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文档简介

2024届上海市高桥中学数学高一上期末质量跟踪监视模拟试题注意事项1.考生要认真填写考场号和座位序号。2.试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上,在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答;第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3.考试结束后,考生须将试卷和答题卡放在桌面上,待监考员收回。一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每个小题给出的四个选项中,恰有一项是符合题目要求的1.已知,则的最大值为()A. B.C.0 D.22.如图,一个直三棱柱形容器中盛有水,且侧棱.若侧面水平放置时,液面恰好过的中点,当底面ABC水平放置时,液面高为()A.6 B.7C.2 D.43.由直线上的点向圆引切线,则切线长的最小值为()A. B.C. D.4.已知集合,集合,则A. B.C. D.5.下列四个函数,最小正周期是的是()A. B.C. D.6.已知定义在R上的函数的图象是连续不断的,且有如下对应值表:x123453那么函数一定存在零点的区间是()A. B.C. D.7.已知条件,条件,则p是q的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件8.如图,在正方体中,异面直线与所成的角为()A.90° B.60°C.45° D.30°9.已知某几何体的三视图(单位:cm)如图所示,则该几何体的体积是()A.108cm3 B.100cm3C.92cm3 D.84cm310.若函数(且)的图像经过定点P,则点P的坐标是()A. B.C. D.二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分。11.已知函数,则______.12.在平面直角坐标系中,以轴为始边作两个锐角,,它们的终边分别与单位圆相交于,两点,,的纵坐标分别为,.则的终边与单位圆交点的纵坐标为_____________.13.如图,已知四棱锥P-ABCD,底面ABCD为正方形,PA⊥平面ABCD.给出下列命题:①PB⊥AC;②平面PAB与平面PCD的交线与AB平行;③平面PBD⊥平面PAC;④△PCD为锐角三角形.其中正确命题的序号是________14.已知函数,则______,若,则______.15.的边的长分别为,且,,,则__________.16.若,,则______三、解答题:本大题共5小题,共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.已知函数的图象相邻两条对称轴之间的距离为.(1)当时,求函数的最大值和最小值;(2)将函数的图象向左平移个单位后得到函数的图象,若为偶函数,求的值.18.2015年10月,实施了30多年的独生子女政策正式宣告终结,党的十八届五中全会公报宣布在我国全面放开二胎政策.2021年5月31日,中共中央政治局召开会议,会议指出进一步优化生育政策,实施一对夫妻可以生育三个子女政策及配套支持措施,有利于改善我国人口结构,落实积极应对人口老龄化国家战略,保持我国人力资源禀赋优势.某镇2021年1月,2月,3月新生儿的人数分别为52,61,68,当年4月初我们选择新生儿人数和月份之间的下列两个函数关系式①;②(,,,,都是常数),对2021年新生儿人数进行了预测.(1)请你利用所给的1月,2月,3月份数据,求出这两个函数表达式;(2)结果该地在4月,5月,6月份的新生儿人数是74,78,83,你认为哪个函数模型更符合实际?并说明理由.(参考数据:,,,,)19.如图,建造一个容积为,深为,宽为的长方体无盖水池,如果池底的造价为元/,池壁的造价为元/,求水池的总造价.20.对于定义在上的函数,如果存在实数,使得,那么称是函数的一个不动点.已知(1)当时,求的不动点;(2)若函数有两个不动点,,且①求实数的取值范围;②设,求证在上至少有两个不动点21.已知函数()是偶函数.(1)求的值;(2)设,判断并证明函数在上的单调性;(3)令若对恒成立,求实数的取值范围.

参考答案一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每个小题给出的四个选项中,恰有一项是符合题目要求的1、C【解题分析】把所求代数式变形,转化成,再对其中部分以基本不等式求最值即可解决.【题目详解】时,(当且仅当时等号成立)则,即的最大值为0.故选:C2、A【解题分析】根据题意,当侧面AA1B1B水平放置时,水的形状为四棱柱形,由已知条件求出水的体积;当底面ABC水平放置时,水的形状为三棱柱形,设水面高为h,故水的体积可以用三角形的面积直接表示出,计算即可得答案【题目详解】根据题意,当侧面AA1B1B水平放置时,水的形状为四棱柱形,底面是梯形,设△ABC的面积为S,则S梯形=S,水的体积V水=S×AA1=6S,当底面ABC水平放置时,水的形状为三棱柱形,设水面高为h,则有V水=Sh=6S,故h=6故选A【题目点拨】本题考点是棱柱的体积计算,考查用体积公式来求高,考查转化思想以及计算能力,属于基础题3、B【解题分析】要使切线长最小,必须直线y=x+2上的点到圆心的距离最小,此最小值即为圆心(4,﹣2)到直线的距离m,求出m,由勾股定理可求切线长的最小值【题目详解】要使切线长最小,必须直线y=x+2上的点到圆心的距离最小,此最小值即为圆心(4,﹣2)到直线的距离m,由点到直线的距离公式得m==4,由勾股定理求得切线长的最小值为=故选B【题目点拨】本题考查直线和圆的位置关系,点到直线的距离公式、勾股定理的应用.解题的关键是理解要使切线长最小,必须直线y=x+2上的点到圆心的距离最小4、B【解题分析】交集是两个集合的公共元素,故.5、C【解题分析】依次计算周期即可.【题目详解】A选项:,错误;B选项:,错误;C选项:,正确;D选项:,错误.故选:C.6、B【解题分析】利用零点存在性定理判断即可.【题目详解】则函数一定存在零点的区间是故选:B【题目点拨】本题主要考查了利用零点存在性定理判断零点所在区间,属于基础题.7、B【解题分析】利用充分条件和必要条件的定义进行判断【题目详解】由,得,即,由,得,即推不出,但能推出,∴p是q的必要不充分条件.故选:B8、B【解题分析】连接,可证明,然后可得即为异面直线与所成的角,然后可求出答案.【题目详解】连接,因为是正方体,所以和平行且相等所以四边形是平行四边形,所以,所以为异面直线与所成的角.因为是等边三角形,所以故选:B9、B【解题分析】由三视图可知:该几何体是一个棱长分别为6,6,3,砍去一个三条侧棱长分别为4,4,3的一个三棱锥(长方体的一个角).据此即可得出体积.解:由三视图可知:该几何体是一个棱长分别为6,6,3,砍去一个三条侧棱长分别为4,4,3的一个三棱锥(长方体的一个角).∴该几何体的体积V=6×6×3﹣=100.故选B.考点:由三视图求面积、体积.10、B【解题分析】由函数图像的平移变换或根据可得.【题目详解】因为,所以当,即时,函数值为定值0,所以点P坐标为.另解:因为可以由向右平移一个单位长度后,再向下平移1个单位长度得到,由过定点,所以过定点.故选:B二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分。11、2【解题分析】根据自变量的范围,由内至外逐层求值可解.【题目详解】又故答案为:2.12、【解题分析】根据任意角三角函数的定义可得,,,,再由展开求解即可.【题目详解】以轴为始边作两个锐角,,它们的终边分别与单位圆相交于,两点,,的纵坐标分别为,所以,是锐角,可得,因为锐角的终边与单位圆相交于Q点,且纵坐标为,所以,是锐角,可得,所以,所以的终边与单位圆交点的纵坐标为.故答案为:.13、②③【解题分析】设AC∩BD=O,由题意证明AC⊥PO,由已知可得AC⊥PA,与在同一平面内过一点有且只有一条直线与已知直线垂直矛盾说明①错误;由线面平行的判定和性质说明②正确;由线面垂直的判定和性质说明③正确;由勾股定理即可判断,说明④错误【题目详解】设AC∩BD=O,如图,①若PB⊥AC,∵AC⊥BD,则AC⊥平面PBD,∴AC⊥PO,又PA⊥平面ABCD,则AC⊥PA,在平面PAC内过P有两条直线与AC垂直,与在同一平面内过一点有且只有一条直线与已知直线垂直矛盾,①错误;②∵CD∥AB,则CD∥平面PAB,∴平面PAB与平面PCD的交线与AB平行,②正确;③∵PA⊥平面ABCD,∴平面PAC⊥平面ABCD,又BD⊥AC,∴BD⊥平面PAC,则平面PBD⊥平面PAC,③正确;④∵PD2=PA2+AD2,PC2=PA2+AC2,AC2=AD2+CD2,AD=CD,∴PD2+CD2=PC2,∴④△PCD为直角三角形,④错误,故答案为:②③14、①.15②.-3或【解题分析】根据分段函数直接由内到外计算即可求,当时,分段讨论即可求解.【题目详解】,,时,若,则,解得或(舍去),若,则,解得,综上,或,故答案为:15;-3或【题目点拨】本题主要考查了分段函数的解析式,已知自变量求函数值,已知函数值求自变量,属于容易题.15、【解题分析】由正弦定理、余弦定理得答案:16、【解题分析】利用指数的运算性质可求得结果.【题目详解】由指数的运算性质可得.故答案为:.三、解答题:本大题共5小题,共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)(2)【解题分析】(1)根据题意可得,从而可求得,再根据正弦函数的性质结合整体思想即可得出答案;(2)求出平移后的函数的解析式,再根据正余弦函数的奇偶性即可得出答案.【小问1详解】解:因为函数的图象相邻两条对称轴之间的距离为,所以,所以,所以,所以,当时,,所以当时,函数取得最小值,当时,函数取得最大值,所以;【小问2详解】解:函数的图象向左平移个单位后,得到函数,因为为偶函数,所以,所以,又因为,所以.18、(1),(2)函数②更符合实际,理由见解析【解题分析】(1)根据三组数据代入求解即可;(2)分别代入(1)问求出的解析式中,检验与实际的差异,即可判断模型更符合实际.【小问1详解】解:(1)由1~3月的新生儿人数,可得对于函数①:得到代入函数②:得到,继而得到,∴【小问2详解】(2)当时,代入函数①,分别得.当时代入函数②,分别得可见函数②更符合实际.19、2880元【解题分析】先求出水池的长,再求出底面积与侧面积,利用池底的造价为120元/m2,池壁的造价为80元/m2,即可求水池的总造价【题目详解】分别设长、宽、高为am,bm,hm;水池的总造价为y元,则V=abh=16,h=2,b=2,∴a=4m,∴S底=4×2=8m2,S侧=2×(2+4)×2=24m2,∴y=120×8+80×24=2880元【题目点拨】本题考查利用数学知识解决实际问题,考查学生的转化能力,属于基础题20、(1)的不动点为和;(2)①,②证明见解析.【解题分析】(1)当时,函数,令,即可求解;(2)①由题意,得到的两个实数根为,,设,根据二次函数的图象与性质,列出不等式即可求解;②把可化为,设的两个实数根为,,根据是方程的实数根,得出,结合函数单调性,即可求解.【题目详解】(1)当时,函数,方程可化为,解得或,所以的不动点为和(2)①因为函数有两个不动点,,所以方程,即的两个实数根为,,记,则的零点为和,因为,所以,即,解得.所以实数的取值范围为②因为方程可化为,即因为,,所以有两个不相等的实数根设的两个实数根为,,不妨设因为函数图象的对称轴为直线,且,,,所以记,因为,且,所以是方程的实数根,所以1是的一个不动点,,因为,所以,,且的图象在上的图象是不间断曲线,所以,使得,又因为在上单调递增,所以,所以是的一个不动点,综上,在上至少有两个不动点【题目点拨】利用函数的图象求解方程的根的个数或研究不等式问题的策略:1、利用函数的图象研究方程的根的个数:当方程与基本性质有关时,可以通过函数图象来研究方程的根,方程的根就是函数与轴的交点的横坐标,方程的根据就是函数和图象的交点的横坐标;2、利用函数研究不等式:当不等式问题不能用代数法求解但其与函数有关时,常将不等式问题转化为两函数图象的上、下关系问题,从而利用数形结合求解.21、(1)(2)单调递增函数.见解析(3)【解题分析】(1)由题意得,推出得,从而有,解出即可;(2)先求出函数的解析式,再根据单调性的性质即可得判断

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