安徽省池州一中高一下学期期中考试数学试题

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精2012—2013学年安徽省池州一中高一(下）期中数学试卷一、选择题（每小题5分，在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的）1．（5分）在△ABC中，，则S△ABC=()A．B．C．D．考点：正弦定理的应用．专题：解三角形．分析：利用三角形的面积公式S△ABC=,即可求得结论．解答：解：∵，∴S△ABC===故选D．点评:本题考查三角形的面积公式,考查学生的计算能力，属于基础题．2．（5分）（2012•杭州一模）（必修5做)已知x＞1,则函数的最小值为（)A．4B．3C．2D．1考点：基本不等式．3259693专题：计算题．分析：由x＞1可得x﹣1＞0，然后利用基本不等式可得可求答案，注意等号成立的条件．解答：解：∵x＞1∴x﹣1＞0由基本不等式可得，当且仅当即x﹣1=1时,x=2时取等号“=”故选B点评：本题主要考查基本不等式求解函数的最值，要注意配凑积为定值，注意基本不等式应用的前提，属于基础题．3．（5分）若集合M=｛x｜x2＞4}，，则M∩N=（）A．｛x|x＜﹣2｝B．｛x|2＜x＜3｝C．{x|x＜﹣2或x＞3}D．｛x｜x＞3}考点：交集及其运算．3259693专题：不等式的解法及应用．分析：通过求解一元二次不等式化简集合M，求解分式不等式化简集合N，然后直接利用交集的运算进行求解．解答：解：由x2＞4，得：x＜﹣2或x＞2，所以M={x|x2＞4}={x｜x＜﹣2或x＞2｝，又得﹣1＜x＜3，∴N=｛x|﹣1＜x＜3｝，所以M∩N=｛x|x＜﹣2或x＞2｝∩{x|﹣1＜x＜3｝=（2,3)．故选B．点评：本题考查了交集及其运算，考查了不等式的解法，是基础题．4．（5分)在△ABC中，若,则△ABC是（）A．等腰三角形B．等边三角形C．直角三角形D．等腰三角形或直角三角形考点:正弦定理;三角形的形状判断．3259693专题：计算题．分析：利用正弦定理化简已知等式，变形后利用二倍角的正弦函数公式化简，得到A与B相等或互余,即可判断出三角形ABC的形状．解答：解：由正弦定理得：==,∴sinAcosA=sinBcosB，即sin2A=sin2B，∴sin2A=sin2B，∴2A=2B或2A+2B=180°,即A=B或A+B=90°，则△ABC为等腰三角形或直角三角形．故选D点评：此题考查了正弦定理，以及三角形形状的判断，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．5．(5分）若＜＜0，则下列不等式中，正确的不等式有（)①a+b＜ab②｜a｜＞|b|③a＜b④+＞2．A．1个B．2个C．3个D．4个考点：基本不等式．3259693分析:由已知条件可得b＜a＜0，利用不等式的性质,逐一分析各选项，从而确定正确答案．解答：解:∵＜＜0，∴b＜a＜0．∴a+b＜0，ab＞0，|b|＞｜a｜，故①正确，②③错误．∵a、b同号且a≠b，∴、均为正．∴+＞2=2．故④正确．∴正确的不等式有2个．故选B．点评:依据给定的条件,利用不等式的性质，判断不等式或有关的结论是否成立,是高考考查的重点内容,需熟练掌握．6．(5分）下列不等式的解集是R的为（）A．x2+2x+1＞0B．C．D．考点：其他不等式的解法；一元二次不等式的解法．3259693专题：计算题．分析：选项A，解集为｛x｜x≠﹣1｝,不合题意；选项B，x=0时不等式不成立；选项C，根据指数函数的值域可得结论;选项D,x=0时不等式无意义,从而得到正确选项．解答：解：选项A，x2+2x+1=（x+1）2＞0则x≠﹣1,不合要求．选项B，x=0时不等式不成立，不合要求选项C，∵恒成立∴恒成立,符合要求选项D,x=0时不等式无意义，不符合要求故选C．点评：本题考查一元二次不等式的解法，分式不等式的解法,指数不等式，及恒成立知识，属于基础题．7．（5分）（2008•陕西）已知{an｝是等差数列，a1+a2=4，a7+a8=28，则该数列前10项和S10等于（）A．64B．100C．110D．120考点：等差数列的前n项和．3259693专题：计算题．分析：利用等差数列的通项公式，结合已知条件列出关于a1,d的方程组，求出a1和d,代入等差数列的前n项和公式求解即可．解答:解：设公差为d，则由已知得，故选B．点评：本题考查了等差数列的通项公式和前n项和公式，熟记公式是解题的关键，同时注意方程思想的应用．8．（5分）△ABC的三个内角,A，B，C的对边分别为a,b，c，且,则A=()A．30°B．60°C．120°D．150°考点：余弦定理．3259693专题：计算题;解三角形．分析：利用余弦定理表示出cosA,将已知的等式变形后代入求出cosA的值,由A为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出A的度数．解答:解：∵==1,∴a2﹣b2﹣c2=﹣bc，即b2+c2﹣a2=bc，∴cosA===,又A为三角形的内角，则A=60°．故选B点评：此题考查了余弦定理，以及特殊角的三角函数值，利用了整体代入的思想，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．9．（5分）（2010•天津）已知{an}是首项为1的等比数列，sn是｛an}的前n项和，且9s3=s6，则数列的前5项和为（）A．或5B．或5C．D．考点：等比数列的前n项和;等比数列的性质．3259693专题：计算题．分析:利用等比数列求和公式代入9s3=s6求得q,进而根据等比数列求和公式求得数列的前5项和．解答：解：显然q≠1，所以，所以是首项为1，公比为的等比数列，前5项和．故选C点评：本题主要考查等比数列前n项和公式及等比数列的性质,属于中等题．在进行等比数列运算时要注意约分,降低幂的次数，同时也要注意基本量法的应用．10．（5分）已知等差数列｛an｝和｛bn}的前n项和分别为An和Bn，且=,则使得为整数的正整数n的个数是（）A．2B．3C．4D．5考点：等差数列的性质．3259693专题：等差数列与等比数列．分析：先将通项之比转化为前n项和之比，进而再用验证法得解．解答：解：======7+验证知，当n=1，4，9时为整数的正整数故选:B点评：本题主要考查等差数列的通项公式和前n项和公式及性质的应用，属于中档题．二、填空题（每题5分，共25分)11．（5分)（2009•苏州模拟）若实数a、b满足a+b=2,则3a+3b的最小值是

6考点：基本不等式．3259693专题：计算题．分析：根据基本不等式和指数运算可直接得到答案．解答：解:∵a+b=2∴3a+3b≥2=2=6当且仅当a=b=1时等号成立故答案为：6点评：本题主要考查基本不等式的应用，应用基本不等式时要注意“一正、二定、三相等",为要满足的条件．12．(5分）等差数列{an｝中a1+a9+a2+a8=20，则a3+a7=10．考点：等差数列的性质．3259693专题:计算题．分析：把已知等式的左边前两项结合,后两项结合，利用等差数列的性质变形，列出所求式子的关系式,即可得到所求式子的值．解答：解：∵a1+a9+a2+a8=（a1+a9）+(a2+a8）=2（a3+a7）=20,∴a3+a7=10．故答案为：10点评：此题考查了等差数列的性质，是一道高考的基础题．熟练掌握等差数列的性质是解本题的关键．13．（5分）不等式ax2+bx+2＞0的解集为（﹣，），则a+b等于

﹣14．考点：一元二次不等式的解法．3259693专题：计算题．分析：通过不等式解集转化为对应方程的根，然后根据韦达定理求出方程中的参数a，b，即可求出a+b解答：解:∵不等式ax2+bx+2＞0的解集为（﹣，)∴﹣，为方程ax2+bx+2=0的两个根∴根据韦达定理:﹣+=﹣①﹣×=②由①②解得：∴a+b=﹣14故答案为﹣14点评：本题考查一元二次不等式解集的定义，实际上是考查一元二次不等式解集与所对应一元二次方程根的关系，属于中档题14．(5分)已知数列｛an}，a1=2，an=2an﹣1﹣1（n≥2），求an=2n﹣1+1．考点：等比数列的通项公式．3259693专题：等差数列与等比数列．分析：构造可得an﹣1=2（an﹣1﹣1），从而可得数列{an﹣1}是以1为首项，以2为等比数列，可先求an﹣1,进而可求an,解答：解：由题意，两边减去1得：an﹣1=2（an﹣1﹣1)，∵a1﹣1=1∴｛an﹣1｝是以1为首项，以2为等比数列∴an﹣1=1•2n﹣1=2n﹣1∴an=2n﹣1+1（n≥2）故答案为2n﹣1+1．点评:本题的考点是数列递推式,主要考查了利用数列的递推关系求解数列的项,关键是构造等比数列的方法的应用；15．（5分）给出下列四个命题:①函数的最小值为6；②不等式的解集是{x|﹣1＜x＜1｝；③若a＞b＞﹣1,则；④若|a|＜2，|b｜＜1，则｜a﹣b|＜1．所有正确命题的序号是

②③．考点：基本不等式;命题的真假判断与应用；其他不等式的解法;不等式的基本性质．3259693专题：计算题．分析：通过举反例判断出命题①④错；通过解分式不等式判断出命题②正确，通过作差判断差的正负,判断出③正确解答：解：对于①当x＜0时,f（x）为负，所以最小值不是6对于②⇔⇔﹣1＜x＜1，解集为｛x｜﹣1＜x＜1｝；对于③a＞b＞﹣1,⇔1+a＞1+b＞0，又，故a＞b＞﹣1，则对于④例如a=1，b=﹣1有|a﹣b｜=2＞1所有正确命题的序号是②③故答案为②③点评:本题考查举反例是判断命题错误的一个重要方法、分式不等式的解法、作差比较大小．三、解答题（共75分）16．（12分）已知函数，(1)若x＞0,求f（x）的最小值及此时的x值．（2）若，求f(x）的最小值及此时的x值．考点：函数单调性的性质．3259693专题：函数的性质及应用．分析：（1）可以利用定义去判断函数的单调性，或者使用基本不等式求函数的最小值，（2）利用定义判断函数在上的单调性，然后求出最小值．解答：解：（1)因为x＞0,所以由基本不等式得≥2，当且仅当，即，x=时取等号，所以当x=时，函数f（x）有最小值12．（2）设，则，因为，所以x1﹣x20．所以f（x1）＞f（x2）,即函数在上为减函数．所以当x=时，函数的最小值为．点评:本题考查了利用定义证明和判断函数的单调性以及利用单调性求函数最值．17．(12分）在△ABC中，已知a=，b=，B=45°，求A、C及c．考点:正弦定理．3259693专题：计算题；分类讨论．分析:根据正弦定理和已知条件求得sinA的值，进而求得A，再根据三角形内角和求得C，最后利用正弦定理求得c．解答：解：根据正弦定理，sinA===．∵B=45°＜90°，且b＜a，∴A=60°或120°．当A=60°时，C=75°，c===；当A=120°时，C=15°，c===．点评：本题主要考查了正弦定理的应用．正弦定理是解三角形问题时常用的公式，对其基本公式和变形公式应熟练记忆．18．(理）已知△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a，b,c,且a=2，cosB=．(I）若b=4，求sinA的值；（II）若△ABC的面积S△ABC=4，求b,c的值．考点：正弦定理的应用．3259693专题：解三角形．分析：(I）利用同角三角函数公式求出sinB,再利用正弦定理求sinA的值;（II）利用三角形面积公式求c,再利用余弦定理求b的值．解答：解：（I）∵cosB=，∴sinB=．∵a=2，b=4∴∴sinA=；(II）由S△ABC=acsinB=c•=4可解得c=5由余弦定理可得b2=a2+c2﹣2accosB=4+25﹣2×2×5×=17∴．点评：本题考查余弦定理、正弦定理的运用,考查三角形面积的计算,考查学生的计算能力，属于中档题．19．(12分)设等差数列{an｝满足a3=5，a10=﹣9．（Ⅰ）求{an}的通项公式；（Ⅱ）求{an｝的前n项和Sn及使得Sn最大的序号n的值．考点：等差数列的通项公式;等差数列的前n项和．3259693分析：（1）设出首项和公差，根据a3=5，a10=﹣9，列出关于首项和公差的二元一次方程组，解方程组得到首项和公差，写出通项．（2)由上面得到的首项和公差,写出数列{an}的前n项和，整理成关于n的一元二次函数,二次项为负数求出最值．解答:解:（1）由an=a1+（n﹣1）d及a3=5，a10=﹣9得a1+9d=﹣9，a1+2d=5解得d=﹣2,a1=9，数列｛an｝的通项公式为an=11﹣2n（2)由（1）知Sn=na1+d=10n﹣n2．因为Sn=﹣(n﹣5）2+25．所以n=5时，Sn取得最大值．点评：数列可看作一个定义域是正整数集或它的有限子集的函数，当自变量从小到大依次取值对应的一列函数值，因此它具备函数的特性．20．（12分）在△ABC中，已知角A，B,C所对的三条边分别是a,b,c，且（1）求角B的大小（2)若，求△ABC的面积．考点：解三角形；正弦定理；余弦定理．3259693专题：计算题．分析:（1）利用正弦定理化简已知的表达式，结合两角和的正弦函数以及三角形的内角，求出B的值即可．（2）通过余弦定理，以及B的值，a+c=4，求出ac的值,然后求出三角形的面积．解答：解：(1）因为,所以得：2sinAcosB+sinCcosB+sinBcosC=0∴2sinAcosB+sinA=0，∵A∈（0，π）,∴sinA≠0，则cosB=﹣．B∈(0，π），∴B=．（2）由余弦定理得：b2=a2+c2﹣2accosB，∵，B=，∴13=a2+c2+ac∴（a+c）2﹣ac=13∴ac=3∴．点评：本题是中档题，考查正弦定理、余弦定理，两角和的正弦函数，三角形的面积公式的应用，考查计算能力．21．（13分）（2010•广东）某营养师要求为某个儿童预订午餐和晚餐．已知一个单位的午餐含12个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和6个单位的维生素C；一个单位的晚餐含8个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和10个单位的维生素C．另外,该儿童这两餐需要的营状中至少含64个单位的碳水化合物和42个单位的蛋白质和54个单位的维生素C．如果一个单位的午餐、晚餐的费用分别是2.5元和4元，那么要满足上述的营养要求，并且花费最少,应当为该儿童分别预订多少个单位的午餐和晚餐?考点：简单线性规划的应用．3259693分析:利用线性规划的思想方法解决某些实际问题属于直线方程的一个应用．本题主要考查找出约束条件与目标函数，准确地描画可行域，再利用图形直线求得满足题设的最优解．解答：解:设为该儿童分别预订x个单位的午餐和y个单位的晚餐，设费用为F，则F=2。5x+4y，由题意知约束条件为:画出可行域如下图：变换目标函数：当目标函数过点A，即直线6x+6y=42与6x+10y=54的交点（4,3）时，F取得最小值．即要满足营养要求，并且花费最少，应当为儿童分别预订4个单位的午餐和3个单位的晚餐．点评:用图解法解决线性规划问题时，分析题目的已知条件，找出约束条件和目标函数是关键，可先将题目中的量分类、列出表格，理清头绪，然后列出不等式组（方程组)寻求约束条件，并就题目所述找出目标函数．然后将可行域各角点的值一一代入，最后比较，即可得到目标函数的最优解．22．（14分）设数列{an}满足a1=a,an+1=can+1﹣c,n∈N＊其中a,c