河南上蔡第一高级中学2024届数学高一上期末联考试题含解析

河南上蔡第一高级中学2024届数学高一上期末联考试题注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．设集合，则（）A. B.C. D.2．函数的零点所在区间为：（）A. B.C. D.3．已知矩形，，，沿矩形的对角线将平面折起，若四点都在同一球面上，则该球面的面积为（）A. B.C. D.4．已知函数可表示为（）xy2345则下列结论正确的是（）A. B.的值域是C.的值域是 D.在区间上单调递增5．幂函数的图象关于轴对称，且在上是增函数，则的值为（）A. B.C. D.和6．入冬以来，雾霾天气在部分地区频发，给人们的健康和出行造成严重的影响．经研究发现，工业废气等污染排放是雾霾形成和持续的重要因素，治理污染刻不容缓．为降低对空气的污染，某工厂采购一套废气处理装备，使工业生产产生的废气经过过滤后再排放．已知过滤过程中废气的污染物数量P（单位：mg/L）与过滤时间t（单位：h）间的关系为（，k均为非零常数，e为自然对数底数），其中为t=0时的污染物数量，若经过3h处理，20%的污染物被过滤掉，则常数k的值为（）A. B.C. D.7．已知函数，若对一切，都成立，则实数a的取值范围为（）A. B.C. D.8．若函数是函数（且）的反函数，且，则（）A. B.C. D.9．若是三角形的一个内角，且，则三角形的形状为（）A.钝角三角形 B.锐角三角形C.直角三角形 D.无法确定10．下列函数中既是奇函数，又是其定义域上的增函数的是A. B.C. D.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．如图，正方形ABCD中，M，N分别是BC，CD中点，若，则______.12．函数y=的单调递增区间是____.13．若函数，则函数的值域为___________.14．已知函数（且）在上单调递减，且关于的方程恰有两个不相等的实数解，则的取值范围是_____15．若幂函数的图象经过点，则的值等于_________.16．设，，，则______三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．已知函数为偶函数（1）求实数的值；（2）记集合，，判断与的关系；（3）当时，若函数值域为，求的值.18．已知函数（1）若不等式的解集为，求的值；（2）当时，求关于的不等式的解集19．已知函数.（1）求函数的单调递增区间；（2）将函数的图象向右平移个单位后得到的图象，求在区间上的最小值.20．如图，边长为的正方形所在平面与正三角形所在平面互相垂直，分别为的中点.(1)求四棱锥的体积；(2)求证：平面；(3)试问：在线段上是否存在一点，使得平面平面？若存在，试指出点的位置，并证明你的结论；若不存在，请说明理由.21．已知集合为非空数集，定义，.（1）若集合，直接写出集合及；（2）若集合，，且，求证；（3）若集，且，求集合中元素的个数的最大值.

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、B【解题分析】根据交集定义运算即可【题目详解】因为，所以,故选：B.【题目点拨】本题考查集合的运算，属基础题，在高考中要求不高，掌握集合的交并补的基本概念即可求解.2、C【解题分析】利用函数的单调性及零点存在定理即得.【题目详解】因为，所以函数单调递减，，∴函数的零点所在区间为.故选：C.3、C【解题分析】矩形ABCD,AB=6，BC=8，矩形的对角线AC=10为该球的直径，所以该球面的面积为.故选C.4、B【解题分析】根据给定的对应值表，逐一分析各选项即可判断作答.【题目详解】由给定的对应值表知：，则，A不正确；函数的值域是，B正确，C不正确；当时，，即在区间上不单调，D不正确.故选：B5、D【解题分析】分别代入的值，由幂函数性质判断函数增减性即可.【题目详解】因为，，所以当时，，由幂函数性质得，在上是减函数；所以当时，，由幂函数性质得，在上是常函数；所以当时，，由幂函数性质得，图象关于y轴对称,在上是增函数；所以当时，，由幂函数性质得，图象关于y轴对称,在上是增函数；故选：D6、A【解题分析】由题意可得，从而得到常数k的值.【题目详解】由题意可得，∴，即∴故选：A7、C【解题分析】将，成立，转化为，对一切成立，由求解即可.【题目详解】解：因为函数，若对一切，都成立，所以，对一切成立，令，所以，故选：C【题目点拨】方法点睛：恒（能）成立问题的解法：若在区间D上有最值，则（1）恒成立：；；（2）能成立：；.若能分离常数，即将问题转化为：（或），则（1）恒成立：；；（2）能成立：；.8、B【解题分析】由题意可得出，结合可得出的值，进而可求得函数的解析式.【题目详解】由于函数是函数（且）的反函数，则，则，解得，因此，.故选：B.9、A【解题分析】已知式平方后可判断为正判断的正负，从而判断三角形形状【题目详解】解：∵，∴，∵是三角形的一个内角，则，∴，∴为钝角，∴这个三角形为钝角三角形.故选：A10、C【解题分析】对于A，函数的偶函数，不符合，故错；对于B，定义域为，是非奇非偶函数，故错；对于C，定义域R，是奇函数，且是增函数，正确；对于D，是奇函数，但是是减函数，故错考点：本题考查函数的奇偶性和单调性点评：解决本题的关键是掌握初等函数的奇偶性和单调性二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、【解题分析】以，为基底，由平面向量基本定理，列方程求解，即可得出结果.【题目详解】设，则，由于可得，解得，所以故答案为：【题目点拨】本题考查平面向量基本定理的运用，考查向量的加法运算，考查运算求解能力，属于中档题.12、【解题分析】设函数，再利用复合函数的单调性原理求解.【题目详解】解：由题得函数的定义域为.设函数，因为函数的单调递减区间为，单调递增区间为，函数是单调递减函数，由复合函数的单调性得函数y=的单调递增区间为.故答案为：13、【解题分析】求出函数的定义域，进而求出的范围，利用换元法即可求出函数的值域.【题目详解】由已知函数的定义域为又，定义域需满足，令，因为，所以，利用二次函数的性质知，函数的值域为故答案为：.14、【解题分析】利用函数是减函数,根据对数的图象和性质判断出的大致范围，再根据为减函数，得到不等式组,利用函数的图象,方程的解的个数,推出的范围【题目详解】函数（且），在上单调递减，则：；解得，由图象可知，在上,有且仅有一个解，故在上,同样有且仅有一个解，当即时,联立,则,解得或1（舍去），当时由图象可知，符合条件，综上：的取值范围为.故答案为【题目点拨】本题考查函数的单调性和方程的零点,对于分段函数在定义域内是减函数,除了每一段都是减函数以外,还要注意右段在左段的下方,经常会被忽略,是一个易错点；复杂方程的解通常转化为函数的零点,或两函数的交点,体现了数学结合思想,属于难题.15、【解题分析】设出幂函数，将点代入解析式，求出解析式即可求解.【题目详解】设，函数图像经过，可得，解得，所以，所以.故答案为：【题目点拨】本题考查了幂函数的定义，考查了基本运算求解能力，属于基础题.16、【解题分析】利用向量的坐标运算先求出的坐标，再利用向量的数量积公式求出的值【题目详解】因为，，，所以，所以，故答案为【题目点拨】本题考查向量的坐标运算，考查向量的数量积公式，熟记坐标运算法则，准确计算是关键，属于基础题三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）；（3）.【解题分析】（1）由恒成立，可得恒成立，进而得实数的值；（2）化简集合，得；（3）先判定的单调性，再求出时的范围，与等价即可求出实数的值.试题解析：（1）为偶函数，.（2）由（1）可知：，当时，；当时，.，.（3）.上单调递增，，为的两个根，又由题意可知：，且.考点：1、函数的奇偶性及值域；2、对数的运算.18、（1）；（2）见解析.【解题分析】(1)根据二次不等式解集与二次函数图像的关系即可求出a的取值；(2)根据二次函数图像的性质即可分类讨论解不等式.【小问1详解】不等式即，可化为因为的解集是，所以且解得；【小问2详解】不等式即，因为，所以不等式可化为当时，即，原不等式的解集当时，即，原不等式的解集为当时即原不等式的解集.综上所述，当时，原不等式的解；当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集.19、（1）；（2）－2.【解题分析】(1)化简f(x)解析式，根据正弦函数复合函数单调性即可求解；(2)根据求出的范围，再根据正弦函数最值即可求解.【小问1详解】.由得f(x)的单调递增区间为：；【小问2详解】将函数的图象向右平移个单位后得到的图象，则.，∴.20、（1）；（2）证明见解析；（3）存在，为中点，证明见解析.【解题分析】（1）由等腰三角形三线合一性质和面面垂直性质定理可证得平面，由棱锥体积公式可求得结果；（2）连结交于点，由三角形中位线性质可证得，由线面平行判定定理可得到结论；（3）当为中点时，由正方形的性质、线面垂直的性质，结合线面垂直的判定可证得平面，由面面垂直的判定定理可证得结论.【题目详解】（1）为中点，为正三角形，.平面平面，平面平面，平面，平面.,,.（2）证明：连结交于点，连结.由四边形为正方形知点为的中点，又为的中点，，平面，平面，平面.（3）存在点，当为中点时，平面平面.证明如下：因为四边形是正方形，为的中点，，由(1)知：平面，平面，，又，平面.平面，平面平面.【题目点拨】关键点点睛：本题第三问考查了与面面垂直有关的存在性问题的处理，解题关键是能够根据平面确定只要在上，必有，由此只需找到与面中的另一条与相交的直线垂直即可，进而锁定的位置.21、（1），；（2）证明见解析；（3）1347.【解题分析】（1）根据题目定义，直接得到集合A+及A﹣；（2）根据两集合相等即可找到x1，x2，x3，x4的关系；（3）通过假设A集合{m，m+1，m+2，…，4040}，m≤2020，m∈N，求出相应的A+及A﹣，通过A+∩A﹣＝∅建立不等关系求出相应的值【题目详解】（