5)*w*1/d3)*x(1),m1*x(3)*(1-w)*(x(1)+x(5)*(1-w)+x(5)*w*1/d3)-2/(d1+d2)*x(2),2/(d1+d2)*x(2)-1/d3*x(3),1/d3*x(3),m2*(x(5)*(1-w)+x(5)*