上海市同济大学一附中2024届高一数学第一学期期末检测试题含解析

上海市同济大学一附中2024届高一数学第一学期期末检测试题考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．下列函数中，以为最小正周期且在区间上为增函数的函数是（）A. B.C. D.2．下列各组函数中，表示同一个函数的是（）A.与B.与C.与D.与3．如果，那么下列不等式中，一定成立的是（）A. B.C. D.4．函数的零点个数为（

）A.1 B.2C.3 D.45．将函数的图象向左平移个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到的图象，若，且，则的最大值为A. B.C. D.6．函数，x∈R在（）A.上是增函数B.上是减函数C.上是减函数D.上是减函数7．已知集合，集合，则下列结论正确的是A. B.C. D.8．函数f（x）=-x＋tanx（＜x＜）的图象大致为（）A. B.C. D.9．已知是第四象限角，是角终边上的一个点，若，则（）A.4 B.-4C. D.不确定10．要得到函数的图象，只需将函数的图象（）A.向左平移 B.向右平移C.向右平移 D.向左平移二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．设函数即_____12．要制作一个容器为4，高为无盖长方形容器，已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是_______（单位：元）13．计算=_______________14．若函数(，且)，在上的最大值比最小值大，则______________.15．各条棱长均相等的四面体相邻两个面所成角的余弦值为___________.16．已知函数则不等式的解集是_____________三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．已知函数.（1）求函数的最小正周期及其单调递减区间；（2）若，是函数的零点，不写步骤，直接用列举法表示的值组成的集合.18．已知函数（1）求函数最小正周期与单调增区间；（2）求函数在上的最大值与最小值19．已知函数（且）的图像过点.（1）求a的值；（2）求不等式的解集.20．如图，已知平面，四边形为矩形，四边形为直角梯形，，，，.（1）求证：平面；（2）求三棱锥的体积.21．已知函数（1）求的最小正周期；（2）求的单调递增区间

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、B【解题分析】对四个选项依次判断最小正周期及单调区间,即可判断.【题目详解】对于A,,最小正周期为,单调递增区间为,即,在内不单调,所以A错误;对于B,的最小正周期为,单调递增区间为,即,在内单调递增,所以B正确;对于C,的最小正周期为,所以C错误;对于D,的最小正周期为,所以D错误.综上可知,正确的为B故选:B【题目点拨】本题考查了函数的最小正周期及单调区间的判断,根据函数性质判断即可,属于基础题.2、B【解题分析】根据两个函数的定义域相同且对应关系也相同，逐项判断即可【题目详解】由于函数的定义域为，函数的定义域为，所以与不是同一个函数，故A错误；由于的定义域为，函数且定义域为，所以与是同一函数，故B正确；在函数中，，解得或，所以函数的定义域为，在函数中，，解得，所以的定义域为，所以与不是同一函数，故C错误；由于函数的定义域为，函数定义域为为，所以与不是同一函数，故D错误；故选：B.3、D【解题分析】取，利用不等式性质可判断ABC选项；利用不等式的性质可判断D选项.【题目详解】若，则，所以，，，ABC均错；因为，则，因为，则，即.故选：D.4、B【解题分析】函数的定义域为，且，即函数为偶函数，当时，，设，则：，据此可得：，据此有：，即函数是区间上的减函数，由函数的解析式可知：，则函数在区间上有一个零点，结合函数的奇偶性可得函数在R上有2个零点.本题选择B选项.点睛：函数零点的求解与判断方法：(1)直接求零点：令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点5、A【解题分析】分析：利用三角函数的图象变换，可得，由可得，取，取即可得结果.详解：的图象向左平移个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到，，且，，，因为，所以时，取为最小值；时，取为最大值最大值为，故选A.点睛：本题主要考查三角函数图象的变换以及三角函数的性质，属于中档题.能否正确处理先周期变换后相位变换这种情况下图象的平移问题，反映学生对所学知识理解的深度.6、B【解题分析】化简，根据余弦函数知识确定正确选项.【题目详解】，所以在上递增，在上递减.B正确，ACD选项错误.故选：B7、B【解题分析】由题意得，结合各选项知B正确．选B8、D【解题分析】利用函数的奇偶性排除部分选项，再利用特殊值判断.【题目详解】因为，所以是奇函数，排除BC，又因为，排除A，故选：D9、B【解题分析】利用三角函数的定义求得.【题目详解】依题意是第四象限角，所以，.故选：B10、B【解题分析】根据左右平移的平移特征（左加右减）即可得解.【题目详解】解：要得到函数的图象，只需将函数的图象向右平移个单位即可.故选：B.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、-1【解题分析】结合函数的解析式求解函数值即可.【题目详解】由题意可得：，则.【题目点拨】求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现f(f(a))的形式时，应从内到外依次求值12、160【解题分析】设底面长方形的长宽分别为和,先求侧面积，进一步求出总的造价，利用基本不等式求出最小值.【题目详解】设底面长方形的长宽分别为和,则，所以总造价当且仅当的时区到最小值则该容器的最低总造价是160.故答案为：160.13、【解题分析】原式考点：三角函数化简与求值14、或.【解题分析】分和两种情况，根据指数函数的单调性确定最大值和最小值，根据已知得到关于实数的方程求解即得.【题目详解】若，则函数在区间上单调递减，所以，，由题意得，又，故；若，则函数在区间上单调递增，所以，，由题意得，又，故.所以的值为或.【题目点拨】本题考查函数的最值问题，涉及指数函数的性质，和分类讨论思想，属基础题，关键在于根据指数函数的底数的不同情况确定函数的单调性.15、【解题分析】首先利用图像作出相邻两个面所成角，然后利用已知条件求出正四面体相邻两个面所成角的两边即可求解.【题目详解】由题意，四面体为正三棱锥，不妨设正三棱锥的边长为，过作平面，垂足为，取的中点，并连接、、、，如下图：由正四面体的性质可知，为底面正三角形的中心，从而，，∵为的中点，为正三角形，所以，，所以为正四面体相邻两个面所成角∵，∴易得，，∵平面，平面，∴，故.故答案为：.16、【解题分析】分和0的大小关系分别代入对应的解析式即可求解结论.【题目详解】∵函数，∴当，即时，，故；当，即时，，故；∴不等式的解集是：.故答案为：.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）的最小正周期为，单调递减区间是（2）【解题分析】（1）根据正弦函数的最小正周期公式计算可得，根据正弦函数的单调性求出函数的单调区间.（2）先求出函数的零点，是或中的元素，在分类讨论计算可得.【小问1详解】的最小正周期为：对于函数，当时，单调递减，解得所以函数的单调递减区间是；【小问2详解】因，即所以函数的零点满足：或即或所以是或中的元素当时，则当(或，)时，则当，则所以的值的集合是18、（1），单调增区间（2），【解题分析】（1）利用三角恒等变换化简函数解析式，可得函数的最小正周期与的单调区间；（2）利用整体法求函数的最值.【小问1详解】解：，函数的最小正周期，令，解得，所以单调递增区间为【小问2详解】，，，即，所以，.19、（1）（2）【解题分析】（1）代入点坐标计算即可；（2）根据定义域和单调性即可获解【小问1详解】依题意有∴.【小问2详解】易知函数在上单调递增，又，∴解得.∴不等式的解集为.20、（1）证明见解析；（2）.【解题分析】（1）先证明AC⊥BE,再取的中点，连接，经计算，利用勾股定理逆定理得到AC⊥BC,然后利用线面垂直的判定定理证得结论；（2）利用线面垂直的判定定理证得CM⊥平面BEF,即为所求三棱锥的高，进而计算得到其体积.【题目详解】解：（1）证明：∵四边形为矩形∴∵平面∴平面∵平面∴.如图，取的中点，连接，∴∵，，∴四边形是正方形.∴∴，∵∴∴是直角三角形∴.∵，、平面∴平面（2）由（1）知：∵