河北省秦皇岛市达标名校2024届高一上数学期末教学质量检测试题含解析

河北省秦皇岛市达标名校2024届高一上数学期末教学质量检测试题考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．函数的定义域为A. B.C. D.2．函数与的图象可能是（）A. B.C. D.3．将函数图象上的点向右平移个单位长度后得到点，若点仍在函数的图象上，则的最小值为（）A. B.C. D.4．已知，且，则的最小值为（）A.3 B.4C.5 D.65．已知a，b为实数，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件6．直线与圆相交于两点,若,则的取值范围是A. B.C. D.7．已知，则（）A. B.C. D.38．已知，其中a，b为常数，若，则（）A. B.C.10 D.29．直线与圆x2＋y2＝1在第一象限内有两个不同的交点，则的取值范围是（）A. B.C. D.10．设，且，则等于（）A.100 B.C. D.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．已知集合（1）当时，求的非空真子集的个数；（2）当时，若，求实数的取值范围12．角的终边经过点，则的值为______13．在直三棱柱中，若，则异面直线与所成的角等于_________.14．如果在实数运算中定义新运算“”：当时，；当时，．那么函数的零点个数为______15．已知一个扇形的弧所对的圆心角为54°，半径r＝20cm，则该扇形的弧长为_____cm16．已知幂函数是奇函数，则___________.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．已知函数定义在上且满足下列两个条件:①对任意都有;②当时,有，（1）求，并证明函数在上是奇函数；（2）验证函数是否满足这些条件；（3）若，试求函数的零点.18．已知函数，（，且）（1）求函数的定义域；（2）判断函数的奇偶性，并说明理由；（3）设，解不等式19．已知不等式的解集为A，不等式的解集为B.（1）求A∩B；（2）若不等式的解集为A∩B，求的值20．如图，甲、乙是边长为4a的两块正方形钢板，现要将甲裁剪焊接成一个正四棱柱，将乙裁剪焊接成一个正四棱锥，使它们的全面积都等于一个正方形的面积（不计焊接缝的面积）（1）将你的裁剪方法用虚线标示在图中，并作简要说明；（2）试比较你所制作的正四棱柱与正四棱锥体积的大小，并证明你的结论21．已知函数（Ⅰ）当时，求在区间上的值域；（Ⅱ）当时，是否存在这样的实数a，使方程在区间内有且只有一个根？若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、C【解题分析】要使函数有意义，需满足解得，所以函数的定义域为考点：求函数的定义域【易错点睛】本题是求函数的定义域，注意分母不能为0，同时本题又将对数的运算，交集等知识联系在一起，重点考查学生思维能力的全面性和缜密性，凸显了知识之间的联系性、综合性，能较好的考查学生的计算能力和思维的全面性．学生很容易忽略，造成失误，注意在对数函数中，真数一定是正数，负数和零无意义考点：求函数的定义域2、D【解题分析】注意到两函数图象与x轴的交点，由排除法可得.【题目详解】令，得或，则函数过原点，排除A；令，得，故函数，都过点，排除BC.故选：D3、B【解题分析】作出函数和直线图象，根据图象，利用数形结合方法可以得到的最小值.【题目详解】画出函数和直线的图象如图所示，是它们的三个相邻的交点.由图可知，当在点，在点时，的值最小，易知的横坐标分别为,所以的最小值为，故选：B.4、C【解题分析】依题意可得，则，再利用基本不等式计算可得；【题目详解】解：因为且，所以，所以当且仅当，即，时取等号；所以的最小值为故选：C【题目点拨】利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方5、B【解题分析】由充分条件、必要条件的定义及对数函数的单调性即可求解.【题目详解】解：因为，所以在上单调递减，当时，和不一定有意义，所以“”推不出“”；反之，，则，即，所以“”可推出“”.所以“”是“”的必要不充分条件.故选：B.6、C【解题分析】圆，即.直线与圆相交于两点,若,设圆心到直线距离.则，解得.即，解得故选C.点睛：直线与圆的位置关系常用处理方法：（１）直线与圆相切处理时要利用圆心与切点连线垂直，构建直角三角形，进而利用勾股定理可以建立等量关系；（２）直线与圆相交，利用垂径定理也可以构建直角三角形；（３）直线与圆相离时，当过圆心作直线垂线时长度最小7、A【解题分析】结合两角和的正切公式、诱导公式求得正确答案.【题目详解】.故选：A8、A【解题分析】计算出，结合可求得的值.【题目详解】因为，所以，若，则.故选:A9、D【解题分析】如图所示：当直线过（1,0）时，将（1,0）代入直线方程得：m=；当直线与圆相切时，圆心到切线的距离d=r，即，解得：m=舍去负值.则直线与圆在第一象限内有两个不同的交点时，m的范围为.故选D10、C【解题分析】由，得到，再由求解.【题目详解】因为，所以，则，所以，则，解得，故选：C二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、（1）30（2）或【解题分析】（1）当时，可得中元素的个数，进而可得的非空真子集的个数；（2）根据，可分和两种情况讨论，可得出实数的取值范围【小问1详解】当时，，共有5个元素，所以的非空真子集的个数为【小问2详解】（1）当时，，解得；（2）当时，根据题意作出如图所示的数轴，可得或解得：或综上可得，实数的取值范围是或12、【解题分析】以三角函数定义分别求得的值即可解决.【题目详解】由角的终边经过点，可知则，，所以故答案为：13、【解题分析】如图以点为坐标原点，分别以为轴建立空间直角坐标系,利用空间向量求解即可.【题目详解】解：因为三棱柱为直三棱柱，且，所以以点为坐标原点，分别以为轴建立空间直角坐标系,设，则，所以，所以，因为异面直线所成的角在，所以异面直线与所成的角等于，故答案为：【题目点拨】此题考查异面直线所成角，利用了空间向量进行求解，属于基础题.14、【解题分析】化简函数的解析式，解方程，即可得解.【题目详解】当时，即当时，由，可得；当时，即当时，由，可得（舍）.综上所述，函数的零点个数为.故答案为：.15、【解题分析】利用扇形的弧长公式求弧长即可.【题目详解】由弧长公式知：该扇形的弧长为(cm).故答案为：16、1【解题分析】根据幂函数定义可构造方程求得，将的值代入解析式验证函数奇偶性可确定结果.【题目详解】由题意得，∴或1，当时，是偶函数；当时，是奇函数.故答案为：1.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)见解析;(2)见解析;(3).【解题分析】令代入即可求得，令，则可得，即可证明结论根据函数的解析式求出定义域满足条件，再根据对数的运算性质，计算与并进行比较，根据对数函数的性质判断当时，的符号，即可得证用定义法先证明函数的单调性，然后转化函数的零点为，利用条件进行求解【题目详解】（1）对条件中的，令得.再令可得所以在（－1，1）是奇函数.(2)由可得，其定义域为（-1，1），当时，∴∴故函数是满足这些条件.（3）设，则，，由条件②知，从而有，即故上单调递减，由奇函数性质可知,在（0，1）上仍是单调减函数.原方程即为，在(-1,1)上单调又故原方程的解为.【题目点拨】本题考查的知识点是函数的奇偶性与函数的单调性，考查了对数函数的图象和性质，解题的关键是熟练掌握抽象函数的处理方式，将抽象问题具体化，有一定的难度和计算量18、（1）；（2）奇函数，理由见解析；（3）.【解题分析】（1）由对数真数大于零可构造不等式组求得结果；（2）根据奇偶性定义判断即可得到结论；（3）将函数化为，由对数函数性质可知，解不等式求得结果.【题目详解】（1）由题意得：，解得：，定义域为.（2），为定义在上的奇函数.（3）当时，，由得：，解得：，的解集为.19、（1）A∩B={x|-1＜x＜2}；（2）.【解题分析】（1）将集合A,B进行化简，再根据集合的交集运算即可求得结果；（2）由题意知-1,2为方程的两根，代入方程联立方程组，即可解得结果.试题解析：解：（1）A={x|-1＜x＜3},B={x|-3＜x＜2}，∴（2）-1,2为方程x2＋ax＋b=0的两根∴∴.考点：集合的运算；方程与不等式的综合应用.20、(1)见解析(2)正四棱柱的体积比正四棱锥的体积大【解题分析】1该四棱柱的底面为正方体，侧棱垂直底面，可知其由两个一样的正方形和四个完全相同的长方形组成，对图形进行切割，画出图形即可，画法不唯一；2正四棱柱的底面边长为2a，高为a，正四棱锥的底面边长为2a，高为h=(3a)解析：（1）将正方形甲按图中虚线剪开，以两个正方形为底面，四个长方形为侧面，焊接成一个底面边长为2a，高为a的正四棱柱将正方形乙按图中虚线剪开，以两个长方形焊接成边长为2a的正方形为底面，三个等腰三角形为侧面，两个直角三角形合拼成为一侧面，焊接成一个底面板长为2a，斜高为3a的正四棱锥（2）∵正四棱柱的底面边长为2a，高为a，∴其体积V1又∵正四棱锥的底面边长为2a，高为h=(3a)∴其体积V∵42即4>823，4故所制作的正四棱柱的体积比正四棱锥的体积大（说明：裁剪方式不唯一，计算的体积也不一定相等）点睛：本题考查了四棱锥和四棱柱的知识，需要掌握二者的特征以及其体积的求法，对于图形进行分割，画出图形即可，注意画法不唯一，结合体积公式求得体积，然后比较大小即完成解答21、（Ⅰ）；（Ⅱ）存在，.【解题分析】（Ⅰ）先把代入解析式，再求对称轴，进而得到函数的单调性，即可求出值域；（Ⅱ）函数在区间内有且只有一个零点，转化为函数和的图象在内有唯一交点，根据中是否为零，分类讨论，结合函数的性质，即可求解.【题目详解】（Ⅰ）当时，，对称轴为：，所以函数在区间单调递减，在区间单调递增；则，所以在区间上的值域为；（Ⅱ）由，令，可得，即，令，，，函数在区间内有且只有一个零点，等价于两个函数与的图象在内有唯一交点；①当时，在上递减，在上递增，而，所以函数与