T-S模糊模型的辨识

f(xf(xo)g(xo)u=AxoBu, -u (6)f(xf(xo)g(xo)u=AxoBu, -u (6)两类T-S模糊模型的建模方法T-S模糊模型的辨识有两种方法：通过运动方程建立 T-S模糊模型和通过输入输出数据利用模糊C均值聚类算法、最小二乘法、遗传算法等拟合算法辨识模型参数。通过运动方程建立T-S模糊模型。这种方法首先要对系统进行运动分析， 然后得到运动状态的状态空间形式 （非线性），再利用T-S模糊模型分段近似，得到系统的 T-S模糊模型。TOC\o"1-5"\h\z实例：一级倒立摆系统的模型建立 [模糊控制系统的设计及稳定性分析 P45]现在利用一般的线性化方法构造局部模型。假设系统的真值模型为：Lx=f（力g（力u （1）其中x是系统的状态变量，u是系统的输入，f（x）,g（x）均是关于x的非线性函数。为了方便，记LF（x,u）=x=f（x）g（x）u （2）将F（x,u）在工作点（Xo,Uo）用泰勒级数展开法可得：F :fx=F（x,u）=F（x0,Uo） |x^（x-Xo） ' |x^（u-u°）… （3）「X u±0 JU u^l0上式中F(Xo,Uo)=f(x上式中F(Xo,Uo)=f(xo)g(Xo)Uo，记A=；：F:xlx%，B二uzUo-l.ux=Xo

U=Uo，并忽略式（3）中的咼次项得：(4)L(4)x二AxBu(F(x0,u0)-Ax0-Bu0)1.1若（X°,U°）=（0,0）且是系统的平衡点，则 F（X0,U。）=F（0,0）=0，此时可得平衡点（X0,U0）=（0,0）处的一个局部线性化模型L(5)x=(5)cFB~■u|x=X0=0。-UuZU0=01.2若（X°,U°）既不是平衡点，又不满足（X0,U。）=（0,0），我们采用下面的线性化方法。首先，我们的目的是：构造一个关于 X和U的线性模型，使其在工作点x0逼近真值模型（1）,即找到常数矩阵A和B,使得在工作点X0及X0的邻域内有下面式子成立。和TOC\o"1-5"\h\zf(x)g(x)u：AxBu, -u (7)由于u是任意的，要想使式(6)成立，则必有B=gX)下面的任务就是确定A,使其满足f(x)：Ax， _u (8)和f(xo)=Axo, _u (9)设aiT表示矩阵A的第i行，则式(8)和(9)可进一步表示成fi(x)：ajx， i=1,2,•…，n (10)和fi(xo)=aiTx°，i=1,2,•…,n (11)将式(10)在点x0处展开，并忽略高次项可得a「x：fi(x)：fi(Xo)'、fi(x°)(x-xo) (12)式(11)带入式(12)可得a「(x-Xo)：'、fi(Xo)(x-Xo) (13)上式中x是任意的，但趋近于怡。现在的问题是：定义一个常向量aiT，使它尽可能地趋近于Vfi(xo)，并且满足约束条件fi(xo)=aTXo。设E二丄^fi(Xo)-ai』2那么上述的问题就归结为带有约束的优化问题：TOC\o"1-5"\h\zminE满足fi(x°)=a「Xo (14)ai最优化问题(14)的第一个条件为JE■舄佝％-fi(x。))=0 (15)fi(Xo)=aTX° (16)式中，■是Lagrange乘子。对式(15)求导可得(17)a： £(冷)X。=(17)(18(18)(18(18)由于Xo式0，利用XgT左乘式(17),并将式(16)带入，可得X0'fi(X°)—fi(X°)将式(18)带入式(17)可得(19)心心哙斗(19)实例：对于一级倒立摆系统。L日-0,-X1设则倒立摆系统的动态方程为实例：对于一级倒立摆系统。L日-0,-X1设则倒立摆系统的动态方程为7Xi{LX2=x2gsin(xj-amlx；sin(2x1)/2-acos(xju(20)241/3-amicos(备)L式中，为-v是摆与垂线间的夹角； x^是角速度;g=9.8是重力加速度；m=2是摆的1=0.5;质量；M=8是小车的质量；u是作用在小车上的作用力;1=0.5;对比真值模型(1)，可知-他 1[01f(x)=2gsin(X!)—amlx2sin(2xj/2g(x)=|acos(xj■4l/3—amlcos2(X1)124l/3-amicos(X1)一LF(x,u)二x二f(x)g(x)u模糊系统规则：规则1:如果x1大约是0,%大约是0;利用式(5)即可得A—r|(X"X2)却,0)，B1— |(为,X2)*,0)-Xu士0=0 uu勻0z0带入数据即可求得TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"L；0 11人0 [\o"CurrentDocument"x= x+ u17.29410一 [-0.1765一运用方法1.2，可相应求得规则2、3、4、5中的参数。[具体求解参考程序A]规则2:如果x1大约是0,X2大约是-4，则\o"CurrentDocument"0 10\o"CurrentDocument"x=| x+| u14.47060 -0.1765规则3:如果x1大约是一二/3,x2大约是0,则L：° +：°1TOC\o"1-5"\h\zX= X+ u$2.6304°一 ]—0.0779_规则4:如果X1大约是二/3,X2大约是4,则\o"CurrentDocument"1 0 1 】X+[11.59943.0367J规则5:如果X1大约是二/3,X2大约是-4，则M0 1 ]x+]0 ]uJ1.5994-3.0367一 [-0.0799一若X1和X2的隶属度函数分别取为（1,0）和（2,0）的高斯隶属度函数，模糊关系取乘积”•”，则经过单点模糊化，乘积推理和加权平均反模糊化可得一级倒立摆系统的 T-S模糊0 10模型为x= x+ u占5.17170一 [-0.1378一I.若x1和x2的隶属度函数分别取为（1,0）和（2,0）的高斯隶属度函数，模糊关系取取小””，则经过单点模糊化，乘积推理和加权平均反模糊化可得一级倒立摆系统的 T-S0 10模糊模型为X x u1（14.96600 1（-0.1343I.若X1和X2的隶属度函数均取为 卜149]的三角形隶属度函数，模糊关系取乘积，则T-S模糊模型为T-S模糊模型为010X X u[12.81151.7001 |（-0.11032.通过输入输出数据建立这种方法主要利用模糊[具体求解参考程序2.通过输入输出数据建立这种方法主要利用模糊T-S模糊模型。C均值聚类算法、最小二乘法、遗传算法等拟合算法辨识模型参数。2.1模糊模型前件结构及参数的确定I.用模糊C均值聚类（FCM算法确定模糊模型前件结构及参数模糊c均值聚类算法是用隶属度确定每个数据点属于某个聚类的程度的一种聚类算法。

FCM把n个向量Xj（j=1,2,…,n）分为c个模糊组A,A2,…，代，然后求每组的聚类中心， 使得非相似性指标的价值函数达到最小。间的隶属度来确定其属于各个组的程度。与引入模糊划分相适应，隶属矩阵U允许有取值在0，1间的元素。不过，加上归一化规定,一个数据集的隶属度的和总等于1得非相似性指标的价值函数达到最小。间的隶属度来确定其属于各个组的程度。与引入模糊划分相适应，隶属矩阵U允许有取值在0，1间的元素。不过，加上归一化规定,一个数据集的隶属度的和总等于1：c、Uij=1,-j=1,…,ni4在T-S模糊模型中相应有c条模糊规则，第i条模糊规则的隶属度可由下式确定,TOC\o"1-5"\h\zn nui=£Aj(Xj)= i=1,2，…,c这里，N是模糊算子，通常采用取小运算或乘积运算。那么，FCM的价值函数（或目标函数）就是:c cnJ(U,G,...,Cc)八JiJ二ujdi2i吕 \=1j这里uij介于0,1间；o为模糊组I的聚类中心，dij=||ci-Xj||为第i个聚类中心与第j个数据点间的欧几里德距离；且j个数据点间的欧几里德距离；且m二是一个加权指数。构造如下新的目标函数，可求得使（ 3）式达到最小值的必要条件:cnJ(U,G,...,Cc,‘1,...,n)二J(U,C1,...,Cc) 、j吕’jCUij-1)cn n c八ujdjn/■■jCUij-1)这里j这里j，j=1到门，是（1）式的n个约束式的拉格朗日乘子。对所有输入参量求导，使式（3）达到最小的必要条件为:n、-mUijXjj丘nmUijj¥1Uij、.2/(m4)dij；5Uij该算法的初始条件为： 该算法的初始条件为： p(0)=：1^(0)二由上述两个必要条件，模糊 由上述两个必要条件，模糊 c均值聚类算法是一个简单的迭代过程。在批处理方式运(13(13)行时，FCM用下列步骤确定聚类中心 Ci和隶属矩阵U[1]:步骤1:用值在0，1间的随机数初始化隶属矩阵 U,使其满足式（1）中的约束条件步骤2：用式（5）计算c个聚类中心ci,i=1,…,c。步骤3:根据式（3）计算价值函数。如果它小于某个确定的阀值，或它相对上次价值函数值的改变量小于某个阀值，则算法停止。步骤4：用（6）计算新的U矩阵。返回步骤2。上述算法也可以先初始化聚类中心，然后再执行迭代过程。由于不能确保 FCM收敛于一个最优解。算法的性能依赖于初始聚类中心。 [fem算法的一个程序见FCMCIust.m，测试程序Untitled.m]II.最小二乘法辨识后件参数通过上面的模糊C均值运算，可得到模糊规则数 c，以及每条模糊规则的隶属度函数Ui（i-1,2,...,c）。利用加权平均反模糊化，则系统的输出可以写成c盯ci吕TOC\o"1-5"\h\zy二 八gi（Pi0■PM亠亠PinXn） （7）■— i=1送yi土u其中9i c~^,i=1,2,…,c (8)Suii生记二=[p10,P11,，p1n, P>0, P>1, , P2n,，PcO, Pc1,，Pcn]丁 (9)\o"CurrentDocument"T二[g,g2,…,gc,g/,g2N,〜。叫；gxn,g2Xn,,gcXJ (