助推-滑翔导弹弹道优化的序列二次规划法求解

助推-滑翔导弹弹道优化的序列二次规划法求解

0国内外研究现状随着科学技术体系的完善，传统的弹道导弹和军用飞机飞机不能达到足够的攻击效果。因此，有必要结合传统弹头和军用飞机飞机弹的优点，发展一种新的高速飞机飞机。早在1933年,德国科学家Dr.EugeneSanger提出了一种名为“Silverbird”的助推-跳跃式概念飞行器。而在1948年,钱学森教授在美国火箭学会年会上报告了一种可以完成洲际飞行的火箭助推-再入大气层滑翔机动飞行高速运输系统。俄罗斯正在研制并成功试验了一种新型核导弹系统,既可以像巡航导弹飞行,也可以像洲际导弹飞行,并采用了最新变轨技术,能够有效摆脱现有和在研防御系统的拦截。美国正在研制的通用大气飞行器(CAV)也是一种可以采用洲际弹道导弹助推,再入无动力滑翔的飞行器。近年来,国内专家也提出了基于“钱学森弹道”的新概念导弹,其中包括本文所要研究的火箭助推-再入大气层无动力滑翔远程飞航导弹。发展这类新概念导弹需要在弹道设计与优化方面进行深入研究。文献利用解析法近似分析了此类导弹的助推段、弹道式飞行段、再入跳跃式飞行段和滑翔式飞行段各段弹道射程与助推段关机点速度的关系;文献在此基础上近似分析了全球到达高超声速飞行器的弹道特性;文献利用简化的制导方案近似优化了滑翔段的射程;文献利用奇异摄动法和二阶梯度法分别进行了滑翔段最大射程优化;文献、采用遗传算法分别对此类导弹的引入段和滑翔段进行优化;文献采用非线性规划方法对中段弹道方案进行了初步分析。以上文献除、对全弹道进行近似分析以外,其他文献都只是针对助推段结束后的部分或全部弹道进行分析。迄今为止,国内外针对一定输入条件下,助推-滑翔导弹的全弹道优化问题研究较少。本文对助推-滑翔导弹的弹道特性进行研究,利用序列二次规划法对助推-滑翔导弹纵向弹道分段进行优化,求解满足给定约束条件下的最大射程,并研究助推段关机点弹道倾角与射程的关系。1气动发射网络助推-滑翔导弹实际上是,将弹道导弹与飞航导弹进行组合,利用弹道导弹射程较远的特性,以及飞航导弹精度高、机动性良好的特点,采用火箭助推-再入大气层滑翔机动飞行弹道或火箭助推-再入大气层跳跃机动飞行弹道,并结合相应的制导、导航和控制方法,实现对目标精确打击的一种新式导弹。整个飞行过程是:首先,弹道导弹作为助推级将滑翔弹头助推到几十千米的高空,之后,弹头在大气层外做自由段飞行,最后,弹头再入大气层依靠气动力进行滑翔或跳跃机动飞行并完成对目标的攻击,见图1。助推-滑翔弹道理论提出以后,人们对再入机动弹道进行过许多研究,按弹道形态可分为再入滑翔式弹道(钱学森弹道)和再入跳跃式弹道(Sanger弹道)两类,见图1;按是否携带动力系统又可以分为再入有动力和无动力弹道两类。本文将着重研究助推-再入无动力全程跳跃式弹道。2气动模型参数忽略地球自转及非球形摄动影响,助推-滑翔导弹的纵平面全弹道运动方程为:{˙υ=1m(Ρcosα-Cxqs)-gsinΘ(1)˙Θ=1mυ(Ρsinα+Cyqs)-(gυ-υR+h)cosΘ(2)˙h=υsinΘ(3)˙L=RυcosΘR+h(4)˙m=ce(5)φ=α-L/R+Θ(6)ny=(Ρsinα+Cyqs)/(mg)(7)⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪υ˙=1m(Pcosα−Cxqs)−gsinΘ(1)Θ˙=1mυ(Psinα+Cyqs)−(gυ−υR+h)cosΘ(2)h˙=υsinΘ(3)L˙=RυcosΘR+h(4)m˙=ce(5)φ=α−L/R+Θ(6)ny=(Psinα+Cyqs)/(mg)(7)其中,υ为速度大小;Θ为弹道倾角;h为离地高度;L为射程;m为质量;P为发动机推力;α为攻角,是一待定量;φ为俯仰角;ny为法向过载;q为动压;s为参考面积;g为地球引力加速度;R为地球平均半径;Cy,Cx分别为气动升力和阻力系数;ce为发动机燃料质量流。大气模型采用文献中所给出的拟合公式。助推级发动机模型、外形气动模型等采用单级弹道导弹相关参数,推力,燃料质量流取为恒值;滑翔级不带发动机,气动外形为升力体。助推-滑翔导弹的主动段可采用方案弹道,并通过俯仰角进行控制。被动段可采用方案弹道与导引弹道,利用俯仰角或法向过载进行控制。在助推-滑翔导弹飞行过程中,气动系数满足如下关系:Cy=Cy(Μa,α)(8)Cx=Cx(Μa,α)(9)Cy=Cy(Ma,α)(8)Cx=Cx(Ma,α)(9)即,Cy,Cx均与攻角有关。可见,俯仰角与法向过载也均同攻角有关。在初步设计阶段,为了研究的方便,可通过优化攻角得到助推-滑翔导弹的最优弹道。3构建并分析了基于弹性优化的模型3.1易遭受性攻击本文旨在研究,在一定输入条件下,单级弹道导弹+升力体滑翔级的全弹道优化问题。整个飞行过程可描述为:在给定助推级和滑翔级各参数条件下,导弹由静止状态从地面垂直发射,经过垂直上升段、转弯段后关机,滑翔级与助推级分离,进入被动段飞行;在被动段飞行过程中,滑翔级依靠气动力进行控制,经过多次跳跃或滑翔飞行,最终以某落地速度垂直攻击目标。基于上述飞行过程,弹道优化问题具体描述为:在[0s,tf]内(tf为未知的飞行总时间),确定容许控制量α和参量tf,使得由状态方程(1)～(5)确定的系统,从给定的初始条件积分到终端状态,在满足规定约束条件下,纵平面射程最大。其中,α和tf可通过优化过程给出。3.2助推-滑动段纵向弹性系统优化对于常规弹道导弹,传统的研究方法将弹头近似为一个阻力和升力均很小的再入体,被动段简化为椭圆弹道来近似计算导弹最大射程,得到的关机点弹道倾角较大。然而,助推-滑翔导弹滑翔级的气动力对于被动段飞行影响较大,已不能采用上述方法进行处理,需要提出一种新的解算方法。本文采用如下解算思路。将助推-滑翔导弹纵向弹道分两段(即助推段和滑翔段)分别进行优化。首先,进行助推段优化,将助推段的终端弹道倾角作为衔接量,助推段关机点最大能量(势能和动能之和)作为性能指标,即,在选定的若干终端弹道倾角下,分别优化出助推段终端能量最大的弹道,见图2;其次,将助推段优化出来的关机点数据,作为滑翔段弹道的积分初始值,以射程最大作为性能指标,并在要求的约束下优化弹道。最后,在所有满足约束的最优弹道中找出射程最大的弹道,就是满足所给总体参数下的最优纵向弹道。3.3区域状态优化利用最优控制问题的一般描述方法,将助推-滑翔导弹的弹道优化模型列写如下:(1)性能指标助推级:关机点比能最大J=-E=(-υ2/2-gh)|tf1(10)J=−E=(−υ2/2−gh)|tf1(10)滑翔级:射程最大J=-∫tf2t02RυcosΘR+hdt(11)(2)状态方程为纵平面运动模型(3)控制量为攻角α(4)初始状态助推段:垂直上升段末状态滑翔段:助推段关机点状态(5)优化量约束攻角大小约束:|α|≤αabsmax攻角变化率约束:˙α≤˙αmax法向过载约束:|Ρ⋅sinα+Ym⋅g|≤nymax助推级攻角端点约束:α(t01)=α(tf1)=0滑翔级攻角端点约束:α(t02)=0(6)末端状态助推级:Θ(tf1)=Θf1其中,t01为助推级垂直上升段结束时刻,可由导弹初始推重比得到;tf1为助推级关机时刻,是一定值,可见,助推段优化是一个终端时间固定的优化问题;t02为滑翔级飞行初始时刻,即t02=tf1;tf2为滑翔级飞行结束时刻,是一未定值,可见,滑翔段优化是一个终端时间不固定的优化问题;αabsmax、˙αmax与nymax均按各飞行段取值;攻角端点约束是为了保证控制量平滑衔接,并且减小级间分离时气动力矩的影响。4sqp算法及优化从上述优化模型可见,助推-滑翔导弹弹道优化问题涉及多种复杂约束,因此,是一种比较复杂的最优控制问题,一般的优化方法难以解决。序列二次规划法(SQP)是一种解决复杂最优控制问题较为有效的数值优化方法。本文将采用这种方法解决弹道优化问题。序列二次规划法属于解决最优控制问题的直接法,它首先将无限维的最优控制问题转化为有限维的非线性规划问题(NLP),这种转化是通过分段多项式近似控制(和状态)变量来达到的。然后,这个得到的NLP问题就可以通过序列二次规划法来求解。做法简述如下:(1)如果性能指标中含有积分形式,引入一个新的变量y,令˙y=L(x,u,p,t)‚y(t0)=0,其中,L是性能指标中的被积函数,u为控制量(即本文的攻角),p为参量(即本文的tf2)。(2)划分时间区间[t0,tf]为N个子区间,节点为ti,即:t0<t1<…<tN-1<tN=tf。(3)控制变量的参数化将控制变量在每个节点处进行离散,每个子区间内,控制变量进行线性化插值。离散化后,可以得到:˜u=[uΤ0,uΤ1,⋯‚uΤΝ,p1,p2,⋯‚pnp]Τ其中,˜u是一广义控制量。经过上述处理,可将最优控制问题转化为有限维NLP标准型:minJ(˜u)(12)s.t.g(˜u)=0h(˜u)≤0应用序列二次规划法对此NLP进行解算,可得其二次规划问题(QP)形式:minq(d˜u)=0.5d˜uΤ⋅L˜u˜u⋅d˜u+∼∇L⋅d˜us.t.g(˜u)+∼∇g(˜u)⋅d˜u=0h(˜u)+∼∇h(˜u)⋅d˜u≤0(13)其中,∼∇(⋅)表示梯度;d˜u表示˜u的增量;L˜u˜u表示Hessian矩阵。为了使SQP算法保持全局收敛性,新点的计算应该写成˜u1=˜u0+A⋅d˜u。其中,A是参考步长,能使˜u1成为改进解。实际上,也就是使Ρ(˜u1,r)<Ρ(˜u0,r),这里的P(˜u,r)是一个罚函数,如下式:Ρ(˜u,r)=J(˜u)+nc(Ν+1)+nf∑i=1ri|gi(˜u)|+nc(Ν+1)∑i=1rnc(Ν+1)+nf+imax(0,hi(˜u))其中,ri是罚因子。为了实现SQP算法,还需要解决两个问题。其一,矩阵L˜u˜u的修正方式;其二,QP子问题相容性。SQP具体算法可参考文献。按照序列二次规划算法,将助推-滑翔导弹弹道优化模型分两段分别进行离散化处理,得到其弹道的非线性规划问题;然后,对其应用序列二次规划算法就可以进行解算。5最优地位和阵风下最优是最优从宽环上的连接给定助推火箭发动机工作时间tf1=61s,初始质量m0=13400kg,发动机质量流˙m=200kg/s,参考面积为1m2,αabsmax1=5°,˙αmax1=1°/s,nymax1=1.2,t01=1s;滑翔级无发动机,质量为700kg,参考面积为0.3m2,αabsmax2=25°,˙αmax2=5°/s,nymax2=20。优化计算结果见图3和4,分别为取不同Θf1的高度和速度变化曲线。分析这2幅图可知,Θf1=27.5°时射程最大,可达3534.467km。对多个Θf1的最优弹道进行计算,得到其射程与关机点弹道倾角的拟合曲线,见图5。可见,射程并不完全随着关机点弹道倾角的增大而增大;两条曲线以Θf1=28°分界,在此处及其右侧,满足所给约束的最优弹道只有2个波峰,而其左侧可以达到3个波峰,波峰表示弹道起伏,有助于延长飞行距离。同时,从图6可见,关机点最大能量随弹道倾角的增大而增大,但相差较小。综合分析图5与图6可知,关机点能量也不能完全决定最大射程。由于计算本身带有一定的误差,本文研究表明,取Θf1=27.5°时,可认为它是射程最大的弹道,见图3和4中射程最大者,其弹道波谷处高于30km,有利于避开地面防空火力,且弹道比较平滑,起伏较小,利于控制。最优攻角变化曲线见图7,助推级攻角绝对值最大值为4°,滑翔级攻角绝对值最大值为22.9°,均小于给定最大值。法向过载变化曲线见图8,助推级法向过载绝对值的最大值为1.2,滑翔级法向过载绝对值最大值为14.02,均在允许值范围内。6助推-滑动先进的我国—结论综上分析,可以得到如下结论:(1)采用“分段”优化方法处理单级助推-滑翔式弹道的优化问题,符合其弹道的具体情况,也便于分析滑翔级的弹道特征。(2)采用本文所给的序列二次规划法处理此类飞行器的复杂多约束弹道优化问题行之有效。(3)满足所给约束条件下,起伏次数较多的弹道,射程较大,弹道的起伏有利于延长飞行距离,且弹道主要集中在较高高度,利于突防。(4)采用本文所给的控制