2024届福建省闽侯第四中学高一数学第一学期期末统考试题含解析

2024届福建省闽侯第四中学高一数学第一学期期末统考试题注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。2．答题时请按要求用笔。3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．在长为12cm的线段AB上任取一点C.现作一矩形，邻边长分别等于线段AC，CB的长，则该矩形面积大于20cm2的概率为A. B.C. D.2．若函数在上单调递增，则实数a的取值范围是（）A. B.C. D.3．已知函数的值域为R，则实数的取值范围是()A. B.C. D.4．函数的零点个数是A.0 B.1C.2 D.35．函数的图象可由函数的图像（）A.向左平移个单位得到 B.向右平移个单位得到C.向左平移个单位得到 D.向右平移个单位得到6．函数的最大值为A.2 B.C. D.47．已知函数的图象的对称轴为直线，则（）A. B.C. D.8．中国的5G技术领先世界，5G技术的数学原理之一便是著名的香农公式：.它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速度C取决于信道带宽W，信道内信号的平均功率S，信道内部的高斯噪声功率N的大小，其中叫做信噪比.当信噪比较大时，公式中真数中的1可以忽略不计.按照香农公式，若不改变带宽W，而将信噪比从1000提升至8000，则C大约增加了()（）A.10% B.30%C.60% D.90%9．定义域为的函数满足，当时，，若时，对任意的都有成立，则实数的取值范围是（）A. B.C. D.10．已知某棱锥的三视图如图所示，则该棱锥的表面积为A. B.C. D.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．已知定义在上的偶函数在上递减，且，则不等式的解集为__________12．已知正实数满足，则当__________时，的最小值是__________13．___________，__________14．已知，则的值为__________15．若，，，则的最小值为___________.16．不等式的解集是______三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（1）计算：；（2）化简：18．求同时满足条件：①与轴相切，②圆心在直线上，③直线被截得的弦长为的圆的方程19．如图，在棱长为2的正方体中，E，F分别是棱的中点.（1）证明:平面;（2）求三棱锥的体积.20．证明：（1）；（2）21．如图，某公园摩天轮的半径为40，圆心O距地面的高度为50，摩天轮做匀速转动，每3转一圈，摩天轮上的点P的起始位置在距地面最近处.（1）已知在时点P距离地面的高度为，求时，点P距离地面的高度；（2）当离地面以上时，可以看到公园的全貌，求转一圈中在点P处有多少时间可以看到公园的全貌.

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、C【解题分析】设AC=x，则BC=12-x（0＜x＜12）矩形的面积S=x（12-x）＞20∴x2-12x+20＜0∴2＜x＜10由几何概率的求解公式可得，矩形面积大于20cm2的概率考点：几何概型2、A【解题分析】将写成分段函数的形式，根据单调性先分析每一段函数需要满足的条件，同时注意分段点处函数值关系，由此求解出的取值范围.【题目详解】因为，所以，当在上单调递增时，，所以，当在上单调递增时，，所以，且，所以，故选：A.【题目点拨】思路点睛：根据分段函数单调性求解参数范围的步骤：（1）先分析每一段函数的单调性并确定出参数的初步范围；（2）根据单调性确定出分段点处函数值的大小关系；（3）结合（1）（2）求解出参数的最终范围.3、C【解题分析】分段函数值域为R，在x＝1左侧值域和右侧值域并集为R.【题目详解】当，∴当时，，∵的值域为R，∴当时，值域需包含，∴，解得，故选：C.4、C【解题分析】将原问题转化为函数交点个数的问题即可确定函数的零点个数.【题目详解】函数的零点个数即函数与函数交点的个数，绘制函数图象如图所示，观察可得交点个数为2，则函数的零点个数是2.本题选择C选项.【题目点拨】本题主要考查函数零点的定义，数形结合的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.5、D【解题分析】异名函数图像的平移先化同名，然后再根据“左加右减，上加下减”法则进行平移.【题目详解】变换到，需要向右平移个单位.故选：D【题目点拨】函数图像平移异名化同名的公式：，.6、B【解题分析】根据两角和的正弦公式得到函数的解析式，结合函数的性质得到结果.【题目详解】函数根据两角和的正弦公式得到，因为x根据正弦函数的性质得到最大值为.故答案为B.【题目点拨】这个题目考查了三角函数的两角和的正弦公式的应用，以及函数的图像的性质的应用，题型较为基础.7、A【解题分析】根据二次函数的图像的开口向上，对称轴为，可得，且函数在上递增，再根据函数的对称性以及单调性即可求解.【题目详解】二次函数的图像的开口向上，对称轴为，且函数在上递增，根据二次函数的对称性可知，又，所以，故选：A【题目点拨】本题考查了二次函数的单调性以及对称性比较函数值的大小，属于基础题.8、B【解题分析】根据所给公式、及对数的运算法则代入计算可得；【题目详解】解：当时，，当时，，∴，∴约增加了30%.故选：B9、B【解题分析】由可求解出和时，的解析式，从而得到在上的最小值，从而将不等式转化为对恒成立，利用分离变量法可将问题转化为，利用二次函数单调性求得在上的最大值，从而得到，进而求得结果.【题目详解】当时，时，当时，，时，时，，即对恒成立即：对恒成立令，，，解得：故选：B10、D【解题分析】根据三视图可知，几何体是一条侧棱垂直于底面的四棱锥，底面是边长为的正方形，如下图所示，该几何体的四个侧面均为直角三角形，侧面积，底面积，所以该几何体的表面积为，故选D.考点：三视图与表面积.【易错点睛】本题考查三视图与表面积，首先应根据三视图还原几何体，需要一定的空间想象能力，另外解本题时，也可以将几何体置于正方体中，这样便于理解、观察和计算.根据三视图求表面积一定要弄清点、线、面的平行和垂直关系，能根据三视图中的数据找出直观图中的数据，从而进行求解，考查学生空间想象能力和计算能力.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、【解题分析】因为，而为偶函数，故，故原不等式等价于，也就是，所以即，填点睛：对于偶函数，有．解题时注意利用这个性质把未知区间的性质问题转化为已知区间上的性质问题去处理12、①.②.6【解题分析】利用基本不等式可知，当且仅当“”时取等号.而运用基本不等式后，结合二次函数的性质可知恰在时取得最小值，由此得解.【题目详解】解：由题意可知：，即，当且仅当“”时取等号，，当且仅当“”时取等号.故答案为：，6.【题目点拨】本题考查基本不等式的应用，同时也考查了配方法及二次函数的图像及性质，属于基础题.13、①.##-0.5②.2【解题分析】根据诱导公式计算即可求出；根据对数运算性质可得【题目详解】由题意知，；故答案为：14、【解题分析】答案：15、3【解题分析】利用基本不等式常值代换即可求解.【题目详解】因为，，，所以，当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为3，故答案为：316、【解题分析】先利用指数函数的单调性得，再解一元二次不等式即可【题目详解】故答案为【题目点拨】本题考查了指数不等式和一元二次不等式的解法，属中档题三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）【解题分析】（1）由题意利用对数的运算性质，计算求得结果（2）由题意利用诱导公式，计算求得结果【题目详解】解：（1）（2）18、或.【解题分析】根据题意，设圆心为，圆被直线截得的弦为为的中点，连结．由垂径定理和点到直线的距离公式，建立关于的方程并解出值，即可得到满足条件的圆的标准方程【题目详解】试题解析：设所求的圆的方程是，则圆心到直线的距离为，①由于所求的圆与x轴相切，所以②又因为所求圆心在直线上，则③联立①②③，解得,或.故所求的圆的方程是或.19、（1）证明见解析（2）【解题分析】（1）连接,设,连接EF,EO,利用中位线和正方体的性质证明四边形是平行四边形,进而可证平面；（2）由平面可得点F,到平面的距离相等,则,进而求得三棱锥的体积即可【题目详解】（1）证明：连接,设,连接EF,EO,因为E,F分别是棱的中点,所以,,因为正方体,所以,,所以,,所以四边形是平行四边形,所以,又平面,平面,所以平面（2）由（1）可得点F,到平面的距离相等,所以,又三棱锥的高为棱长,即,,所以.所以【题目点拨】本题考查线面平行的证明,考查三棱锥的体积,考查转化思想20、（1）证明见解析（2）证明见解析【解题分析】(1)利用三角函数的和差公式，分别将两边化简后即可；（2）利用和2倍角公式构造出齐次式，再同时除以即可证明.【小问1详解】左边===右边===左边=右边，所以原等式得证.【小问2详解】故原式得证.21、（1）70；（2）0.5.【解题分析】（1）根据题意，确定的表达式，代入运算即可；（2）要求，即，解不