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文档简介

“韩信点兵”的问题引入

我国汉代有一位大将,名叫韩信。他每次集合部队,都要求部下报三次数,第一次1、2、3依次循环报数,第二次1、2、…5依次循环报数,第三次1、2、…7依次循环报数,每次报数后都要求最后一个人报告他报的数是几,这样韩信就知道一共到了多少人。我国汉代有一位大将,名叫韩信。他每次集合部队,都要求部下报三次数,第一次1、2、3依次循环报数,第二次1、2、…5依次循环报数,第三次1、2、…7依次循环报数,每次报数后都要求最后一个人报告他报的数是几,这样韩信就知道一共到了多少人。我国汉代有一位大将,名叫韩信。他每次集合部队,都要求部下报三次数,第一次1、2、3依次循环报数,第二次1、2、…5依次循环报数,第三次1、2、…7依次循环报数,每次报数后都要求最后一个人报告他报的数是几,这样韩信就知道一共到了多少人。我国汉代有一位大将,名叫韩信。他每次集合部队,都要求部下报三次数,第一次1、2、3依次循环报数,第二次1、2、…5依次循环报数,第三次1、2、…7依次循环报数,每次报数后都要求最后一个人报告他报的数是几,这样韩信就知道一共到了多少人。有一次点名结果是:第一次1~3循环报数,最后一位士兵报“2”,第二次1~5循环报数,最后一位士兵报“1”,第三次1~7循环报数,最后一位士兵报“5”。韩信问不下大约有多少人,部下回答:大约二十几人。据此,韩信很快确定士兵总数是26,他的这种巧妙算法使在场的将领目瞪口呆,人们称其为“鬼谷算”、“隔墙算”、“秦王暗点兵”等。有一次点名结果是:第一次1~3循环报数,最后一位士兵报“2”,第二次1~5循环报数,最后一位士兵报“1”,第三次1~7循环报数,最后一位士兵报“5”。韩信问不下大约有多少人,部下回答:大约二十几人。据此,韩信很快确定士兵总数是26,他的这种巧妙算法使在场的将领目瞪口呆,人们称其为“鬼谷算”、“隔墙算”、“秦王暗点兵”等。有一次点名结果是:第一次1~3循环报数,最后一位士兵报“2”,第二次1~5循环报数,最后一位士兵报“1”,第三次1~7循环报数,最后一位士兵报“5”。韩信问不下大约有多少人,部下回答:大约二十几人。据此,韩信很快确定士

兵总数,他的这种巧妙算法使在场的

将领目瞪口呆,人们称其为“鬼谷算”、“隔墙算”、“秦王暗点兵”等。概念:整除:设a和b都是整数,b≠0。如果存在整数q,使得a=qb,就称a能被b整除,或称b整除a,记作b|a。复习例如:整数15=3×5,即称3整除15,记为3|15。除法定理:如果a,b是两个整数,b≠0,那么有而且仅有两个整数q,r,可使a=bq+r式中0≤r≤|b|q是数b除数a所得的商,r称为余数。整除性的性质根据整除性的定义,可得出如下基本性质

(1)若a|b,b|c,则a|c。(2)k为任意整数,若b|a,则b|ka。(3)若a|b,b|c,则a|(b±c)。(4)若b|ma,且b与m互质,则m|a。例1第一次点名表明士兵数除3余2,因此,可能的士兵总数是:2,5,8,11,14,17,20,23,26,29……韩信点兵问题可以转换为:求整除3余2,整除5余1,整除7余5的自然数,且这个自然在20到30

的范围内。

1,6,11,16,21,26,31……1,6,11,16,21,26,31……第二次点名表明士兵数除5余1,因此,可能的士兵总数是:第三次点名表明士兵数除7余5,因此,可能的士兵总数是:5,12,17,26,31,38……26

【拓展练习1】解:设士兵的总数为X。小结:学会代数是解题的关键。其他的方法?3|(x-2)5|(x-1)7|(x-5)X=26

【拓展练习2】小红暑假期间帮着张二婶放鸭子,她总也数不清一共有多少只鸭子,大概有三四十只。她先是3只3只地数,结果剩1只;她又5只5只地数,结果剩4只;她又7个7个地数了一遍,结果剩6只。她算来算去还是算不清一共有多少只鸭子。小朋友,请你帮着小红算一下,张二婶一共喂着多少只鸭子?解:(列举法)能被3除余1的数有10、13、16、19、22、25、28、31、34、37……

能被5除余4的数有9、14、19、24、29、34、39、44……

能被7除余6的数有13、20、27、34、41、48、55……所以共有34只鸭子。

(未知量法)设总共有鸭

X只

3/(X-1)

5/(X-4)7/(X-6)因为都能被整除,从3和5

的最小公倍数15开始依次增加寻找。所以最终答案为34只。例2物不知其数问题出自一千六百年前我国古代数学名著《孙子算经》。《孙子算经》里,有一道鼎鼎有名的「孙子问题」,原题为:"今有物不知其数,三三数之二,五五数之三,七七数之二,

问物几何?"

意思是:有一个数,用3除余2,用5除余3,用7除余2。求这个数。

解:除以5余3的数:3,8,13,18,23,28,……除以7余2的数:2,9,16,23,30,37,……同时满足以上两个条件的数:23,58,……满足上两个条件,又满足除以3余2的最小自然数是23答:符合条件物体个数是23。例3我国古代对解求总数问题编了这样的歌诀:

三人同行七十稀,

五树梅花廿一枝,

七子团圆正月半,

除百零五便得知。"正半月"暗指15。"除百零五"的原意是,当所得的数比105大时,就105、105地往下减,使之小于105;这相当于用105去除,求出余数。

这四句口诀暗示的意思是:当除数分别是3、5、7时,用70乘以用3除的余数,用21乘以用5除的余数,用15乘以用7除的余数,然后把这三个乘积相加。加得的结果如果比105大,就除以105,所得的余数就是满足题目要求的最小正整数解

按这四句口诀暗示的方法计算总的数量可得:

70×2+21×3+15×4=263,263=2×105+53所以,这队士兵至少有53人例4解:设这个数为X.X-1=13A,X=15B,X+1=17C提倍法已知三个连续的自然数,它们都小于2002,其中最小的一个自然数能被13整除,中间的一个自然数能被15整除,最大的一个自然数能被17整除。那么,这三个自然数中最小的一个是

。有一个自然数除以13余1,除以15余0,除以17余16(当然可以换成“加1后又是17的倍数”)求这个小于2002的自然数是多少?13A+1=15B提倍法:把分子分母的倍数都提出来B=7A=8,X=105例5有一个数,除以61余13;除以67余5;除以97余4。求这数最小是多少?辗转相除法满足:除以67余5,除以97余4这个条件的最小整数。67x+5=97y+4(1)67x=97y-1

(2)(利用辗转相除法)67x1=30y-1

(3)7x1=30y1-1

(4)7x2=2y1-1(可以看出当x2=1时y1=4)取y1=4代入(4)式,得x1=17代入(3)得y=38代入(1)得出3690可知3690满足后两个条件,再让给3690+97*67的倍数再满足除以61余1361z+13=3690+97*67w(再利用辗转相除法)(3677/61=60…1797*67/61=106…33)61z1=17+33w(2)28z1=17+33w1(3)28z2=17+5w1(4)3z2=2+5w2(5)3z3=2+2w2=2(1+w2)取z3=2则w2=2代入(5)则z2=4代入(4)则w1=19代入(3)则z1=23代入(2)则w=42代入(1)

则此数为276648经验证此数满足上面三个条件,小于97*67*61=396439。故此数是最小的满足条件之数。答:此数是276648.某一天是星期一,从这天开始,过22001天是星期几?过22003天是星期几?

例6解:因为23除以7的余数是1,23k除以7的余数也是1(k是

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