七年级数学上册专题1.51 《有理数》挑战综合（压轴）题分类专题（专项练习）-2022-2023学年七年级数学上册基础知识专项讲练（人教版）

/专题1.51《有理数》挑战综合（压轴）题分类专题（专项练习）【类型一】有理数的运算【类型①】加减运算➼➻混合运算★✭简便运算1．（2022·浙江·七年级专题练习）计算：(1)4.7﹣（﹣8.9）﹣7.5﹣（+6） (2)3）+5+（﹣8）；(3)2.7+（﹣8.5）﹣（+3.4）﹣（﹣1.2） (4)﹣0.6﹣0.08+﹣2﹣0.92+2．2．（2022·全国·七年级课时练习）用较为简便的方法计算下列各题：(1)3﹣（+63）﹣（﹣259）﹣（﹣41）； (2)；(3) (4)．【类型②】加减运算➼➻应用3．（2020·浙江·模拟预测）某登山队5名队员以二号高地为基地，开始向海拔距二号高地500米的顶峰冲击，设他们向上走为正，行程记录如下（单位：米）．（1）他们最终有没有登上顶峰？如果没有，那么他们离顶峰还差多少米？（2）登山时，5名队员在进行全程中都使用了氧气，且每人每米要消耗氧气0.04升，他们共使用了氧气多少升？4．（2020·浙江·模拟预测）小明家买了一辆轿车，他记录了某一个星期他家轿车每天行驶的路程，以为标准，超过或不足部分分别用正数、负数表示，得到的数据分别如下：（单位：）（1）求小明家这个星期轿车行驶的路程；（2）请你运用所学的知识估计小明家一个月（按30天计算）轿车行驶的路程；（3）若已知该轿车每行驶耗油8升，且汽油价格为每升5.90元，根据（2）题估计小明家一年（按12个月算）的汽油费用（精确到个位）【类型③】乘除运算➼➻混合运算★✭简便运算5．（2020·浙江杭州·模拟预测）用你喜欢的方法计算．

6．（2021·河北邢台·一模）利用运算律计算有时可以简便例1：；例2：．请你参考黑板中老师的讲解，用运算律简便计算．（1）；（2）计算：．【类型④】乘除运算➼➻应用7．（2022·河北张家口·一模）阅读：我们知道，所有无限循环小数都可以化成分数，那么如何把无限循环小数化为分数呢？下面介绍一种方法：例1：把和化成分数乘10原数位每位进一位，得到，即，再减去得3，算式如下：，即，所以同样道理，把化成分数算式如下：，即，所以根据上面材料完成：(1)直接把下面无限循环小数化为分数__________，__________；(2)请把下面无限循环小数，化为分数，写出计算过程(3)无限循环小数（a、b均表示一位的正整数）8．（2020·浙江·模拟预测）2020年的“新冠肺炎”疫情的蔓延，使得医用口罩销量大幅增加，某口罩加工厂为满足市场需求计划每天生产5000个，由于各种原因实际每天生产量相比有出入，下表是二月份某一周的生产情况（超产为正，减产为负，单位：个）．星期一二三四五六日增减（1）根据记录可知前三天共生产多少个口罩；（2）产量最多的一天比产量最少的一天多生产多少个；（3）该口罩加工厂实行计件工资制，每生产一个口罩0.2元，本周口罩加工厂应支付工人的工资总额是多少元？【类型⑤】加减乘除乘方运算➼➻混合运算9．（2019·河北·中考真题）有个填写运算符号的游戏：在“”中的每个□内，填入中的某一个（可重复使用），然后计算结果．（1）计算：；（2）若请推算□内的符号；（3）在“”的□内填入符号后，使计算所得数最小，直接写出这个最小数．10．（2017·湖北武汉·中考模拟）有一列数a1，a2，a3，…an，若a1=，从第二个数开始，每一个数都等于1与它前面那个数的差的倒数．（1）试计算a2，a3，a4；（2）根据以上计算结果，试猜测a2016、a2017的值．【类型⑥】加减乘除乘方运算➼➻应用11．（2021·浙江台州·中考真题）小华输液前发现瓶中药液共250毫升，输液器包装袋上标有“15滴/毫升”．输液开始时，药液流速为75滴/分钟．小华感觉身体不适，输液10分钟时调整了药液流速，输液20分钟时，瓶中的药液余量为160毫升．（1）求输液10分钟时瓶中的药液余量；（2）求小华从输液开始到结束所需的时间．12．（2022·河北邯郸·一模）有个补充运算符号的游戏：在“”中的每个内，填入＋，﹣，×，÷中的某一个（可重复使用），然后计算结果．(1)计算：__________（直接写出结果）；(2)若，请推算内的符号应是什么；(3)请在内填上×，÷中的一个，使计算更加简便，然后计算．计算：．【类型二】数轴、绝对值➼➻数学思想【类型①】数轴➼➻动点★✭分类讨论★✭方程思想13．（2022·河北唐山·二模）如图，在数轴上，点A、B分别表示数2、﹣2x+6．(1)若x＝﹣2，则点A、B间的距离是多少？(2)若点B在点A的右侧：①求x的取值范围；②表示数﹣x+4的点应落在（

）（填序号）A．点A左边

B．线段AB上

C．点B右边14．（2020·河北·育华中学一模）如图：在数轴上点表示数，点表示数，点表示数是最大的负整数，且满足．（1）a=________，b=________，c=________．（2）若将数轴折叠，使得点与点重合，则点与数________表示的点重合；（3）点开始在数轴上运动，若点以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点和点分别以每秒2个单位长度和3个单位长度的速度向右运动，假设秒钟过后，若点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为，则________，________．（用含的代数式表示）（4）的值是否随着时间t的变化而改变?若变化，请说明理由；若不变，请求其值。【类型②】数轴★✭绝对值➼➻动点★✭分类讨论★✭方程思想15．（2022·江苏·江阴市敔山湾实验学校七年级阶段练习）如图，数轴上A，B两点对应的有理数分别为﹣10和20，点P从点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴正方向匀速运动，点Q同时从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴正方向匀速运动，设运动时间为t秒．(1)分别求当t＝2及t＝12时，对应的线段PQ的长度；(2)当PQ＝5时，求所有符合条件的t的值，并求出此时点Q所对应的数；(3)若点P一直沿数轴的正方向运动，点Q运动到点B时，立即改变运动方向，沿数轴的负方向运动，到达点A时，随即停止运动，在点Q的整个运动过程中，是否存在合适的t值，使得PQ＝8？若存在，求出所有符合条件的t值，若不存在，请说明理由．16．（2021·重庆·垫江第八中学校七年级阶段练习）已知数轴上三点A，O，B表示的数分别为8，0，，(1)动点P从A出发，以每秒6个单位的速度沿数轴向左匀速运动．另一动点R从B出发，以每秒4个单位的速度沿数轴向左匀速运动，若点P、R同时出发，点P运动________秒追上点R，此时点P在数轴上表示的数是________．(2)若点M以每秒4个单位的速度从A点出发，点N以每秒3个单位的速度运动从B点出发，设点M、N同时出发，运动时间为t秒，试探究：经过多少秒时，点M、N两点间的距离为5个单位？【类型三】有理数乘方➼➻运算★✭应用【类型①】有理数乘方➼➻运算17．（2020·浙江杭州·模拟预测）．18．（2021·全国·七年级专题练习）观察:1+2=3=22-1,1+2+22=7=23-1,1+2+22+23=15=24-1,….又232约为4.3×109,则1+2+22+23+…+231约为多少?用科学记数法表示为a×10n的形式,并判断它是几位数.(a的值精确到0.1)【类型②】有理数乘方➼➻应用19．（2017·河北·模拟预测）小明有5张写着不同数字的卡片，请你按要求抽出卡片，完成下列各问题：-3

-5

0

+3

+4（1）从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字的乘积最大，最大乘积是；（2）从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字相除的商最小，最小的商是；（3）从中取出4张卡片，用学过的运算方法，使结果为24．写出运算的式子．（至少写出两种）20．（2022·全国·七年级课时练习）概念学习现规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的商的运算叫做除方，比如，等，类比有理数的乘方，我们把写作，读作“2的圈3次方”，写作，读作“的圈4次方”，一般地，把写作，读作“的圈次方”．初步探究（1）直接写出计算结果：________，________；（2）下列关于除方说法中，错误的有________；（在横线上填写序号即可）A．任何非零数的圈2次方都等于1B．任何非零数的圈3次方都等于它的倒数C．负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数D．圈次方等于它本身的数是1或深入思考我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，那么有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？（3）归纳：请把有理数的圈次方写成幂的形式为：________；（4）比较：________；填“>”“<”或“=”）（5）计算：．参考答案1．(1)0.1(2)﹣2.5(3)﹣8(4)﹣1.2【分析】（1）先利用去括号法则去掉括号，再利用法则进行有理数的运算；（2）先利用去括号法则去掉括号，再利用加法的交换律结合律把同分母分数结合在一起运算；（3）先利用去括号法则去掉括号，再利用有理数的加减混合运算法则进行运算；（4）先把互为相反数的两个分数结合在一起，然后利用有理数的加减法则计算．（1）解：4.7﹣（﹣8.9）﹣7.5﹣（+6）＝4.7+8.9﹣7.5﹣6＝13.6﹣13.5＝0.1；（2）解：3）+5+（﹣8）＝3﹣2+5﹣8＝3+5﹣2﹣8＝8.5﹣11＝﹣2.5；（3）解：2.7+（﹣8.5）﹣（+3.4）﹣（﹣1.2）＝2.7﹣8.5﹣3.4+1.2＝3.9﹣11.9＝﹣8；（4）﹣0.6﹣0.08+﹣2﹣0.92+2＝﹣0.6+0.4﹣0.08﹣0.92﹣2+2＝﹣0.2﹣1＝﹣1.2．【点拨】在进行有理数的加减混合运算时，先去括号，化简成最简形式，然后利用有理数混合运算法则并结合运算定律简便运算，熟练掌握有理数的加减法法则是解题的关键．2．(1)240(2)﹣19(3)469(4)﹣9903【分析】（1）原式利用减法法则变形后计算即可得到结果；（2）原式利用减法法则变形后计算即可得到结果；（3）原式利用减法法则变形后计算即可得到结果；（4）原式利用减法法则变形后计算即可得到结果．（1）解：原式＝3﹣63+259+41＝﹣60+300＝240；（2）解：原式＝2﹣10﹣8﹣3＝﹣8﹣11＝﹣19；（3）解：原式＝598﹣84﹣（12+31）＝514﹣44＝469；（4）解：原式＝（﹣8721﹣1279）+（53+43）＝﹣10000+97＝﹣9903．【点拨】此题考查了有理数的加减混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．（1）没有，离顶峰还有170米；（2）128升【分析】（1）约定前进为正，后退为负，依题意列式求出和，再与500比较即可；（2）要消耗的氧气，需求他共走了多少路程，这与方向无关．解：（1）根据题意得：150-32-43+205-30+25-20-5+30-25+75=330米，500-330=170米．∴他们没能最终登上顶峰，离顶峰还有170米；（2）根据题意得：150+32+43+205+30+25+20+5+30+25+75=640米，640×0.04×5=128升．∴他们共使用了氧气128升．【点拨】此题不但考查了正数和负数在实际生活中的应用，而且用到了有理数的加法，需同学们熟练掌握．（1）小明家这个星期轿车行驶的路程为147km；（2）一个月行驶的路程为630km；（3）小明家一年（按12个月算）的汽油费用约为3568元．【分析】（1）记录数字的和再加上7个20即可得到结果；（2）求出每天平均的路程，乘以30即可得到结果；（3）由每天平均的路程，求出一年行驶的路程，除以100得到耗油的升数，乘以每升油的价格即可得到总费用．解：（1）根据题意得：3＋5＋（−4）＋2.5＋（−5）＋（−4.5）＋10＋20×7＝3＋5＋4＋2.5＋5＋4.5＋10＋7×20＝147（km），则小明家这个星期轿车行驶的路程为147km；（2）根据题意得：30×=630（km），则一个月行驶的路程为630km；（3）根据题意得：（12×630）÷100×8×5.90＝3568.323568（元），则小明家一年（按12个月算）的汽油费用约为3568元．【点拨】此题考查了有理数的混合运算，以及正数与负数，弄清题意是及解本题的关键．（1）；（2）20；（3）50；（4）0．【分析】（1）将除法化为乘法后，把分母相乘，分子相乘后利用乘法分配律与括号内相乘，然后计算括号内加法，最后与括号外相乘即可；（2）利用乘法分配律分别与括号内相乘，将结果相加、减；（3）逆运用乘法分配律计算；（4）把负数和正数分别相加，再将结果相加．解：（1）====；（2）====20；（3）====50；（4）===0．【点拨】本题考查有理数的混合运算．解此类题除了要掌握运算顺序和运算法则，还需注意运算律的应用．（1）-3；（2）-10【分析】（1）根据加法交换律与加法结合律计算；（2）根据乘法分配律、加法交换律与加法结合律计算．解：（1）原式（2）．【点拨】本题考查有理数的简便运算，熟练掌握有理数的运算律是解题关键．7．(1)，(2)；；见解析(3)【分析】（1）仿照题意求解即可；（2）仿照题意求解即可；（3）仿照题意求解即可．(1)解：∵，∴，，∴，∴；∵，∴，，∴，∴；(2)解：∵，∴，，∴，∴；∵，∴，，∴，∴；(3)解：∵，∴，，∴，∴．【点拨】本题主要考查了把无限循环小数化成分数，正确理解题意是解题的关键．（1）个；（2）500个；（3）7100元．【分析】（1）将记录表中的前三天数字相加，再加上15000个即可得；（2）将记录表中的最大数减去最小数即可得；（3）根据记录表，求出本周共生产的口罩总数，再乘以即可得．解：（1），，（个），答：前三天共生产个口罩；（2）（个），答：产量最多的一天比产量最少的一天多生产500个；（3），，（个），则（元），答：本周口罩加工厂应支付工人的工资总额是7100元．【点拨】本题考查了正负数在实际生活中的应用、有理数乘法与加减法的应用，依据题意，正确建立各运算式子是解题关键．（1）-12；（2）-；（3）-20，理由详见解析.【分析】（1）根据有理数的加减法法则解答即可；（2）根据题目中式子的结果，可以得到□内的符号；（3）先写出结果，然后说明理由即可．解：（1）1+2﹣6﹣9=3﹣6﹣9=﹣3﹣9=﹣12；∵1÷2×6□9=﹣6，∴16□9=﹣6，∴3□9=﹣6，∴□内的符号是“﹣”；这个最小数是﹣20，理由：∵在“1□2□6﹣9”的□内填入符号后，使计算所得数最小，∴1□2□6的结果是负数即可，∴1□2□6的最小值是1﹣2×6=﹣11，∴1□2□6﹣9的最小值是﹣11﹣9=﹣20，∴这个最小数是﹣20．【点拨】本题考查了有理数的混合运算，明确有理数混合运算的计算方法是解答本题的关键．（1）（2）试题分析：（1）根据题中的要求，按所给公式进行计算；（2）由（1）中的计算可知，每三个值为一个循环，把2016除以3，由余数即可确定结果.解：（1）∵a1=，∴a2==2，∴a3==﹣1，∴a4==；（2）由（1）得：∵2016÷3=672，∴a2016=﹣1，a2017=．（1）输液10分钟时瓶中的药液余量为200毫升；（2）小华从输液开始到结束所需的时间为60分钟．【分析】（1）先求出每分钟输液多少毫升，进而即可求解；（2）先求出输液10分钟时调整后的药液流速，进而即可求解．（1）解：75÷15=5（毫升/分钟），250-5×10=200（毫升），答：输液10分钟时瓶中的药液余量为200毫升；（2）（200-160）÷10=4（毫升/分钟），160÷4+20=60（分钟），答：小华从输液开始到结束所需的时间为60分钟．【点拨】本题主要考查有理数运算的实际应用，明确时间，流速，输液量三者之间的数量关系，是解题的关键．12．(1)0(2)+(3)【分析】（1）根据加减混合运算顺序和运算法则计算可得；（2）按照混合运算顺序计算可知□内运算符号；（3）要使计算简便，可利用分配律，在□内填上÷即可．(1)解：1+2-（-6）-9=1+2+6-9=0．故答案为：0；(2)解：∵1÷2×（-6）□9=6，∴-3□9=6，∴□内的符号是“+”．故答案为：+；(3)解：在内填上.．【点拨】此题了考查有理数的混合运算，解题的关键是掌握有理数的混合运算顺序和运算法则．13．(1)8(2)B【分析】（1）由x＝﹣2解得B的坐标，再根据数轴上两点间的距离解答；（2）由点B在点A的右侧，得到﹣2x+6＞2，解得x＜2，继而得到数轴上表示数﹣x+4的点应落在点A的右边，在点B的左边，由此解题．（1）解：当x＝﹣2，﹣2x+6=10∵点A、B分别表示数2、10，∴AB＝10﹣2＝8；①∵点B在点A右侧，∴﹣2x+6＞2，解得x＜2；②∵x＜2，∴﹣x＞﹣2，则﹣x+4＞2，∴数轴上表示数﹣x+4的点应落在点A的右边，又∵（﹣x+4）﹣（﹣2x+6）＝x﹣2＜0，∴﹣x+4＜﹣2x+6，即数轴上表示数﹣x+4的点在点B的左边，∴数轴上表示﹣x+4的点落在线段AB上，故答案为：B．【点拨】本题考查数轴、数轴上两点间的距离、分类讨论法等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．（1）-3；-1；5；（2）3；（3），；（4）的值为定值16．【分析】（1）根据b为最大的负整数可得出b的值，再根据绝对值以及偶次方的非负性即可得出a、c的值；（2）根据折叠的性质结合a、b、c的值，即可找出与点B重合的数；（3）根据运动的方向和速度结合a、b、c的值，即可找出t秒后点A、B、C分别表示的数，利用两点间的距离即可求出AB、BC的值；（4）将（3）的结论代入3BC-AB中，可得出3BC-AB为定值16，此题得解．解：（1）∵是最大的负整数，且满足，∴，，，∴，．故答案为：-3；-1；5．（2）．故答案为：3．（3）t秒钟过后，点表示的数为，点表示的数为，点C表示的数为，∴，．故答案为：，．（4）∵，，∴．∴的值为定值16．【点拨】本题考查了数轴、两点间的距离、绝对值以及偶次方的非负性，根据点运动的方向和速度找出点A、B、C运动后代表的数是解题的关键．15．(1)8；2(2)当PQ=5时，t的值为5时，Q所对应的数为0；当PQ=5时，t的值为15时，Q所对应的数为20；(3)在点Q的整个运动过程中，存在合适的t，使得PQ=8，此时t的值为2或【分析】（1）分别求出当t＝2及t＝12时，P、Q对应的数，再利用数轴上两点距离公式求解即可；（2）分别求出运动t秒时，点P表示的数为t，点Q表示的数为，然后根据数轴上两点距离公式列出方程求解即可；（3）分当时点Q表示的数为-10+2t；当时点Q表示的数为，两种情况同（2）列出方程求解即可．（1）解：由题意得，当t=2时，点P表示的数为：；点Q表示的数为：，∴；当t=12时，点P表示的数为：；点Q表示的数为：，∴；（2）解：由题意得，运动t秒时，点P表示的数为t，点Q表示的数为，∵PQ=5，∴，∴，∴t-10=5或t-10=-5，∴t=15或t=5，当t=5时，-10+2t=0，当t=15时，-10+2t=20，∴点Q对应的数为0或20，∴当PQ=5时，t的值为5时，Q所对应的数为0；当PQ=5时，t的值为15时，Q所对应的数为20；（3）解：由题意得，∵，∴点Q从A运动到B需要15秒，从B运动到A也需要15秒∴当时点Q表示的数为-10+2t；当时点Q表示的数为，当时，∵PQ=8，∴，∴，∴t-10=8或t-10=-8，∴t=2或t=18（舍去）；当时，∵PQ=8，∴，∴，∴3t-50=8或3t-50=-8，∴或t=14舍去）；综上所述，在点Q的整个运动过程中，存在合适的t，使得PQ=8，此时t的值为2或．【点拨】本题主要考查了数轴上两点的距离，数轴上的动点问题，解绝对值方程，熟知数轴上两点距离的表示方法是解题的关键．16．(1)6，28；(2)M，N都向左运动，经过7秒或17秒时，点M、N两点间的距离为5个单位，M向左运动，N向右运动，经过1秒或秒时，点M、N两点间的距离为5个单位．【分析】（1）用含t的代数式表示P，R运动后表示的数，列方程可得答案；（2）由M，N运动方向不同，分两种情况列方程，即可解得答案．（1）解：设点P、R运动时间是t秒，则运动后P表示的数是8-6t，R运动后表示的数是-4-4t，根据题意得：8-6t=-4-4t，解得t=6，∴点P运动6秒追上点R，此时点P在数轴上表示的数是8-6×6=-28，故答案为：6，28；（2）解：①M，N都向左运动，M表示的数是8-4t，N表示的数是-4-3t，∴（8-4t）-（-4-3t）=5或（-4-3t）-（8-4t）=5，解得t=7或t=17；②M向左运动，N向右运动，M表示的数是8-4t，N表示的数是-4+3t，∴（8-4t）-（-4+3t）=5或（-4+3t）-（8-4t）=5，解得t=1或t=，综上所述，M，N都向左运动，经过7秒或17秒时，点M、N两点间的距离为5个单位，M向左运动，N向右运动，经过1秒或秒时，点M、N两点间的距离为5个单位．【点拨】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是能用含t的代数式表示点运动后表示的数．【分析】根据有理数混合运算的顺序计算即可．解：===．【点拨】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握混