黑龙江省哈尔滨尚志中学2024届数学高一上期末质量检测试题含解析

黑龙江省哈尔滨尚志中学2024届数学高一上期末质量检测试题请考生注意：1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．16、17世纪，随着社会各领域的科学知识迅速发展，庞大的数学计算需求对数学运算提出了更高要求，改进计算方法，提高计算速度和准确度成了当务之急．苏格兰数学家纳皮尔发明了对数，是简化大数运算的有效工具，恩格斯曾把纳皮尔的对数称为十七世纪的三大数学发明之一．已知，，设，则所在的区间为（是自然对数的底数）（）A. B.C. D.2．若集合中的元素是△ABC的三边长，则△ABC一定不是（）A.锐角三角形 B.直角三角形C.钝角三角形 D.等腰三角形3．关于函数的叙述中，正确的有（）①的最小正周期为；②在区间内单调递增；③是偶函数；④的图象关于点对称.A.①③ B.①④C.②③ D.②④4．“”是“且”的（）A.必要而不充分条件 B.充分而不必要条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件5．函数的定义域是（）A. B.C. D.6．若角与终边相同，则一定有（）A. B.C.， D.，7．已知集合，则（）A. B.C. D.R8．在如图所示中，二次函数与指数函数的图象只可为A. B.C. D.9．函数fx=lgA.0 B.1C.2 D.310．已知集合，．则（）A. B.C. D.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．若，则______12．已知，，则的最小值是___________.13．已知函数，，若对任意，总存在，使得成立，则实数的取值范围为__________.14．若不等式对一切恒成立，则a的取值范围是______________.15．已知正四棱锥的底面边长为4cm，高与斜高的夹角为，则该正四棱锥的侧面积等于________cm216．经过，两点的直线的倾斜角是__________.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．定义在D上的函数，如果满足：存在常数，对任意，都有成立，则称是D上的有界函数，其中M称为函数的上界.（1）证明：在上有界函数；（2）若函数在上是以3为上界的有界函数，求实数a的取值范围.18．设，且.(1)求的值；(2)求在区间上的最大值.19．已知为坐标原点,,,若(1)求函数的对称轴方程;(2)当时,若函数有零点,求的范围.20．已知,（1）若,求（2）若,求实数的取值范围.21．已知函数，.（1）求函数的定义域；（2）求不等式的解集.

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、A【解题分析】根据指数与对数运算法则直接计算.【题目详解】，所以故选：A.2、D【解题分析】根据集合元素的互异性即可判断.【题目详解】由题可知，集合中的元素是的三边长，则，所以一定不是等腰三角形故选：D3、C【解题分析】应用差角余弦公式、二倍角正余弦公式及辅助角公式可得，再根据正弦型函数的性质，结合各项描述判断正误即可.【题目详解】，∴最小正周期，①错误；令，则在上递增，显然当时，②正确；，易知为偶函数，③正确；令，则，，易知的图象关于对称，④错误；故选：C4、A【解题分析】根据充分条件和必要条件的定义结合不等式的性质分析判断【题目详解】当时，满足，而不成立，当且时，，所以，所以“”是“且”的必要而不充分条件，故选：A5、D【解题分析】由函数解析式有意义可得出关于实数的不等式组，由此可求得原函数的定义域.【题目详解】函数有意义，只需且，解得且因此，函数的定义域为.故选：D.6、C【解题分析】根据终边相同角的表示方法判断【题目详解】角与终边相同，则，，只有C选项满足，故选：C7、D【解题分析】求出集合A，再利用并集的定义直接计算作答.【题目详解】依题意，，而，所以故选：D8、C【解题分析】指数函数可知，同号且不相等，再根据二次函数常数项为零经过原点即可得出结论【题目详解】根据指数函数可知，同号且不相等，则二次函数的对称轴在轴左侧，又过坐标原点，故选：C【题目点拨】本题主要考查二次函数与指数函数的图象与性质，属于基础题9、C【解题分析】在同一个坐标系下作出两个函数的图象即得解.【题目详解】解：在同一个坐标系下作出两个函数的图象如图所示，则交点个数为为2.故选：C10、C【解题分析】直接利用交集的运算法则即可.【题目详解】∵，，∴.故选：.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、【解题分析】由二倍角公式，商数关系得，再由诱导公式、商数关系变形求值式，代入已知可得【题目详解】，所以，故答案为：12、【解题分析】化简函数，由，得到，结合三角函数的性质，即可求解.【题目详解】由题意，函数，因为，可得，当时，即时，函数取得最小值.故答案为：.13、【解题分析】由题分析若对任意,总存在,使得成立,则的最大值小于等于的最大值,进而求解即可【题目详解】由题,因为,对于函数,则当时,是单调递增的一次函数,则；当时,在上单调递增,在上单调递减,则,所以的最大值为4；对于函数,,因为,所以,所以；所以,即,故,故答案为：【题目点拨】本题考查函数恒成立问题,考查分段函数的最值,考查正弦型函数的最值,考查转化思想14、【解题分析】先讨论时不恒成立，再根据二次函数的图象开口方向、判别式进行求解.【题目详解】当时，则化为（不恒成立，舍），当时，要使对一切恒成立，需，即，即a的取值范围是.故答案为：.15、32【解题分析】在正四棱锥的高和斜高所在的直角三角形中计算出斜高后，根据三角形的面积公式即可求出侧面积.【题目详解】因为正四棱锥的底面边长为4cm，高与斜高的夹角为，所以斜高为cm，所以该正四棱锥的侧面积等于cm2故答案为：32.【题目点拨】本题考查了正棱锥的结构特征，考查了求正四棱锥的侧面积，属于基础题.16、【解题分析】经过，两点的直线的斜率是∴经过，两点的直线的倾斜角是故答案为三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）证明见解析（2）【解题分析】（1）根据，利用求解单调性求解；（2）根据在上是以3为上界的有界函数，令，则，转化，在时恒成立求解.【小问1详解】解：，则在上是严格增函数，故，即，故，故是有界函数；【小问2详解】因为在上是以3为上界的有界函数，所以在上恒成立，令，则，所以在时恒成立，所以，在时恒成立，函数在上严格递减，所以；函数在上严格递增，所以.所以实数a的取值范围是.18、（1）；（2）2【解题分析】（1）直接由求得的值；（2）由对数的真数大于0求得的定义域，判定在上的增减性，求出在上的最值，即得值域【题目详解】解：(1)∵，∴，∴；(2)由得，∴函数的定义域为，，∴当时，是增函数；当时，是减函数，∴函数在上的最大值是【题目点拨】本题考查了求函数的定义域和值域的问题，利用对数函数的真数大于0可求得定义域，利用函数的单调性可求得值域19、（1），（2）【解题分析】（1）先利用数量积的坐标表示以及三角恒等变换化简三角函数得，再根据正弦函数的对称性即可得出结论；（2）由题意得有解，求出函数在区间上的值域即可得出结论【题目详解】解:（1），，，对称轴方程为，即；（2）,有零点，，，，，，【题目点拨】本题主要考查三角函数的图象与性质，属于基础题20、（1）；（2）【解题分析】（1）先化简集合A和集合B,再求.(2)由A得再因为得到,即得.【题目详解】（1）当时,有得,由知得或,故.（2）由知得,因为,所以,得.【题目点拨】本题主要考查集合的化简运算，考查集合中的参数问题，考查绝对值不等式和对数不等式的解法，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.21、（1）（2）答案见解析【解题分析】（1）根据对数的真数大于零可得出关于的不等式组，由此可解得函数的定义域；