2024届河北省衡水市故城县高级中学数学高一上期末经典模拟试题含解析

2024届河北省衡水市故城县高级中学数学高一上期末经典模拟试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．已知集合，，则集合A. B.C. D.2．“龟兔赛跑”讲述了这样的故事：领先的兔子看着慢慢爬行的乌龟，骄傲起来，睡了一觉．当它醒来时，发现乌龟快到终点了，于是急忙追赶，但为时已晚，乌龟还是先到达了终点．用，分别表示乌龟和兔子所行的路程(为时间)，则下图与故事情节相吻合的是（）A. B.C. D.3．函数取最小值时的值为（）A.6 B.2C. D.4．函数的最大值为A.2 B.C. D.45．如果函数在区间上单调递减，则的取值范围是（）A. B.C. D.以上选项均不对6．下列四个选项中正确的是（）A B.C. D.7．要得到函数的图象，只需的图象A.向左平移个单位，再把各点的纵坐标伸长到原来的倍（横坐标不变）B.向左平移个单位，再把各点的纵坐标缩短到原来的倍（横坐标不变）C.向左平移个单位，再把各点的纵坐标伸长到原来的倍（横坐标不变）D.向左平移个单位，再把各点的纵坐标伸长到原来的倍（横坐标不变）8．德国著名的天文学家开普勒说过：“几何学里有两件宝，一个是勾股定理，另一个是黄金分割，如果把勾股定理比作黄金矿的话，那么可以把黄金分割比作钻石矿．”黄金三角形有两种，其中底与腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为是最美的三角形，它是两底角为的等腰三角形（另一种是两底角为的等腰三角形）．例如，五角星由五个黄金三角形与一个正五边形组成，如图所示，在其中一个黄金△ABC中，．根据这些信息，可得sin54°＝（）A. B.C. D.9．下列命题正确的是A.若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行B.若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行C.若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行D.若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行10．已知，则的最小值是（）A.5 B.6C.7 D.8二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．设，则a，b，c的大小关系为_________.12．已知满足任意都有成立，那么的取值范围是___________.13．设x，．若，且，则的最大值为___14．已知角的终边过点，则___________.15．已知函数若关于的方程有5个不同的实数根，则的取值范围为___________.16．不等式的解集是___________.（用区间表示）三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．如图，三棱柱中，，，，为的中点，且.（1）求证：平面；（2）求与平面所成角的大小.18．某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券等稳健型产品的收益与投资额成正比，投资股票等风险型产品的收益与投资额的算术平方根成正比，已知投资1万元时两类产品的收益分别为万元和万元（如图）.（1）分别写出两种产品的收益和投资的函数关系；（2）该家庭现有20万元资金，全部用于理财投资，问：怎样分配资金能使投资获得最大的收益，其最大收益为多少万元？19．如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，该四棱锥的正视图和侧视图均为腰长为6的等腰直角三角形.（1）画出相应的俯视图，并求出该俯视图的面积；（2）求证：；（3）求四棱锥外接球的直径.20．已知函数，（1）求函数的最大值及取得最大值时的值；（2）若方程在上的解为，，求的值21．某地区今年1月，2月，3月患某种传染病的人数分别为52，54，58为了预测以后各月的患病人数，甲选择的了模型，乙选择了模型，其中y为患病人数，x为月份数，a，b，c，p，q，r都是常数，结果4月，5月，6月份的患病人数分别为66，82，115，1你认为谁选择的模型较好？需说明理由2至少要经过多少个月患该传染病的人数将会超过2000人？试用你选择的较好模型解决上述问题

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、B【解题分析】利用一元二次方程的解法化简集合化简集合，利用并集的定义求解即可.【题目详解】由一元二次方程的解法化简集合，或，，或，故选B.【题目点拨】研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性.研究两集合的关系时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，本题实质求满足属于集合或属于集合的元素的集合.2、B【解题分析】分别分析乌龟和兔子随时间变化它们的路程变化情况,即直线的斜率变化即可.【题目详解】解：对于乌龟，其运动过程分为两段：从起点到终点乌龟没有停歇，一直以匀速前进，其路程不断增加；到终点后，等待兔子那段时间路程不变；对于兔子，其运动过程分三段：开始跑的快,即速度大，所以路程增加的快；中间由于睡觉，速度为零，其路程不变；醒来时追赶乌龟，速度变大，所以路程增加的快；但是最终是乌龟到达终点用的时间短.故选：B【题目点拨】本题考查利用函数图象对实际问题进行刻画，是基础题.3、B【解题分析】变形为，再根据基本不等式可得结果.【题目详解】因为，所以，所以，当且仅当且，即时等号成立.故选：B【题目点拨】本题考查了利用基本不等式求最值时，取等号的条件，属于基础题.4、B【解题分析】根据两角和的正弦公式得到函数的解析式，结合函数的性质得到结果.【题目详解】函数根据两角和的正弦公式得到，因为x根据正弦函数的性质得到最大值为.故答案为B.【题目点拨】这个题目考查了三角函数的两角和的正弦公式的应用，以及函数的图像的性质的应用，题型较为基础.5、A【解题分析】先求出二次函数的对称轴，由区间，在对称轴的左侧，列出不等式解出的取值范围【题目详解】解：函数的对称轴方程为：，函数在区间，上递减，区间，在对称轴的左侧，，故选：A【题目点拨】本题考查二次函数图象特征和单调性，以及不等式的解法，属于基础题6、D【解题分析】根据集合与集合关系及元素与集合的关系判断即可；【题目详解】解：对于A：，故A错误；对于B：，故B错误；对于C：，故C错误；对于D：，故D正确；故选：D7、D【解题分析】先将函数的解析式化为，再利用三角函数图象的变换规律得出正确选项.【题目详解】，因此，将函数的图象向左平移个单位，再把各点的纵坐标伸长到原来的倍（横坐标不变），可得到函数的图象，故选D.【题目点拨】本题考查三角函数的图象变换，处理这类问题的要注意以下两个问题：（1）左右平移指的是在自变量上变化了多少；（2）变换时两个函数的名称要保持一致.8、C【解题分析】先求出，再借助倍角公式求出，通过诱导公式求出sin54°.【题目详解】正五边形的一个内角为，则，，，所以故选：C.9、C【解题分析】若两条直线和同一平面所成角相等，这两条直线可能平行，也可能为异面直线，也可能相交，所以A错；一个平面不在同一条直线的三点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行，故B错；若两个平面垂直同一个平面两平面可以平行，也可以垂直；故D错；故选项C正确.[点评]本题旨在考查立体几何的线、面位置关系及线面的判定和性质，需要熟练掌握课本基础知识的定义、定理及公式.10、C【解题分析】，根据结合基本不等式即可得出答案.【题目详解】解：，因为，又，所以，则，当且仅当，即时，取等号，即的最小值是7.故选：C二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、【解题分析】根据指数函数和对数函数的单调性可得到，，，从而可比较a，b，c的大小关系.【题目详解】因为，，，所以.故答案为：.12、【解题分析】由题意可知，分段函数在上单调递减，因此分段函数的每一段都是单调递减，且左边一段的最小值不小于右边的最大值，即可得到实数的取值范围.【题目详解】由任意都有成立，可知函数在上单调递减，又因，所以，解得.故答案为：.13、##1.5【解题分析】由化简得，再由基本不等式可求得，从而确定最大值【题目详解】，，，，，，，当且仅当时即取等号，，解得，故，故的最大值为，故答案为：14、【解题分析】根据角终边所过的点,求得三角函数,即可求解.【题目详解】因为角的终边过点则所以故答案为:【题目点拨】本题考查了已知终边所过的点,求三角函数的方法,属于基础题.15、【解题分析】根据函数的解析式作出函数的大致图像，再将整理变形，然后将方程的根的问题转化为函数图象的交点问题解决.【题目详解】由题意得，即或，的图象如图所示，关于的方程有5个不同的实数根，则或，解得，故答案为：16、【解题分析】根据一元二次不等式解法求不等式解集.【题目详解】由题设，，即，所以不等式解集为.故答案为：三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）证明见解析（2）【解题分析】（1）连结与交于点，连结，由中位线定理可得，再根据线面平行的判定定理即可证明结果；（2）方法一：根据线面垂直的判定定理，可证明平面；取的中点，易证平面，所以即所求角，再根据直棱柱的有关性质求即可得到结果；方法二:根据线面垂直的判定定理，可证明平面；取的中点，易证平面；所以即与平面所成的角，再根据直棱柱的有关性质求即可得到结果.【小问1详解】证明：如图一，连结与交于点，连结.在中，、为中点，∴.又平面，平面，∴平面.图一【小问2详解】证明：（方法一）如图二，图二∵，为的中点，∴.又，，∴平面.取的中点，又为的中点，∴、、平行且相等，∴四边形是平行四边形，∴与平行且相等.又平面，∴平面，∴即所求角.由前面证明知平面，∴，又，，∴平面，∴此三棱柱为直棱柱.设∴，，，.（方法二）如图三，图三∵，为的中点，∴.又，，∴平面.取的中点，则，∴平面.∴即与平面所成的角.由前面证明知平面，∴，又，，∴平面，∴此三棱柱为直棱柱.设，∴，，∴.18、（1）投资债券，投资股票；（2）投资债券类产品万元，股票类投资为4万元，收益最大值为万元.【解题分析】（1）设函数解析式，，代入即可求出的值，即可得函数解析式；（2）设投资债券类产品万元，则股票类投资为万元，年收益为万元，则，代入解析式，换元求最值即可.【题目详解】（1）设.由题意可得：，，所以，，（2）设投资债券类产品万元，则股票类投资为万元，年收益为万元依题意得即.令则，则所以当即时，收益最大为万元，所以投资债券类产品万元，股票类投资为4万元，收益最大值为万元.19、(1)见解析；（2）见解析；（3）.【解题分析】（1）该四棱锥的俯视图为边长为6cm的正方形（内含对角线），如图，即可得出面积(2)设法证明面即可；（3）由侧视图可求得即为四棱锥外接球的直径试题解析：(1)该四棱锥的俯视图为(内含对角线)，边长为6的正方形，如图，其面积为36.(2)证明：因为底面，底面，所以，由底面为正方形，所以,，面，面，所以面，面，所以（3）由侧视图可求得由正视图可知，所以在Rt△中，.所以四棱锥外接球直径为.20、（1）当时，函数取得最大值为；（2）.【解题分析】（1）利用同角三角函数的平方关系化简，再利用换元法即可求最值以及取得最值时的值；（2）求出函数的对称轴，得到和的关系，利用诱导公式化简可得答案.【题目详解】（1），令，可得，对称轴为，开口向下，所以在上单调递增，所以当，即，时，，所以当时，函数取得最大值为；（2）令，可得，当时，是的对称轴，因为方程在上的解为，，，，且，所以，所以，所以，所以的值为.21、（1）应将作为模拟函数,理由见解析；（2）个月.【解题分析】根据前3个月