课件第7讲点兵

“韩信点兵”的问题引入

我国汉代有一位大将，名叫韩信。他每次集合部队，都要求部下报三次数，第一次1、2、3依次循环报数，第二次1、2、…5依次循环报数，第三次1、2、…7依次循环报数，每次报数后都要求最后一个人报告他报的数是几，这样韩信就知道一共到了多少人。我国汉代有一位大将，名叫韩信。他每次集合部队，都要求部下报三次数，第一次1、2、3依次循环报数，第二次1、2、…5依次循环报数，第三次1、2、…7依次循环报数，每次报数后都要求最后一个人报告他报的数是几，这样韩信就知道一共到了多少人。我国汉代有一位大将，名叫韩信。他每次集合部队，都要求部下报三次数，第一次1、2、3依次循环报数，第二次1、2、…5依次循环报数，第三次1、2、…7依次循环报数，每次报数后都要求最后一个人报告他报的数是几，这样韩信就知道一共到了多少人。我国汉代有一位大将，名叫韩信。他每次集合部队，都要求部下报三次数，第一次1、2、3依次循环报数，第二次1、2、…5依次循环报数，第三次1、2、…7依次循环报数，每次报数后都要求最后一个人报告他报的数是几，这样韩信就知道一共到了多少人。有一次点名结果是：第一次1～3循环报数，最后一位士兵报“2”，第二次1～5循环报数，最后一位士兵报“1”，第三次1～7循环报数，最后一位士兵报“5”。韩信问不下大约有多少人，部下回答：大约二十几人。据此，韩信很快确定士兵总数是26，他的这种巧妙算法使在场的将领目瞪口呆，人们称其为“鬼谷算”、“隔墙算”、“秦王暗点兵”等。有一次点名结果是：第一次1～3循环报数，最后一位士兵报“2”，第二次1～5循环报数，最后一位士兵报“1”，第三次1～7循环报数，最后一位士兵报“5”。韩信问不下大约有多少人，部下回答：大约二十几人。据此，韩信很快确定士兵总数是26，他的这种巧妙算法使在场的将领目瞪口呆，人们称其为“鬼谷算”、“隔墙算”、“秦王暗点兵”等。有一次点名结果是：第一次1～3循环报数，最后一位士兵报“2”，第二次1～5循环报数，最后一位士兵报“1”，第三次1～7循环报数，最后一位士兵报“5”。韩信问不下大约有多少人，部下回答：大约二十几人。据此，韩信很快确定士

兵总数，他的这种巧妙算法使在场的

将领目瞪口呆，人们称其为“鬼谷算”、“隔墙算”、“秦王暗点兵”等。概念：整除：设a和b都是整数，b≠0。如果存在整数q，使得a=qb，就称a能被b整除，或称b整除a，记作b|a。复习例如：整数15=3×5，即称3整除15，记为3|15。除法定理：如果a,b是两个整数，b≠0，那么有而且仅有两个整数q,r，可使a=bq+r式中0≤r≤|b|q是数b除数a所得的商，r称为余数。整除性的性质根据整除性的定义，可得出如下基本性质

（1）若a|b,b|c,则a|c。（2）k为任意整数，若b|a，则b|ka。（3）若a|b,b|c,则a|(b±c)。（4）若b|ma,且b与m互质，则m|a。例1第一次点名表明士兵数除3余2，因此，可能的士兵总数是：2，5，8，11，14，17，20，23，26，29……韩信点兵问题可以转换为：求整除3余2，整除5余1，整除7余5的自然数，且这个自然在20到30

的范围内。

1，6，11，16，21，26，31……1，6，11，16，21，26，31……第二次点名表明士兵数除5余1，因此，可能的士兵总数是：第三次点名表明士兵数除7余5，因此，可能的士兵总数是：5，12，17，26，31，38……26

【拓展练习1】解：设士兵的总数为X。小结：学会代数是解题的关键。其他的方法？3|(x-2)5|(x-1)7|(x-5)X=26

【拓展练习2】小红暑假期间帮着张二婶放鸭子，她总也数不清一共有多少只鸭子，大概有三四十只。她先是3只3只地数，结果剩1只；她又5只5只地数，结果剩4只；她又7个7个地数了一遍，结果剩6只。她算来算去还是算不清一共有多少只鸭子。小朋友，请你帮着小红算一下，张二婶一共喂着多少只鸭子？解：（列举法）能被3除余1的数有10、13、16、19、22、25、28、31、34、37……

能被5除余4的数有9、14、19、24、29、34、39、44……

能被7除余6的数有13、20、27、34、41、48、55……所以共有34只鸭子。

(未知量法）设总共有鸭

子

X只

3/(X-1)

5/(X-4)7/(X-6)因为都能被整除，从3和5

的最小公倍数15开始依次增加寻找。所以最终答案为34只。例2物不知其数问题出自一千六百年前我国古代数学名著《孙子算经》。《孙子算经》里，有一道鼎鼎有名的「孙子问题」，原题为："今有物不知其数，三三数之二，五五数之三，七七数之二，

问物几何？"

意思是：有一个数，用3除余2，用5除余3，用7除余2。求这个数。

解：除以5余3的数：3，8，13，18，23，28，……除以7余2的数：2，9，16，23，30，37，……同时满足以上两个条件的数：23，58，……满足上两个条件，又满足除以3余2的最小自然数是23答：符合条件物体个数是23。例3我国古代对解求总数问题编了这样的歌诀：

三人同行七十稀，

五树梅花廿一枝，

七子团圆正月半，

除百零五便得知。"正半月"暗指15。"除百零五"的原意是，当所得的数比105大时，就105、105地往下减，使之小于105；这相当于用105去除，求出余数。

这四句口诀暗示的意思是：当除数分别是3、5、7时，用70乘以用3除的余数，用21乘以用5除的余数，用15乘以用7除的余数，然后把这三个乘积相加。加得的结果如果比105大，就除以105，所得的余数就是满足题目要求的最小正整数解

按这四句口诀暗示的方法计算总的数量可得：

70×2+21×3+15×4=263，263=2×105+53所以，这队士兵至少有53人例4解：设这个数为X.X-1=13A，X=15B，X+1=17C提倍法已知三个连续的自然数，它们都小于2002，其中最小的一个自然数能被13整除，中间的一个自然数能被15整除，最大的一个自然数能被17整除。那么，这三个自然数中最小的一个是

。有一个自然数除以13余1，除以15余0，除以17余16（当然可以换成“加1后又是17的倍数”）求这个小于2002的自然数是多少？13A+1=15B提倍法：把分子分母的倍数都提出来B=7A=8,X=105例5有一个数，除以61余13；除以67余5；除以97余4。求这数最小是多少?辗转相除法满足：除以67余5，除以97余4这个条件的最小整数。67x+5=97y+4（1）67x=97y-1

（2）（利用辗转相除法）67x1=30y-1

（3）7x1=30y1-1

（4）7x2=2y1-1（可以看出当x2=1时y1=4）取y1=4代入（4）式，得x1=17代入（3）得y=38代入（1）得出3690可知3690满足后两个条件，再让给3690+97*67的倍数再满足除以61余1361z+13=3690+97*67w（再利用辗转相除法）（3677/61=60…1797*67/61=106…33）61z1=17+33w(2)28z1=17+33w1(3)28z2=17+5w1(4)3z2=2+5w2(5)3z3=2+2w2=2(1+w2)取z3=2则w2=2代入（5）则z2=4代入（4）则w1=19代入（3）则z1=23代入（2）则w=42代入（1）

则此数为276648经验证此数满足上面三个条件，小于97*67*61=396439。故此数是最小的满足条件之数。答：此数是276648.某一天是星期一，从这天开始，过22001天是星期几？过22003天是星期几？

例6解：因为23除以7的余数是1，23k除以7的余数也是1（k是