人工智能原理非经典逻辑课件

人工智能原理

第3章非经典逻辑

1人工智能原理

第3章非经典逻辑1

本章内容

3.1非经典逻辑简介

3.2模态逻辑

3.3知道逻辑和信念逻辑

3.4多值逻辑

3.5模糊逻辑

参考书目第3章非经典逻辑2 本章内容

3.1非经典逻辑简介

3.2模态逻3.1非经典逻辑简介

不同逻辑的约定

经典逻辑和非经典逻辑的区别

广义模态逻辑第3章非经典逻辑33.1非经典逻辑简介

不同逻辑的约定

经典逻辑和非经典逻逻辑语言的约定如前一章所示,逻辑作为一种知识表示,可称之为形式化的语言.不同的逻辑在表示客观世界时有各自的特点(约定)若干逻辑语言的约定第3章非经典逻辑语言本体论约定(世界中存在的)认识论约定(智能体对事实的相信)命题逻辑一阶逻辑时序逻辑概率理论模糊逻辑事实事实、对象、关系事实、对象、关系、时间事实事实、真实度

[0,1]真/假/未知(扩展)真/假/未知真/假/未知信度

[0,1]已知区间值4逻辑语言的约定如前一章所示,逻辑作为一种知识表示,可称之为形经典逻辑与非经典逻辑的区别(1)人工智能研究把逻辑作为重现智能的手段，其应用是广泛而深入的经典逻辑（命题逻辑和一阶逻辑）在长期的实践中逐渐暴露出对许多应用领域力不从心，促使新的逻辑流派不断涌现经典逻辑和非经典逻辑之间的主要区别：(1)演绎还是归纳？Bacon等倡导的归纳法打破了演绎方法的一统天下，归纳逻辑在AI中也有重要地位第3章非经典逻辑5经典逻辑与非经典逻辑的区别(1)人工智能研究把逻辑作为重现智经典逻辑与非经典逻辑的区别(2)(2)二值还是多值？经典的二值逻辑描述能力不足，是对客观世界的过分简单的抽象，提出多值和模糊逻辑(3)是否遵守传统数理逻辑运算法则？如排中律、否定之否定、狄摩根律甚至恒等律在一些非经典逻辑（多值逻辑）中不再成立(4)是否引进额外算子？经典逻辑只能回答绝对是非判断的问题，但面临“可能、必然、应该”等问题时就显得无能为力，需要引入额外的模态算子，即模态逻辑第3章非经典逻辑6经典逻辑与非经典逻辑的区别(2)(2)二值还是多值？经典的二经典逻辑与非经典逻辑的区别(3)(5)单调还是非单调？经典逻辑的信念是已知的事实（定理）是充分可信的，不会随着新事实的发现而使旧事实变假。所谓单调的。实际上这不符合客观认识规律，因为新的事实推翻旧的真理的情况时常发生。这是认识的非单调性经典逻辑是演绎的、二值的、单调的，而不遵守其中的一个原则，就是非经典的非经典逻辑缺少统一的理论体系，各种方法有较大的区别第3章非经典逻辑7经典逻辑与非经典逻辑的区别(3)(5)单调还是非单调？经典逻非经典逻辑与模态逻辑我们选择一些具有逻辑形式、采用经典逻辑语法框架的非经典逻辑加以介绍:部分广义模态逻辑包括模态逻辑、知道逻辑、信念逻辑多值逻辑模糊逻辑模态逻辑是在经典逻辑的框架下引入模态算子（也叫模态词），模态词的不同解释导致不同的模态逻辑第3章非经典逻辑8非经典逻辑与模态逻辑我们选择一些具有逻辑形式、采用经典逻辑语广义模态逻辑(1)相对于“可能/必然”的解释，其他对模态词的不同解释，就得到了广义模态逻辑。较老的有：真理论模态逻辑

关于“必然”的模态逻辑，模态算子的解释：“必然、可能”，标准的模态逻辑认识论模态逻辑

关于“知道”的模态逻辑，模态算子的解释：“知道、认可”，知道逻辑道义论模态逻辑

关于“应该”的模态逻辑，模态算子的解释：“应该、允许”，信念逻辑第3章非经典逻辑9广义模态逻辑(1)相对于“可能/必然”的解释，其他对模态词的广义模态逻辑(2)较新的有：经验论模态逻辑

关于经验的模态逻辑，模态词：“一贯、偶然、经验地、有先例地”时序逻辑

关于时间次序(状态演变次序)的模态逻辑，模态词：“永远、将会、下个、直到”第3章非经典逻辑10广义模态逻辑(2)较新的有：第3章非经典逻辑103.2模态逻辑

模态逻辑的语法

命题模态逻辑系统/T系统及其性质

可能世界

模态逻辑的语义/模态逻辑的模型

标准模型及模型中关系第3章非经典逻辑113.2模态逻辑

模态逻辑的语法

命题模态逻辑系统/T模态逻辑的提出实际上，模态逻辑的历史和经典逻辑一样长，最先由Aristotle提出波斯海战问题：明天波斯和雅典将发生海战对于明天才知道真假的命题，经典逻辑无法回答是或否1918年美国Lewis在研究实质蕴涵悖论时重新提出模态逻辑根源：p→q经典定义：p→q等价于¬p∨qLewis提出用严格蕴涵来定义：p→q等价于“不可能(p∧¬q)”，引出了“可能”问题第3章非经典逻辑12模态逻辑的提出实际上，模态逻辑的历史和经典逻辑一样长，最先由模态逻辑的算子模态逻辑的语法和系统模态算子必然算子：□A称为必然A可能算子：

A称为可能A□﹁(A→B)表示A必然不能推出B；同样﹁

(A→B)表示A不可能推出B第3章非经典逻辑13模态逻辑的算子模态逻辑的语法和系统第3章非经典逻辑13模态逻辑的合式公式模态逻辑的合式公式：(1)任何一个一阶谓词演算（命题演算）的合式公式都是模态逻辑的合式公式；(2)若A是模态逻辑的合式公式，则□A是合式公式；(3)若A是模态逻辑的合式公式，则

A是合式公式；(4)若A和B是模态逻辑的合式公式，﹁A，A∨B，A∧B，A→B，A≡B(←→)都是合式公式；(5)除此以外再无别的合式公式。第3章非经典逻辑14模态逻辑的合式公式模态逻辑的合式公式：第3章非经典逻辑14命题模态逻辑命题模态逻辑系统定义：一组称为公理的命题模态合式公式和一组推导规则取如下形式：且该合式公式组在此推导规则下封闭，则这些公理和推导规则构成一个命题模态逻辑系统命题模态逻辑系统包括T系统，也称NSK(正规系统)，以及Lewis引入的5个模态逻辑系统S1～S5第3章非经典逻辑15命题模态逻辑命题模态逻辑系统第3章非经典逻辑15T系统(1)T系统的定义T系统中逻辑运算定义：3个基本逻辑联结词(运算符)为﹁、∨、□，其他逻辑运算符为： (1)A→B定义为﹁A∨B (2)A∧B定义为﹁(﹁A∨﹁B) (3)A≡B定义为(A→B)∧(B→A) (4)

A定义为﹁□﹁A第3章非经典逻辑16T系统(1)T系统的定义第3章非经典逻辑16T系统(2)引入严格蕴含符

和严格等价符=，并规定：若A、B为合式公式，则A

B也是合式公式；若A、B为合式公式，则A=B也是合式公式.即(5)A

B定义为□(A→B) (6)A=B定义为(A

B)∧(B

A)第3章非经典逻辑17T系统(2)引入严格蕴含符和严格等价符=，并规定：若A、BT系统(3)T系统的公理系统(与∨、□、→有关) (1)T1：(A∨A)→A (2)T2：A→A∨B (3)T3：A∨B→B∨A (4)T4：(A→B)→((C∨A)→(C∨B)) (5)T5：□A→A (6)T6：□(A→B)→(□A→□B)(对于NSK系统来说，则加上所有永真式)第3章非经典逻辑18T系统(3)T系统的公理系统(与∨、□、→有关)第3章非经T系统(4)T系统的推导规则(1)代入规则：若p是A中变量，A为合式公式，且能被T公理系统证明(记作├A)，B为任一合式公式，用B代入A中的p得到A’，则有├A’(2)分离规则：由├A→B和├A，得├B(3)必然规则：由├A得├□A(NSK中只把(2)列为推导规则，公理系统亦不同，但等价)第3章非经典逻辑19T系统(4)T系统的推导规则第3章非经典逻辑19T系统(5)T系统是最弱的命题模态系统，即T系统中成立的公理和推导规则，在其他命题模态系统中也成立T系统的性质：(共17条)(1)A→

A(2)(A=B)→(□A≡□B)(3)□(A∧B)≡(□A∧□B)(4)□(A≡B)≡(A=B)第3章非经典逻辑20T系统(5)T系统是最弱的命题模态系统，即T系统中成立的公理T系统(6)(5)□A≡﹁

﹁A(6)﹁

(A∨B)≡(﹁

A∧﹁

B)(7)

(A∨B)≡(

A∨

B)(8)(A<B)→(

A→

B)(9)(□A∨□B)→□(A∨B)(10)

(A∧B)→(

A∧

B)(11)(﹁A<A)≡□A(12)(A<﹁A)≡□﹁A第3章非经典逻辑21T系统(6)(5)□A≡﹁

﹁A第3章非经典逻辑21T系统(7)(13)((A<B)∨(﹁A<B))≡□B(14)((A<B)∧(A<﹁B))≡□﹁B(15)□A→(B<A)(16)□﹁A→(A<B)(17)□A→(

B→

(A∧B))第3章非经典逻辑22T系统(7)(13)((A<B)∨(﹁A<B))≡□B第例子：性质的证明(1)选证其中2条作为练习例1(1)之证明：A→

A证明过程

(1)□﹁A→﹁A (公理T5及代入规则) (2)﹁□﹁A∨﹁A (

定义) (3)﹁A∨﹁□﹁A (公理T3) (4)A→

A (

定义及

定义)第3章非经典逻辑23例子：性质的证明(1)选证其中2条作为练习第3章非经典逻辑例2(9)之证明 (□A∨□B)→□(A∨B)

(1)├□A∨□B (前提) (2)□A→A (公理T5) (3)□B→B (公理T5) (4)A→A∨B (公理T2) (5)B→A∨B (公理T2及T3) (6)├□A→A∨B (由(2)、(4)) (7)├□B→A∨B (由(3)、(5)) (8)├A∨B (推导公理(A→C,B→C,A∨B)→C) (9)├□(A∨B) (必然规则)第3章非经典逻辑例子：性质的证明(2)24例2(9)之证明 (□A∨□B)→□(A∨B)第3章非可能世界和模态逻辑语义可能世界和模态逻辑的语义可能世界：模态逻辑的基本思想是在经典逻辑当中引入可能和必然2个模态算子Leibnitz给出了最初的可能世界的适当解释：世界不只一个，除了现实世界以外，还有许多可能世界；其命题的真假取决于在哪个世界中对它进行考察,即真假(真理)标准随可能世界而转移在给定的可能世界上定义模态逻辑的语义第3章非经典逻辑25可能世界和模态逻辑语义可能世界和模态逻辑的语义第3章非经典模态逻辑的模型定义模态命题逻辑的语义：取决于它的模型模态逻辑的模型：三元组M=(W，R，V)称为模态逻辑的一个模型，其中W是可能世界的非空集合，V是对W中各个可能世界的真值指派(赋值映射：对每个合式公式证明其在每个可能世界中的真假值)，R是附加于此模型之上的其他关系，可以为空第3章非经典逻辑26模态逻辑的模型定义模态命题逻辑的语义：取决于它的模型第3章模态逻辑的真值指派对可能世界的真值指派应满足以下条件：(1)TRUE在所有可能世界中为真；(2)FALSE在所有可能世界中为假；(3)A在可能世界

中为真，当且仅当﹁A可能世界

中为假；(4)A∨B、A∧B、A→B、A≡B在可能世界

中为真的定义同普通逻辑的定义。注意：□、

在何时为真随着模型的真值指派而定第3章非经典逻辑27模态逻辑的真值指派对可能世界的真值指派应满足以下条件：第3章两种模态逻辑模型公式A在模型M的可能世界

中为真，记作|=M

A，(M可省略)；如果在所有可能世界中为真，则记作|=MA。存在多种不同的语义模型Leibnitz模型标准模型第3章非经典逻辑28两种模态逻辑模型公式A在模型M的可能世界中为真，记作|=MLeibnitz模型(1)Leibnitz模型的定义：如果规定(1)|=M

□A当且仅当|=MA(所有可能世界)；(2)|=M

A当且仅当

W，使得|=M

A，M=(W,V,R)(可以简记为

M)，则此模型称为Leibnitz模型。在Leibnitz模型中，下列若干公式成立(性质，一个定理)：第1组：□A→A

A≡□

A第3章非经典逻辑29Leibnitz模型(1)Leibnitz模型的定义：如果规Leibnitz模型(2)第2组：□A≡﹁

﹁A

A≡﹁□﹁A

﹁A≡﹁□A □﹁A≡﹁

A第2组公式在模态逻辑的所有模型中均成立，而其余两组未必第3组：(□A∨□B)→□(A∨B) (□A∧□B)≡□(A∧B)

(A∧B)→(

A∧

B) (

A∨

B)≡

(A∨B) □(A→B)→(□A→□B)第3章非经典逻辑30Leibnitz模型(2)第2组：□A≡﹁

﹁A

A≡﹁□Leibnitz模型性质的证明(1)下面给出对第1组公式的证明，其他两组可依此类推第1组公式：□A→A，

A≡□

A证明：对于第1个公式，该式左边表示对所有可能世界，皆有|=

A成立，右边表示对于一个未显式说明的可能世界，|=

A成立，故可从左边推到右边。第3章非经典逻辑31Leibnitz模型性质的证明(1)下面给出对第1组公式的证Leibnitz模型性质的证明(2)对于第2个公式，左边表示存在一个可能世界，有|=

A成立；右边表示对于所有皆有|=M

A。根据定义，其含义为，使|=M

A成立；因为与无关，所以“对于所有”可去掉。因为都是表示存在一个可能世界，所以用或符号都没有关系。因此，左右表示是相同的(P→P)，即知从左可推到右。反过来，利用性质1，可证从右到左。☆第3章非经典逻辑32Leibnitz模型性质的证明(2)对于第2个公式，左边表示标准模型(1)标准模型的定义:若R定义了模型M=(W,R,V)中W×W上的一个二元关系，且定义模态算子为：(1)|=M

□A当且仅当对每个使

R

W成立的

有|=MβA成立；(2)|=M

A当且仅当

W满足关系

R

，有|=MβA成立则M称为标准模型第3章非经典逻辑33标准模型(1)标准模型的定义:第3章非经典逻辑33标准模型(2)这里R理解为可达到关系，即:□A为真，当且仅当从目前所在的可能世界

出发，在能够到达的一切可能世界

中，A皆为真；

A为真，当且仅当从目前所在的可能世界

出发，能够到达某个可能世界

，在此

中A为真。第3章非经典逻辑34标准模型(2)这里R理解为可达到关系，即:第3章非经典逻辑标准模型(3)注意：此处未对R限定任何条件，因此在Leibnitz模型中成立的公式(定理)，此处不成立。例如当R不具备自反性质时，□A→A不成立例子:A表示享福，R父子关系，□A表示子孙享福，由于αRα不成立，所以本人未必A(即子孙享福未必本人享福)第3章非经典逻辑35标准模型(3)注意：此处未对R限定任何条件，因此在Leibn标准模型(4)[定理](1)|=M

A≡|=M

﹁□﹁A (2)|=M

□A≡|=M

﹁

﹁A证明：(1)|=M

A等价于存在，R

，使|=M

A；等价于并非对于每个满足

R

的，都有﹁|=M

A(第2组公式2)；等价于并非对于每个满足

R

的，都有

|=M

﹁

A；等价于﹁|=M

□﹁A；等价于|=M

﹁

□﹁A第3章非经典逻辑36标准模型(4)[定理](1)|=M

A≡|=M﹁□标准模型(5)(2)|=M

□A等价于对于所有满足

R

的，有|=M

A；等价于不存在一个满足

R

的，使﹁|=M

A成立；等价于不存在一个满足

R

的，使|=M

﹁A成立；等价于﹁|=M

﹁A;等价于|=M

﹁

﹁A★第3章非经典逻辑37标准模型(5)(2)|=M□A等价于对于所有满足R的标准模型中的关系(1)定义:设R是标准模型M=(W,R,V)中的关系，则：(1)若对每个α

W，存在β

W，有αRβ，则R称为序列的(有序的)；(2)若对每个α

W，有αRα，则R称为自反的；(3)若对每个α、β

W，只要αRβ，有βRα，则R称为对称的；(4)若对每个α、β、γ

W，只要αRβ、βRγ，有αRγ，则R称为传递的；(5)若对每个α、β、γ

W，只要αRβ、αRγ，有βRγ，则R称为欧基里德的。第3章非经典逻辑38标准模型中的关系(1)定义:设R是标准模型M=(W,R标准模型中的关系(2)从上述定义可得：若R是欧基里德的，则R是自反的(用2个

R

)、对称的(自反推出)、传递的即是等价的[定理](不同关系的性质)(1)若R为序列的，则□A→

A为真；(2)若R为自反的，则□A→A和□A→

A为真；(3)若R为对称的，则A→□

A为真；(4)若R为传递的，则□A→□□A为真；(5)若R为欧基里德的，则

A→□

A为真。第3章非经典逻辑39标准模型中的关系(2)从上述定义可得：第3章非经典逻辑39标准模型中的关系(3)证明：(证→真即前提真蕴涵结论真)(1)R为序列的，则对每个α

W存在β，有αRβ，由□A定义知|=βA成立，由

A定义知其为真；(2)R为自反的，由αRα可知□A能推出|=

A，因此A为真；同样可证|=

A，即

A为真；第3章非经典逻辑40标准模型中的关系(3)证明：(证→真即前提真蕴涵结论真)第3标准模型中的关系(4)(3)R为对称的，设当前世界为，若不存在，使αRβ成立，则□

A成立(仅在当前世界

)；否则，令是使αRβ成立的任意一个可能世界，则由对称性知βRα成立。由A在中为真可知|=

A成立(β到α)；由的任意性,则可知|=

□

A成立(α到β)；第3章非经典逻辑41标准模型中的关系(4)(3)R为对称的，设当前世界为，若标准模型中的关系(4)(4)R为传递的，设当前世界为，□A表示凡满足αRβ的β均使|=

A为真(世界)，若有γ使βRγ成立，由传递性可知αRγ也成立，即对任意的γ,使|=γA为真(γ世界).按照定义知,在世界中有□A成立，在

世界中有□□A成立；第3章非经典逻辑42标准模型中的关系(4)(4)R为传递的，设当前世界为，标准模型中的关系(4)(5)R为欧几里德的，设当前世界为，

A表示存在，使

R且|=

A为真，又因R和R知有

R(欧几里德的)，即R为自反的，即说明|=

A为真。现在设γ是一个任意的使得

Rγ

成立的可能世界，由Rγ和

R知有γR成立(欧几里德的)，由

A定义知|=γ

A(|=

A为真)，由γ的任意性知|=

□

A成立(

世界)。 ★第3章非经典逻辑43标准模型中的关系(4)(5)R为欧几里德的，设当前世界为3.3知道逻辑和信念逻辑

知道的含义

知道逻辑的表示与层次

群体知道逻辑

信念逻辑的解释

信念逻辑的表示与层次第3章非经典逻辑443.3知道逻辑和信念逻辑

知道的含义

知道逻辑的表示与层知道逻辑研究的对象知道逻辑研究的对象共同发起攻击时间取得一致的问题：A、B两个敌对方交战，A1、A2占据两边山头，B军占据中间，A1、A2双方联络必须穿过B，联络员两边穿梭，就共同发起攻击时间无法取得一致庄子谈话问题：人不知鱼很高兴特点：无休止的循环下去第3章非经典逻辑45知道逻辑研究的对象知道逻辑研究的对象第3章非经典逻辑45知道的不同含义实际意义：多个独立主体构成的分布式系统中，每个主体应该知道什么信息，包括知道其他主体知道什么知道的不同含义：(1)某人确切地知道某事：知道某事，则此事必然(2)某人认为某事是真的：仅是其主观认识第3章非经典逻辑46知道的不同含义实际意义：多个独立主体构成的分布式系统中，每个知道逻辑定义知道逻辑定义知道逻辑的模态算子：知道逻辑引入新的模态词--K知道；Z认可或不排除(或用：%表示)这里为简单起见，以命题知道逻辑为例这两个模态算子的关系与□、

相同，即 KA≡﹁Z﹁A，ZA≡﹁K﹁A第3章非经典逻辑47知道逻辑定义知道逻辑定义第3章非经典逻辑47知道逻辑表示层次(1)关于“知道”的4个层次，即：凡人知道逻辑、圣人知道逻辑、超人知道逻辑、上帝知道逻辑，每个层次都有不同的认识能力(1)在凡人知道逻辑中：清楚(知道)自己知道什么KA≡KKA；ZA≡ZZA；ZA≡KZA；ZA≡ZKA(2)在圣人知道逻辑中：圣人不犯错误

知道命题为真，则命题为真增加公理：KA→A第3章非经典逻辑48知道逻辑表示层次(1)关于“知道”的4个层次，即：凡人知道逻知道逻辑表示层次(2)(3)在超人知道逻辑中：超人的推理能力继续增加公理：K(A→B)→(KA→KB)(加上推理的传递规则，可推出一切被已知知识蕴含的知识)(4)在上帝知道逻辑中：无事不知，洞察一切客观上为真的命题公理：(├A)→(├KA)（存在A为真，则知道A为真）第3章非经典逻辑49知道逻辑表示层次(2)(3)在超人知道逻辑中：超人的推理能力群体知道逻辑认识的主体不只是一个人,而是一群有不同知识的个体，简称群体/研究群体类型的知道机制就是群体知道逻辑/研究课题比较难可能的应用：多智能体之间的相互联系/分布式体系结构(如网络)中各主体之间的通讯和协议/规划/网络游戏在分布式系统推理中，有：“处理器1不能发送包给处理器2直到1知道2收到了前一个包”Kripke的可能世界模型是探索群体知道逻辑的有效工具第3章非经典逻辑50群体知道逻辑认识的主体不只是一个人,而是一群有不同知识的个体群体知道逻辑定义定义:设有m个个体,编号为1,…,m,另有一个命题集合

={A,B,…},用K1~Km表示m个模态算子,其中KiP表示第i个个体知道P,以Lm(

)表示群体的最小知识闭包,即

Lm(

)若A∈Lm(

),则﹁A∈Lm(

)若A,B∈Lm(

),则A∧B∈Lm(

)若A∈Lm(

),则KiA∈Lm(

),1≤i≤m其他逻辑运算包括：A∨B定义为﹁(﹁A∧﹁B)/A→B定义为﹁(A∧﹁B)/A≡B定义为(A→B)∧(B→A)第3章非经典逻辑51群体知道逻辑定义定义:设有m个个体,编号为1,…,m,另有一群体知道逻辑的语义基本思想是用可能世界集合来表示：每个个体ai被赋予了一个可能世界集Wi，Wi中每个每个可能世界w都是ai心目中可能的现实世界如：无生命和有生命的火星都是天文学家心目中的可能世界个体ai知道某个事实p的含义是：p在Wi的每个对ai来说是可到达的可能世界中为真。反之，如果p至少在Wi的一个可达世界中为假，则称ai不知道p。如果p在Wi的所有可达世界中都为假，则称ai知道非p第3章非经典逻辑52群体知道逻辑的语义基本思想是用可能世界集合来表示：第3章非信念逻辑的解释关于信念的解释：至少有3种不同的解释(1)信念表示尚未被完全证实的知道。此种含义下，只有已经被证实(变成知道)的知道和尚未被证实的信念之分，但不存在可能被否证的信念（单调性）(2)信念表示不一定正确的知道。此种含义下，信念既可以被证实，也可以被否证。如：某学生相信自己能考好，结果却砸了锅(3)信念表示对已有证据积累的一种函数，体现了对某个命题的相信程度。此时，信念就是一种概率（不精确程度的其他量），它在证据积累过程中可以变化，用于专家系统的不精确推理第3章非经典逻辑53信念逻辑的解释关于信念的解释：至少有3种不同的解释第3章非信念逻辑的表示与层次(1)信念逻辑的算子：B表示信念，W表示可接受存在关系：WA≡﹁B﹁A，BA≡﹁W﹁A信念逻辑的层次(1)凡人信念逻辑中，如下公理是直观的：

KA→BA BA≡BBA

BA→WA WA≡WWA

WA→ZA第3章非经典逻辑54信念逻辑的表示与层次(1)信念逻辑的算子：B表示信念，W表示信念逻辑的表示与层次(2)“理智的”凡人：BA→BKA(若相信A，则一定相信知道A)“卤莽的”凡人：ZA→BA(若不排除A，则就相信A)“谨慎的”凡人：ZA→WA(若不排除A，则可以接受A)第3章非经典逻辑55信念逻辑的表示与层次(2)“理智的”凡人：BA→BKA(若信念逻辑的表示与层次(3)(2)超人信念逻辑，继续增加推理规则：由BA和B(A→C)可知有BC成立或[B(A→C)]→[BA→BC]再加上普通命题逻辑的推理规则，可推出被已知信念蕴含的所有信念。此时，与知道逻辑中的逻辑全知问题相对应，是逻辑全信问题。应予以避免。(3)上帝信念逻辑，再加上新公理：BA→KA (凡相信者必真，只有上帝可做到)第3章非经典逻辑56信念逻辑的表示与层次(3)(2)超人信念逻辑，继续增加推理规知道逻辑和信念逻辑知道和信念相联系，如前解释对于面向现实世界的逻辑推理任务，知道逻辑和信念逻辑提供了可用的形式化表示方法/考虑用模态逻辑的方法对现实问题建模推理中要避免逻辑全知和逻辑全信问题(即存在A就知道A)第3章非经典逻辑57知道逻辑和信念逻辑知道和信念相联系，如前解释第3章非经典逻3.4多值逻辑

真值的扩充/第三值解释

三值逻辑真值定义

不同的真值解释与逻辑定律第3章非经典逻辑583.4多值逻辑

真值的扩充/第三值解释

三值逻辑真值真值的扩充真值的重新定义模态逻辑对命题逻辑和谓词逻辑的扩充是从语法着手的，首先引入模态词(扩充语法成分)，然后定义有关语义(论域的扩充)，但不改变真值集合；多值逻辑、模糊逻辑则从语义着手，首先扩充真值集合，重新规定真值联结词等语言成分的意义，其中真值和语义起主导作用。第3章非经典逻辑59真值的扩充真值的重新定义第3章非经典逻辑59三值逻辑首先从多值逻辑进行过渡：逻辑系统中真值的个数允许超过2个，即多值逻辑。除了真T和假F以外，通常要对非真非假作出规定，一般引入1个值，即U。此为三值逻辑。对U的不同解释，就得到了不同的三值逻辑系统。第3章非经典逻辑60三值逻辑首先从多值逻辑进行过渡：逻辑系统中真值的个数允许超过不同的真值解释U有如下一些解释：(1)不知道，或真值间隙(truthvaluegap)，得到Kleene三值逻辑；(2)无所谓真假，即不能确定真假，得到Lukaciewicz(Luckasiewicz)三值逻辑；(3)非真非假，无意义的矛盾命题、悖论，得到Bochvar三值逻辑(4)半真半假，真假程度存在顺序关系，得到Post三值逻辑第3章非经典逻辑61不同的真值解释U有如下一些解释：第3章非经典逻辑61不同三值逻辑的真值定义(1)真值定义：三值逻辑对T和F的定义与普通逻辑是一样的，关键对U的含义的定义5种逻辑运算(5种联结词)所得的结果第3章非经典逻辑4种三值逻辑的否定运算真值定义62不同三值逻辑的真值定义(1)真值定义：三值逻辑对T和F的定义不同三值逻辑的真值定义(2)第3章非经典逻辑4种三值逻辑的合取运算真值定义4种三值逻辑的析取运算真值定义63不同三值逻辑的真值定义(2)第3章非经典逻辑4种三值逻辑的不同三值逻辑的真值定义(3)第3章非经典逻辑4种三值逻辑的蕴含运算真值定义4种三值逻辑的等价运算真值定义64不同三值逻辑的真值定义(3)第3章非经典逻辑4种三值逻辑的不同的真值解释(1)第3章非经典逻辑

各个三值逻辑系统的解释

共同点：排中律和矛盾律皆不成立，即对任意P，有P∨﹁P≠T和P∧﹁P≠F(其验证只需令P=U)。这很自然，因为只有在二值逻辑系统中，才会有上述定律。除L氏系统外，恒等律也不成立，即P→P和P≡P不为真(验证同上)，但P氏系统中成立一半((U→U)=F，但(U≡U)=T)。65不同的真值解释(1)第3章非经典逻辑各个三值逻辑系统的解不同的真值解释(2)第3章非经典逻辑Kleene三值逻辑

排中、矛盾、恒等律不成立；P→Q≡﹁P∨Q；DeMorgan定律成立。恒等律不成立带来的后果不好。例子：如果人们不知道哥德巴赫猜想是否成立，那么能不能推出“人们不知道哥德巴赫猜想是否成立”？答曰：不知道。66不同的真值解释(2)第3章非经典逻辑Kleene三值逻辑6不同的真值解释(3)第3章非经典逻辑Lukaciewicz三值逻辑维持了恒等律；P→Q≠﹁P∨Q；其余同K氏系统。Bochvar三值逻辑排中、矛盾、恒等律不成立；U因为定义为矛盾(悖论)或无意义，因此任何一个公式中只要有一项为U则整个公式等价为U，部分无意义导致整体无意义。67不同的真值解释(3)第3章非经典逻辑Lukaciewicz不同的真值解释(4)第3章非经典逻辑Post三值逻辑排中、矛盾不成立，恒等律成立一半；零幂律(否定之否定)不成立，即： ﹁﹁P≠P，而是﹁﹁﹁P=P(三值循环)DeMorgan定律成立了一半，由真值计算规则决定非符号﹁理解为对真假程度的减弱，因此形成循环：﹁T=U→﹁U=F→﹁F=T/写成符号形式即为：suc(T)=U，suc(U)=F，suc(F)=T68不同的真值解释(4)第3章非经典逻辑Post三值逻辑68不同的真值解释(5)第3章非经典逻辑设v(P)表示命题公式(三值逻辑)的真值，则： v(T)=T，v(U)=U，v(F)=F

Post三值逻辑有真值计算规则如下：v(﹁P)=suc(v(P))v(P∨Q)=max(v(P),v(Q))v(P∧Q)=v(﹁(﹁P∨﹁Q))v(P→Q)=v(﹁P∨Q)v(P≡Q)=v((P→Q)∧(Q→P))69不同的真值解释(5)第3章非经典逻辑设v(P)表示命题公式不同的真值解释(5)第3章非经典逻辑Post三值逻辑当中，DeMorgan定律成立了一半，即v(P∧Q)=v(﹁(﹁P∨﹁Q))(定义)v(U∨F)=U，v(﹁(﹁U∨﹁F))=F

二值到三值，真值三极化越彻底，二值系统中的定律失效越多。Post系统中的﹁运算不再是U为中心的对称，而是真值间的循环70不同的真值解释(5)第3章非经典逻辑Post三值逻辑当中，3.5模糊逻辑

非精确刻划与模糊子集

模糊集合运算及其性质

模糊关系

从多值逻辑到模糊逻辑

Zadeh模糊逻辑

算子模糊逻辑第3章非经典逻辑713.5模糊逻辑

非精确刻划与模糊子集

模糊集合运算及其性问题的非精确刻划第3章非经典逻辑

传统集合论：

一个元素是否属于某个集合，回答只有是和否，界限分明。此时，可用特征函数CA(x)表示x是否属于A：此时总假定存在一个定义明确的集合U，A是U的子集。U可称为个体域或基底集。其元素称为基元。

非精确刻划:

但现实世界有许多意义不能精确刻划(内涵)、外延不能用传统集合表示的概念。典型例子：“老年人”包括多大年龄的人？再如：“高个”、“派头大”、“很大的数”、“令人遗憾的结果”等等72问题的非精确刻划第3章非经典逻辑传统集合论：72模糊子集(1)第3章非经典逻辑对非精确划分的需要引出了模糊逻辑模糊子集(fuzzysubset)的定义：若A={<x,

A(x)>|x∈U∧

A(x)∈[0,1]}，则A称为集合U的一个模糊子集。

A(x)称为x对A的隶属函数，或隶属度、一致性测度模糊子集的支集(supportset)： S={x|x∈U∧

A(x)>0}模糊子集的高度 h(A)=max{

A(x)|<x,

A(x)>∈A}73模糊子集(1)第3章非经典逻辑对非精确划分的需要引出了模糊模糊子集(2)第3章非经典逻辑例1：“老年人”的范围—可用隶属函数

old(x)来表示老年人集合这个隶属函数表明人从50岁以后开始步入老年。x=55，

old(x)=0.5；x=60，

old(x)=0.8；x=80，

old(x)≈1(0.97) ★74模糊子集(2)第3章非经典逻辑例1：“老年人”的范围—可用模糊子集(3)第3章非经典逻辑例2：自然数集合中“小的数”，其模糊子集可以用下面的隶属函数刻划：基底集为自然数，则

min(0)=1(肯定是小的数)

min(1)=100/101

1(就是小的数)

min(10)=0.5(差不多是小的数)

min(100)

0.1(难说是小的数)

min(1000)

0(不能是小的数) ★75模糊子集(3)第3章非经典逻辑例2：自然数集合中“小的数”模糊子集(4)第3章非经典逻辑

Zadeh给出了模糊子集的另一种表示法—隶属度/基元表示如模糊子集“青年”=0/15+0.2/16+0.6/17+0.9/18+0.9/19+1/20～25+0.9/26+…可以写成如下形式(当基底集为有穷)：或(当基底集为无穷)：76模糊子集(4)第3章非经典逻辑Zadeh给出了模糊子集的模糊与概率的区别第3章非经典逻辑

模糊与概率的区别：虽然同属于非精确描述，但概率现象的每个具体结果是确定的“非此即彼”；模糊现象的结果是非确定的“亦此亦彼”模糊的基础是概率77模糊与概率的区别第3章非经典逻辑模糊与概率的区别：虽然同模糊集合运算(1)第3章非经典逻辑

模糊集合运算(1)空集判断：设A为U的模糊子集，当且仅当

x

U，

A(x)=0时，A为空集，记为

；(2)A包含于B：A、B为U的任意模糊子集，对

x

U，

A(x)

B(x)，记为A

B；(3)A等于B：对

x

U，

A(x)=

B(x)，记为A=B；(4)A的补集：

A={<x,1

A(x)>|x

U}78模糊集合运算(1)第3章非经典逻辑模糊集合运算78模糊集合运算(2)第3章非经典逻辑

(5)A与B的并集：A

B={<x,max(

A(x),

B(x))>|x

U}(6)A与B的交集：A

B={<x,min(

A(x),

B(x))>|x

U}(7)A与B的差集：A

B={<x,min(

A(x),1

B(x))>|x

U}，显然有

A=U

A79模糊集合运算(2)第3章非经典逻辑(5)A与B的并集：7模糊集合运算的性质第3章非经典逻辑

运算的性质(1)交换律：A∪B=B∪A，A∩B=B∩A(2)幂等律：A∪A=A∩A=A(3)分配律：A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C) A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)(4)狄摩根律：～(A∪B)=～A∩～B

～(A∩B)=～A∪～B(5)A

(B∪C)=(A

B)∩(A

C)A

(B∩C)=(A

B)∪(A

C)(6)A∩B

A

A∪B(7)A

B当且仅当A∩B=A当且仅当A∪B=B80模糊集合运算的性质第3章非经典逻辑运算的性质80例子第3章非经典逻辑

证明性质(7)作为例子。

证明：由A

B定义知

A(x)

B(x)，所以

A

B=min(

A(x),

B(x))=

A(x)，即A∩B=A；同理，

A

B=max(

A(x),

B(x))=

B(x)，即A∪B=B ★81例子第3章非经典逻辑证明性质(7)作为例子。81模糊关系第3章非经典逻辑

模糊关系的定义：

集合U1～Un的笛卡儿乘积U1×…×Un为基底集的任一模糊子集R称为U1×…×Un间的一个n元模糊关系(fuzzyrelation)，特别地，Un的任一模糊子集称为U上的一个n元模糊关系

模糊关系的表示：在传统的有穷二元关系的表示方法基础上加上隶属度数据(加权)，作为二元模糊关系的表示

有向图方法矩阵方法

82模糊关系第3章非经典逻辑模糊关系的定义：82模糊关系的例子第3章非经典逻辑

例子：设U={1,2,3,4,5}，U上“远小于”关系可用U2的模糊子集R<<表示，其加权有向图和关系矩阵如下图所示83模糊关系的例子第3章非经典逻辑例子：设U={1,2,从多值逻辑到模糊逻辑(1)第3章非经典逻辑

把三值逻辑推广到任意n值逻辑(n≥3)甚至无穷多值逻辑，L氏三值逻辑是构造模糊逻辑的最佳基础(恒等律成立)L氏无穷多值逻辑的真值计算规则：(1)v(T)=1，v(F)=0(2)v(﹁P)=1-v(P)(3)v(P∧Q)=min(v(P),v(Q))(4)v(P∨Q)=max(v(P),v(Q))(5)v(P→Q)=min(1,1-v(P)+v(Q))(6)v(P≡Q)=min(v(P→Q),v(Q→P))

此时U已经成为无穷多个真值([0,1]区间)中的一个84从多值逻辑到模糊逻辑(1)第3章非经典逻辑把三值逻辑推广从多值逻辑到模糊逻辑(2)第3章非经典逻辑进一步引入模糊变量和模糊谓词，使模糊命题逻辑过渡到模糊谓词逻辑

符号集定义(1)真值：[0,1]内所有值(但是一个确定的值)(2)联结符和量词：5个、2个同普通逻辑；(3)常量：n目函数常量fn，当n=0时为普通常量；n目谓词常量Pn(此为模糊谓词)，当n=0时为普通命题常量(即真值)；(4)变量：普通变量，取值在某个个体域中；模糊变量(真值的变化)，取值在[0,1]区间。85从多值逻辑到模糊逻辑(2)第3章非经典逻辑进一步引入模糊从多值逻辑到模糊逻辑(3)第3章非经典逻辑

合式公式定义(1)项：普通常量a、普通变量x、函数；(2)原子公式：命题常量、模糊变量、n元谓词常量；合式公式：原子公式、合式公式用联结词联结的公式、带量化的合式公式(其中的约束变量为普通变量)。

满足上述定义的系统可称之为L氏模糊逻辑86从多值逻辑到模糊逻辑(3)第3章非经典逻辑合式公式定义8模糊真与模糊假第3章非经典逻辑

永真的：一个合式公式中的普通和模糊变量无论如何取值，该公式的真值均大于或等于

，则称其为

永真的；反之，若该公式的真值均小于或等于

，则称其为

永假的。

不是λ永真的，称之为λ可假的；不是λ永假的，称之为λ可真的通常一个取值为1/2的永真式称为模糊真的，同理，取值为1/2的永假式称为模糊假的。这里真假已经是相对的了87模糊真与模糊假第3章非经典逻辑永真的：一个合式公式中的Zadeh模糊逻辑(1)第3章非经典逻辑

将取值进一步模糊化，而不是一个确定的值。使模糊变量和模糊谓词的取值为[0,1]区间上的模糊子集需要引入新的表示方式/此时称为Z(Zadeh)氏模糊逻辑非形式地描述Zadeh模糊逻辑的真值，从语义上规定：(1)一元模糊谓词的真值为U上的模糊子集，n元模糊谓词为U上的n元模糊关系(由多个分量组成的模糊子集)，因此赋值映射v：ATOMIC→[0,1]确定了v(P(x1～xn))=a当且仅当

P(x1～xn)=a(a

[0,1],x1～xn

U)88Zadeh模糊逻辑(1)第3章非经典逻辑将取值进一步模糊Zadeh模糊逻辑(2)第3章非经典逻辑

注意：此处a值不止一个，因为有多个U上对象；即对于每个x值

U，P(x)都对应一个a/多个a值构成了一个模糊子集（参见下面关于大数的例子）(2)真值联结词、量词规定为模糊真值函数，扩展v为~v(v上一个波浪线)：~v(

A)=1

v(A)~v(A

B)=max(v(A),v(B))~v(A

B)=min(v(A),v(B))~v(A

B)=max(v(

A),min(v(A),v(B))) =~v(

A

(A

B))89Zadeh模糊逻辑(2)第3章非经典逻辑注意：此处a值不Zadeh模糊逻辑(3)第3章非经典逻辑~v(

xA)=inf(v(A))，当U为无限集时取下确界；~v(

xA)=min(v(A))，当U为有限集时~v(

xA)=sup(v(A))，当U为无限集时取上确界；~v(

xA)=max(v(A))，当U为有限集时满足如上规定的系统称为Z氏模糊逻辑L氏模糊逻辑和Z氏模糊逻辑的不同之处在于真值取值不同，前者在[0,1]区间，后者为[0,1]区间上的模糊子集。90Zadeh模糊逻辑(3)第3章非经典逻辑~v(xA)=iZadeh模糊逻辑(4)第3章非经典逻辑

Zadeh模糊逻辑的推理规则这里A和A’、B和B’均为谓词相同但程度可以不同的模糊谓词，具体说明参见下例B’真值计算如下：v(B’)=v(A

B)

v(A’)注意：这里使用近似推理规则，是对语义规定的，而非形式的91Zadeh模糊逻辑(4)第3章非经典逻辑Zadeh模糊逻Z氏模糊逻辑例子(1)第3章非经典逻辑

例子：设P、Q均为U={1,2,3,4,5}上的一元模糊谓词，P(x)表示：x是大数；Q(x)表示：x是可取的其对应的模糊子集分别为：

P=0/1+0.1/2+0.3/3+0.9/4+1/5(%表示模糊集合)

Q=0.1/1+0.2/2+0.4/3+0.9/4+1/5则“如果x大，那么x可取”可用公式P(x)

Q(x)表示，且对应的模糊子集为：%(P(x)

Q(x))=1/1+0.9/2+0.7/3+0.9/4+1/592Z氏模糊逻辑例子(1)第3章非经典逻辑例子：设P、Q均为Z氏模糊逻辑例子(2)第3章非经典逻辑%(P(x)

Q(x))=1/1+0.9/2+0.7/3+0.9/4+1/5对于上述取值，是按照计算公式v(PQ)=max(v(P),min(v(P),v(Q)))来计算的，当x=1时，v(P

Q)=max(1-0,min(0,0.1))=1/当x=2时，v(P

Q)=max(1-0.1,min(0.1,0.2))=0.9，如此等等

如果令P’(x)表示：x是较大数/Q’(x)表示：x较可取。此时，P和P’均表示大数，而其程度分别为“大”和“较大”，同理可说明Q和Q’93Z氏模糊逻辑例子(2)第3章非经典逻辑%(P(x)Q(第3章非经典逻辑按照模糊逻辑的近似推理规则有：若%P’=0/1+0.4/2+0.8/3+1/4+1/5(显然，P’对“大”的认同比P宽松)则%Q’的元素真值计算依次为v(Q’(1))=v(P(1)

Q(1))

v(P’(1))=1*0=0