2023-2024学年湖北省荆州市沙市中学高二上学期9月月考数学试题（含解析）

第=page11页，共=sectionpages11页2023-2024学年湖北省荆州市沙市中学高二上学期9月月考数学试题一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.用简单随机抽样的方法从含有10个个体的总体中抽取一个容量为3的样本，其中某一个体a“第一次被抽到”的可能性与“第二次被抽到”的可能性分别是

(

)A.110、110 B.310、15 C.15、32.已知a,b,c为空间的一组基底，则下列向量也能作为空间的一组基底的是

A.a+b，b+c，a−c

B.a+2b，b，a+c

C.23.已知两个向量a=(2,−1,3)，b=A.1 B.2 C.4 D.84.已知向量a=(23,0,2)，向量bA.3,0,3 B.−5.如图，元件Ai(i=1,2,3,4A.0.729 B.0.8829 C.0.864 D.0.98916.同时抛掷两颗骰子，观察向上的点数，记事件A=“点数之和为7”，事件B=“点数之和为3的倍数”，则

(

)A.A+B为不可能事件 B.A与B为互斥事件

C.AB为必然事件 D.A7.袋子里装有形状大小完全相同的4个小球，球上分别标有数字1，2，3，4，从中有放回的随机取两次，每次取1个球，A表示事件“第一次取出的球上数字是1”，B表示事件“第二次取出的球上数字是2”，C表示事件“两次取出的球上数字之和是5”，D表示事件“两次取出的球上数字之和是6”，通过计算，则可以得出

(

)A.B与D相互独立 B.A与D相互独立 C.B与C相互独立 D.C与D相互独立8.在边长为1的菱形ABCD中，∠ABC=60∘，将▵DACA.5π B.4π C.5π二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）9.下列说法正确的是(

)A.若空间中的O，A，B，C满足OC=13OA+23OB，则A，B，C三点共线

B.空间中三个向量a，b，c，若a//b，则a，b，c共面

C.对空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，若OP=2OA+10.已知空间向量m=(−1,2A.当m⊥n时，x=3 B.当m//n时，x=−8

C.11.如图，正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为2，点O为底面ABCD的中心，点A.D1O⊥AC

B.存在一点P，使得D1O//B1P

C.12.已知长方体ABCD−A1B1C1D1的棱AB=AD=2A.当λ=1，γ=0时，P到A1D1的距离为3

B.当λ=0，μ=1时，直线PB与平面ABCD所成角的正切值的最大值为24

C.三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知A，B，C三点不共线，O是平面ABC外的任意一点，若点P在平面ABC内，且OP⇀14.如图，在，二面角α−l−β中，A∈l,B∈l,AC⊂α,B15.如图，在三棱锥P−ABC中，AB⊥BC，PA⊥平面ABC，AE⊥PB于点16.中国古代数学经典《九章算术》系统地总结了战国、秦、汉时期的数学成就，书中将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑，如图为一个阳马与一个鳖臑的组合体，已知PA⊥平面ABCE，四边形ABCD为正方形，AD=5，ED四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.(本小题10.0分)在▵ABC中，内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c(1)求(2)若b=3，且▵ABC的面积为318.(本小题12.0分)某市为了了解人们对“中国梦”的伟大构想的认知程度，针对本市不同年龄和不同职业的人举办了一次“一带一路”知识竞赛，满分100分(95分及以上为认知程度高)，结果认知程度高的有20人，按年龄分成5组，其中第一组：20,25，第二组：25,30，第三组：30(1)根据频率分布直方图，估计这20人的平均年龄和第(2)若第四组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为37和52，第五组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为43和1，求这20人中19.(本小题12.0分)为了普及垃圾分类知识，某校举行了垃圾分类知识考试，试卷中只有两道题目，已知甲同学答对每题的概率都为p，乙同学答对每题的概率都为q(p>q)(1)求p和(2)求甲、乙两人共答对320.(本小题12.0分)我省从2021年开始，高考不分文理科，实行“3+1+2”模式，其中“3”指的是语文、数学，外语这3门必选科目，“1”指的是考生需要在物理、历史这2门首选科目中选择1门，“2”指的是考生需要在思想政治、地理、化学、生物这4门再选科目中选择(1)从所有选科组合中任意选取(2)假设甲、乙、丙三人每人选择任意121.(本小题12.0分)如图，已知四棱锥P−ABCD，底面ABCD为菱形，PA(1)证明：(2)若H为PD上的动点，EH与平面PAD22.(本小题12.0分)如图，在矩形ABCD中，AB=1，BC=3，M是线段AD上的一动点，将▵ABM沿着BM折起，使点A到达点

(1)当点M与端点D重合时，证明：A′(2)求三棱锥(3)设直线CD与平面A′BM所成的角为α，二面角A′答案和解析1.【答案】A

【解析】【分析】本题考查简单随机抽样及事件可能性的大小确定，属于基础题．

根据简单随机抽样中每个个体每次被抽取的机会均等可得结果．【解答】

解：简单随机抽样中每个个体每次被抽取的机会均等，都为110．

故选A2.【答案】B

【解析】解：对于ACD，∵a+b=(b+c)+(a−c)，a+b+c=12(2a+b)+12(b+2c)，a+c=123.【答案】C

【解析】【分析】本题考查了空间向量共线定理、方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．

由a/​/b，则存在实数【解答】

解：∵a/​/b，

∴存在实数k使得a=kb，

∴2=4k−1=k4.【答案】A

【解析】解：由于向量a=(23,0,2)，向量b=(12,0,5.【答案】B

【解析】【分析】本题主要考查相互独立事件的概率乘法公式，所求的事件的概率与它的对立事件的概率之间的关系，属于中档题．

求出电流不能通过A1、A2，且也不能通过A3的概率，用1减去此概率，即得电流能通过系统A1、A2、A3的概率．再根据电流能通过A4【解答】

解：电流能通过A1、A2，的概率为0.9×0.9=0.81，电流能通过A3的概率为0.9，

故电流不能通过A1、A2，且也不能通过A3的概率为(1−0.81)(1−0.9)=0.019，

故电流能通过系统A1、A26.【答案】B

【解析】【分析】本题主要考察不可能事件，必然事件，互斥事件和对立事件的概念，属于基础题．

先分析事件A、B的构成，对四个选项逐一验证即可．【解答】

同时抛掷两颗骰子，有36个结果，事件A=“点数之和为7，包括：(1,6)，(2,5)，(3,4)，(4,3)，(5,2)，(6,1)．

事件B=“点数之和为3的倍数”，包括：(1,2)，(2,1)，(1,5)，(5,1)，(2,4)，(4,2)，(3,3)，(37.【答案】C

【解析】【分析】

本题考查事件的相互独立性，属于中档题．

分别求出事件A，B，C，D的概率，根据相互独立事件计算概率的乘法公式计算

P(BD),P(B)P(D)

判断A，计算

P(AD【解答】

解：由题意可得：

P(A有放回的随机取两次，每次取1个球，两次取出的球上数字之和是5的情况有

(1,4),(4,两次取出的球上数字之和是6的情况有

(2,4),(4,对于A，

P(BD)=1故

B

与

D

不是相互独立事件，故A错误；对于B，

P(AD)=0故A与

D

不是相互独立事件，故B错误；对于C，

P(BC)=1故

B

与

C

是相互独立事件，故C正确；对于D，

P(CD)=0故C与D不是相互独立事件，故D错误；故选：C．8.【答案】C

【解析】【分析】

本题考查球的切接问题，考查球的表面积公式，属中档题．

体积最大时，即两个面垂直时，然后利用几何关系找到外接球圆心，求出外接球半径即可．【解答】

解：如图所示，当平面

ABC⊥

平面

取AC中点E，连接BE，DE设

O1,O2

分别为

▵ABC,▵ADC

的外心，过

O1

作平面则m，n的交点即为三棱锥

D−ABC

外接球的球心OO2所以

O所以，表面积为

4故选：C．9.【答案】AB【解析】【分析】

本题考查向量的线性运算以及向量的共面定理，属于中档题．

根据向量的线性运算可判断A，根据向量的共面定理可判断BCD．

【解答】

解：对于A，根据向量的线性运算，若空间中的O，A，B，C满足OC=13OA+23OB，则A，B，C三点共线，故A正确，

对于B，因为a/​/b，则a,b共线，则根据共面向量的定义可得，a，b，c共面，故B正确，

对于C，对空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，若OP=10.【答案】BC【解析】【分析】本题考查空间向量垂直与平行的坐标运算，向量夹角的求解，属于中档题．

A选项，根据垂直得到数量积为0，列出方程，求出x=52，A错误；B选项，根据向量平行列出方程组，求出x=−8；C选项，根据向量运算法则计算出【解答】解：当m→⊥n→时，m⋅n=令m=λn，则−1,2,m+n=(−1+2,2−当x=1，因为⟨m,n⟩∈故选：BC11.【答案】AC【解析】【分析】本题考查利用空间向量判断线线垂直，平行以及棱锥的体积，以点D为坐标原点，DA、DC、DD1所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，设点Px,2,z，利用空间向量数量积可判断A选项；利用空间向量共线的坐标表示可判断B选项；利用锥体体积公式可判断C选项；求出点P的坐标满足的关系式，利用二次函数的基本性质可求得▵C1D1P面积的最小值，可判断D选项的正误．

【解答】解：以点D为坐标原点，DA、DC、DD1所在直线分别为x、y、z轴建立如下图所示的空间直角坐标系，

则A2,0,0、C0,2,0、D0,0,0、D10,0,2、B12,2,2、C10,2,2、O1,1,0，

设点Px,2,z，其中0<x<2，0<z<2．

对于A选项，AC=(−2,2,0)，D1O=1,1,−2，则AC⋅D1O=12.【答案】BD【解析】【分析】根据向量共线关系，确定点P的位置，根据点到直线的距离，点到平面的距离以及线面角，球的表面积公式分别进行判断即可．

本题主要考查空间点线面位置关系的判断，根据条件确定P的位置关系，利用距离公式，线面角的定义以及球半径的求法进行计算是解决本题的关键，是中档题．【解答】解：A．AP=AB+μAD=AB+μBC，μ∈[0,1]，

∴点P在BC上，∵A1D1/​/BC，∴P到A1D1的距离为A1B=22+12=5，故A错误；

B.当λ=0，μ=1时，AP=AD+γDD1，

即AP−AD=DP=γDD1，

则P位于线段DD1上，当P位于D1时，直线PB与平面ABCD所成角的正切值最大，

此时tan∠D1BD=DD1BD=122=24，即正切值最大为24，故B正确；

C.当μ=1时，13.【答案】215【解析】【分析】本人提主要考查的是空间向量的共面向量定理，空间向量的线性运算，属于中档题..

方法1：因为点P在平面ABC内，可由共面向量充要条件得存在唯一得有序实数对

(x,y)

，使得

AP⇀=xAB⇀方法2：点P在平面ABC内，O是平面OP⇀=xOA⇀+yOB⇀+zOC⇀

且

x+y+z=【解答】解：方法1：

O

=

=OA即

AP⇀由共面向量定理可得

m−215=0

方法2：因为点P在平面ABC内，O是平面所以

OP⇀=xOA利用此结论可得

15+23+m14.【答案】120°【解析】本题考查了线面垂直，余弦定理和二面角的大小的求解，属于中档题．

根据题意画出图形，并作出二面角的平面角，即可得出答案．由二面角的定义正确作出其平面角是解题的关键．

解：根据题意画出图形：在平面

α内，过B作BE/​/AC，过点C作CE//l，交BE于点E.连接DE．

∵AC=AB，∴正方形ABEC，∴∠DBE是二面角α−l−β的平面角．

又BD⊥l，则BD⊥CE，又CE⊥BE，BD∩BE=B，BD，BE

⊂平面BDE，

∴CE⊥平面BDE，又DE15.【答案】−1【解析】【分析】本题考查线面垂直的判定，空间向量数量积运算，属于拔高题．

利用线面垂直的判定定理易证BC⊥平面PAB，AE【解答】

解：因为PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，

所以PA⊥BC，又AB⊥BC，PA∩AB=A，

PA,AB⊂平面PAB，

所以BC⊥平面PAB，因为AE⊂平面PAB，

所以BC⊥AE，又16.【答案】20π【解析】【分析】

将鳖臑P−ADE放入长方体中，利用长方体体对角线长表示出鳖臑P−ADE半径，利用外接球体积求解出PA；通过长度关系可确定阳马P−ABCD的外接球球心为PC中点，从而可得半径，代入表面积公式求得外接球表面积．

本题考查多面体的外接球体积和表面积的相关计算，关键是能够根据多面体的特征确定球心的位置，进而求得半径，是中档题．

【解答】

解：鳖臑P−ADE可看做如下图所示的长方体的一部分：

则长方体外接球即为鳖臑P−ADE的外接球，

∴外接球半径为：12ED2+AD2+PA2=128+PA2，

又43π×(117.【答案】解：(1)因为a+c=b(3sinA+cosA)，

由正弦定理可得sinA+sinC=sinB(3sinA+cosA)，

即sinA+sin(A+B)=sinB(3sinA+cosA)，

叫sinA+sinAcosB=3sinAsin【解析】本题主要考查利用正弦定理、余弦定理解三角形，以及利用向量的数量积求向量的模，属于中档题．

(1)根据已知条件，结合三角形的性质，以及正弦定理，可得由正弦定理可得sinA+sinC=sinB(3sinA+18.【答案】解：(1)设这20人的平均年龄为x=设第80百分位数为a，由5×0.02+(2)由频率分布直方图得各组人数之比为故各组中采用分层随机抽样的方法抽取20人，第四组和第五组分别抽取4人和2人，设第四组、第五组的宣传使者的年龄的平均数分别为x4，x5，方差分别为s4则x4=37，x5=设第四组和第五组所有宣传使者的年龄平均数为z，方差为s2则z=4x因此，第四组和第五组所有宣传使者的年龄方差为10，据此，可估计这m人中年龄在35∼45岁的所有人的年龄方差约为

【解析】本题考查了频率分布直方图的应用，频数与频率关系的应用，百分位数以及平均数的求解，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，是中档题．

(1(2)利用分层抽样得第四组和第五组分别抽取4人和2人，进而设第四组、第五组的宣传使者的年龄的平均数分别为x4，x5，方差分别为s42，19.【答案】解：(1)设A={甲同学答对第一题}，B={乙同学答对第一题}，

则P(A)=p，P(B)=q，

设C={甲、乙二人均答对第一题}，D={甲、乙二人恰有一人答对第一题}，

则C=AB，D=AB−+A−B，

∵二人答题互不影响，且每人各题答题结果互不影响，

∴A与B相互独立，AB−与A−B相互互斥，

∴P(C)=P(AB)=P(A)P(B)=pq，

P(D)=P(AB−+A−B)=【解析】本题考查概率的求法，考查相互独立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．

(1)设A={甲同学答对第一题}，B={乙同学答对第一题}，则P(A)=p，P(B)=q，设C={甲、乙二人均答对第一题}，D={甲、乙二人恰有一人答对第一题}，则C=AB，D=AB−+A−B，则P(C)=P(A20.【答案】解：(1)用a，b分别表示“选择物理”“选择历史”，用c，d，e，则所有选科组合的样本空间Ω=∴n(设M=“从所有选科组合中任意选取1个，该选科组合符合福建医科大学临床医学类招生选科要求”，则M∴n(∴P(2)设甲、乙、丙三人每人的选科组合符合医科大学临床医学类招生选科要求的事件分别是N1，N由题意知事件N1，N2，由(1)知记N=“甲、乙、丙三人中恰好有一人的选科组合符合福建医科大学临床医学类招生选科要求”，则N易知事件N1N2N3根据互斥事件概率加法公式得P==245

【解析】本题考查概率的求法，考查古典概型、列举法、互斥事件概率加法公式等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题．

(1)由古典概型的概率公式可解；

21.【答案】证明：(1)由四边形ABCD为菱形，∠ABC=60°，可得△ABC为正三角形．

因为E为BC的中点，所以AE⊥BC

又BC/​/AD，因此AE⊥AD

因为PA⊥平面ABCD，AE⊂平面ABCD，所以PA⊥AE

而PA⊂平面PAD，AD⊂平面PAD且PA∩AD=A

所以AE⊥平面PAD.又PD⊂平面PAD

所以AE⊥PD．

解：(2)设AB=2，H为PD上任意一点，连接AH，EH．

由(1)知AE⊥平面PAD

所以∠EHA为EH与平面PAD所成的角，

在Rt△EAH中，AE=3，

所以当AH最短时，∠EHA最大，即当AH⊥PD时，∠EHA最大．

因为sin∠EHA=155，此时tan∠EHA=AEAH=3AH=62

因此AH=2.又AD=2，

所以∠ADH=45°，所以PA=2．

解法一：因为PA⊥平面ABCD，PA⊂平面PAC，

所以平面PAC⊥平面ABCD，

过E作EO⊥AC于O，则EO⊥平面PAC，

过O作OS⊥AF于S