量子力学(周世勋)课后答案

量子力学课后习题详解第一章量子理论基础1.1由黑体辐射公式导出维恩位移定律：能量密度极大值所对应的波长九与温度T成反比，即1T=b(常量):m并近似计算b的数值，准确到二位有效数字。解根据普朗克的黑体辐射公式Pdvv8兀hvPdvv8兀hv3dvc3hvekT—11)2)32)3)pjp=|dv/d九丨，Pv*iPv(1)1叮P(1)-c8兀hc15 hce1kT—1这里的P的物理意义是黑体内波长介于入与入+d入之间的辐射能量密度。本题关注的是入取何值时，P取得极大值，因此，就得要求P对入的一阶导数为零，由此可求得相应的入的值，记作九。但要注意的是，还需要验证Pm1对入的二阶导数在九处的取值是否小于零，如果小于零，那么前面求得的九就m是要求的，具体如下dp dp 8兀hc11=-—d九九6 -hc_e1kT—1_hc1—5+— 九kT -h^V 1—e九kT丿hc1-5+ - =0九kT1—e~Zkrhc hc5(1-e九)F如果令x=毎，则上述方程为5(1-e-x)二x这是一个超越方程。首先，易知此方程有解：x=0,但经过验证，此解是平庸的;另外的一个解可以通过逐步近似法或者数值计算法获得：x=4.97，经过验证，此解正是所要求的，这样则有hc九T=-

mxk把x以及三个物理常量代入到上式便知九T沁2.9x10-3m-Km这便是维恩位移定律。据此，我们知识物体温度升高的话，辐射的能量分布的峰值向较短波长方面移动，这样便会根据热物体（如遥远星体）的发光颜色来判定温度的高低。1.2在OK附近，钠的价电子能量约为3eV,求其德布罗意波长。解：根据德布罗意波粒二象性的关系，可知所考虑的粒子是非相对论性的电子（动能E<<me2=0.51x106eV），满足kep22me因此利用非相对论性的电子的能量—动量关系式，有h.J2mE"ehe...■2me2Ee1.24x10-6. 一m,2x0.51x106x3=0.71x10-9m=0.71nm在这里，利用了he=1.24x10-6eV-m，me2=0.51x106eV。e最后，对 X=2mEe作一点讨论，从上式可以看出，当粒子的质量越大时，这个粒子的波长就越短，因而这个粒子的波动性较弱，而粒子性较强；同样的，当粒子的动能越大时，这个粒子的波长就越短，因而这个粒子的波动性较弱，而粒子性较强，由于宏观世界的物体质量普遍很大，因而波动性极弱，显现出来的都是粒子性，这种波粒二象性，从某种子意义来说，只有在微观世界才能显现。自然单位制：在粒子物理学中，利用三个普适常数（光速C,约化普朗克常数仁玻耳兹曼常数k）来减少独立的基本物理量的个数，从而把独立的量纲减少到只有一种（能量量纲，常用单位eV）。例：1nm=5.07/keV,1fm=5.07/GeV,电子质量m=0.51MeV.核子（氢原子）质量M=938MeV，温度1K=&6x10-5eV.

31.3氦原子的动能是E=3kT（k为玻耳兹曼常数），求T=1K时，氦原子的德布2罗意波长。解：根据1解：根据1k-K=8.6x10-5eV,知本题的氦原子的动能为33E=—kT=—k-K=1.29x10-4eV,

22显然远远小于卩核显然远远小于卩核c2这样,hc便有九=^mHeC2E1.24x10-6= m2x3.7x109x1.29x10-4=1.3x10-9m=1.3nm这里，利用了mc2=4x938x106eV-3.7x109eV。He最后，再对德布罗意波长与温度的关系作一点讨论，由某种粒子构成的温度为T的体系，其中粒子的平均动能的数量级为kT,这样，其相应的德布罗意波长就为“h=h2mE 2mkT据此可知，当体系的温度越低，相应的德布罗意波长就越长，这时这种粒子的波动性就越明显，特别是当波长长到比粒子间的平均距离还长时，粒子间的相干性就尤为明显，因此这时就不能用经典的描述粒子统计分布的玻耳兹曼分布，而必须用量子的描述粒子的统计分布——玻色分布或费米公布。

1.4利用玻尔——索末菲的量子化条件，求：（1）一维谐振子的能量；解：玻尔一索末菲的量子化条件为：tpdq=nh其中q是微观粒子的一个广义坐标，p是与之相对应的广义动量，回路积分是沿运动轨道积一圈，n是正整数。（1）设一维谐振子的劲度常数为k,谐振子质量为m,于是有p2 1E=厶+kx22m 2这样，便有p=±；2m(E一—kx2)这里的正负号分别表示谐振子沿着正方向运动和沿着负方向运动,一正一负正好表示一个来回，运动了一圈。此外，根据谐振子在最大位移X+处p=0,E=—kx22+12E可解出 x=+.'。+ \k这样，根据玻尔——索末菲的量子化条件，有叽2m(已-2kX2)dX/(Ym(已-2kx2)dx=nh-txtx+‘2m(E一1-kx2)dx+x 2tx+'2m(E一—kx2)dx=nhtx+J2m(E一—kx2)dx=nh；2为了积分上述方程的左边，作以下变量代换：x吾sine这样，便有工， 丨2E12j2mEcos20dJ——sin0=nhj'2-徂 0k 丿.2.丿nm「血2EJ—J2cos20d0=n加2\k一工2n2呵—cos20+1d0=n加2Vk严 2 '2n2El-1=nh/2\k2

E^,'，E^,'，m二nh2AE二h最后，对此解作一点讨论。首先，注意到谐振子的能量被量子化了；其次，这量子化的能量是等间隔分布的。AE二h1.5两个光子在一定条件下可以转化为正负电子对，如果两光子的能量相等，问要实现实种转化，光子的波长最大是多少？解：关于两个光子转化为正负电子对的动力学过程，如两个光子以怎样的概率转化为正负电子对的问题，严格来说，需要用到相对性量子场论的知识去计算，修正当涉及到这个过程的运动学方面，如能量守恒，动量守恒等，我们不需要用那么高深的知识去计算，具体到本题，两个光子能量相等，因此当对心碰撞时，转化为正负电子对所需的能量最小，因而所对应的波长也就最长，而且，有E=hv=me2e此外，还有E此外，还有E=pe=竺九于是，有he1.24x于是，有he1.24x10-60.51x106m=2.4x10-12m=2.4x10-3nm尽管这是光子转化为电子的最大波长，但从数值上看，也是相当小的，我们知道，电子是自然界中最轻的有质量的粒子，如果是光子转化为像正反质子对之类的更大质量的粒子，那么所对应的光子的最大波长将会更小，这从某种意义上告诉我们，当涉及到粒子的衰变，产生，转化等问题，一般所需的能量是很大的。能量越大，粒子间的转化等现象就越丰富，这样，也许就能发现新粒子，这便是世界上在造越来越高能的加速器的原因：期待发现新现象，新粒子，新物理。第二章波函数和薛定谔方程2.1证明在定态中，几率流与时间无关。证：对于定态，可令屮(r,t)=屮(r)eEE，得J=—(屮V屮*—屮*V^)2m=—叩(r)e—涵V(屮(r)e—討)*—屮*(r)e—EtV(屮(r)e—制)]2mi= 叩(r)V^*(r)—屮*(r)Vf(r)]2m可见J与t无关。2.2由下列定态波函数计算几率流密度：⑴屮=-eikr —ikr1r 2r说明屮表示向外传播的球面波，屮表示向内（即向原点）传播的球面波。12解：在球坐标中v=er穆+eer知勺血专所以，J和J只有e方向分量。TOC\o"1-5"\h\z1 2 ri(VVv*—屮*Vv)2m 1111i 1 d 1 1 d 1[eikr (e—ikr)—e—ikr (eikr)]e2m r dr r r dr r r丄[1(———ik!)—i(—丄+ik!)]e

2mrr2rrr2rr力k ke=rmr2r mr3J与r同向，表示向外传播的球面波。1(2)J= (V▽屮*—屮*Vv)2 2m22 2i 1 d 1 1 d 1= [—e—ikr (eikr)—eikr(e—ikr)]e2m r dr r r dr r r=巴己(一丄+ik!)—£(—丄一iki)]e2mrr2rr r2 rrk k=—e=—rmr2rmr3J与r反向，表示向内（即向原点）传播的球面波。22.3一粒子在一维势场g,x<0U(x)=<0,0<x<ag,x>2.3一粒子在一维势场g,x<0U(x)=<0,0<x<ag,x>a中运动,求粒子的能级和对应的波函数。补充：设已知t=0时刻波函数为.兀sm—x+

a0, x<0,x>a1sin竺x,0<x<a求g、aa ，求屮(x,t)。解：U(x)与t无关，是定态问题。其定态S—方程屮(x)+U(x)屮(x)=E屮(x)2mdx2在各区域的具体形式为：x<0屮(x)+U(x)屮(x)=E屮(x)2mdx2 1 1 1II： 0<x<a力2d22m石屮2(x)=即2(x)III：x>a2m石屮3(x)+U(x)屮3(x)=刖3(x)由于(1)、(3)方程中，由于U(x)=g，要等式成立，必须屮Jx)=0屮3(x)=0即粒子不能运动到势阱以外的地方去。方程(2)可变为 "2屮2(力+挈E屮(x)=0dx2 n2 22mEn2，得d2屮(x)2 dx2+k2屮(x)=02其解为 屮(x)=Asinkx+Bcoskx ④2根据波函数的标准条件确定系数A、B,由连续性条件，得屮(0)=屮(0) ⑤屮(a)=屮(a)由归一化条件得nB二0nAsinka=0•・•A丰0sinka-0nka—n兀 (n—1,2,3,•••)n兀••屮(x)-Asinx2aJ”(x)|2dx-1gA2Ja.n兀sin2xdx-1(a.m .n兀 7a^由三角函数正交性J0sin〒x*sin百加=九nA-.•.屮2(x)=■'2a迈.n兀

sinx

；aa・.・k2-2mEnE=上空n2 (n-1,2,3,…)可见E是量子化的。力2 n 2ma2对应于E的归一化的定态波函数为n屮(x,t)=<n；2.n兀一丄Etsinxehn:aa0,0<x<ax<a,x>a；2.n兀x,0<x<a1：1.兀1• 2兀 门c「—sin一1sin—x+n—sin x,0<x<anaa-\\aa 入aax<0,x>ax<0,x>a补充：粒子的一般含时波函数为屮(x,t)-工c屮(x,t)，在t=0时刻nnn工屮(x,0)-<n0,-1/J2,其余c-0，综上得任意时刻粒子波函数为n所以c-c12屮(屮(x,t)-巴(x,t卄屮(x,t)‘1•兀 iEtsinxef1aa0,+#sin込xe-処,0<x<aaax<0,x>a2.4.证明（2.6-14）式中的归一化常数是A=-La证：屮=<n2.6-14)(x证：屮=<n2.6-14)a0,卩dx=faA'2sin^^(x+a)dxn _a a1 n兀=Aa2Ja[1_cos(x+a)]dx_a2 a由归一化，得AA2fa_2_acos巴(x+a)dxaaasmn兀_a=_A2=A2a——2_a・•・归一化常数AW2.5求一维谐振子处在第一激发态时几率最大的位置。解：一维谐振子第一激发态的波函数V(x)=*盏-2应-2心，a=时。得几率密度为a①(x)=»(x)|2=4a2- -x2e-a2x2i i 仃对其微分得由极值条件，令可得2a3= -x2e-a2x2兀d3(x) 2a3i= [2x一2a2x3]e-a2x2dx 冗d3(x)1=0,dx由3(x)的表达式可知，x=0,,=±8时,13(x)=0。显然不是最大几率的位置。1d23(x) 2a3而 i—= [(2—6a2x2)—2a2x(2x—2a2x3)]e-a2x2dx2 v'k4a3=.[(1—5a2x2—2a4x4)]e—a2x2d23(x)1d23(x)1dx2x=±a24^31<o兀em3可见x=±-=±a是所求几率密度最大的位置。#2.6在一维势场中运动的粒子，势能对原点对称：U(-x)=U(x)，证明粒子的定态波函数具有确定的宇称。证：在一维势场中运动的粒子的定态S-方程为方2d2TOC\o"1-5"\h\z一 屮(x)+U(x)屮(x)二E屮(x) ①2卩dx2将式中的x以(-x)代换，得方2d2— 屮(—x)+U(—x)屮(—x)=E屮(—x) ^②2卩dx2利用U(-x)=U(x)，得方2d2— 屮(—x)+U(x)屮(—x)=E屮(—x) ^③2卩dx2比较①、③式可知，屮(-x)和屮(x)满足同样的S-方程，都是描写在同一势场作用下的粒子状态的波函数。如果体系不存在简并，它们描写的是同一个状态，因此(-x)和屮(x)之间只能相差一个常数c。方程①、③可相互进行空间反演(x㈠-x)而得其对方，由①经xT-x反演，可得③，n屮(-x)=c屮(x) ④由③再经-xTx反演，可得①，反演步骤与上完全相同，即是完全等价的。n屮(x)=c屮(-x) ⑤④乘⑤，得 屮(X)屮(-X)=C却(X)屮(-X)可见，c2=1，即 c=±1当c=+1时，屮(-X)=屮(x)，n屮(x)具有偶宇称，当c=-1时，屮(-x)=-v(x)，n屮(x)具有奇宇称。如果体系存在简并，对屮(-x)和屮(x)做线性组合：儿()屮(x)+屮(-x)m()屮(x)—屮(-x)9(x)= ,申(x)=J2 <2根据叠加原理，9(x),申(x)也满足S-方程，且满足©(-x)=0(x),=0(x)具有偶宇称,申(-x)=-申(x),=9(x)具有奇宇称。S-方程的定态波函数可以表达为0(x)(偶宇称)和9(x)(奇宇称)的叠加形式。综上，当势场满足U(-x)=U(x)时，粒子的定态波函数具有确定的宇称。#2.7一粒子在一维势阱中运动，U>0,|x|>a丿011、0，x|<aU(x)二求束缚态(0<E<U)的能级所满足的方程。0补充：取电子质量，势阱深20eV,a=0.5nm，给出基态(和第一激发态)能级的数值结果并作波出函数和概率密度的图。解法一：粒子所满足的定态S-方程为方2d2- V(x)+U(x)屮(x)二EV(x)2卩dx2按势能U(x)的形式分区域的具体形式为I:- V(x)+UV(x)=Ev(x)I:- V(x)+UV(x)=Ev(x)-g<x<a2pdx2 1 01 1II：-签去T)二EV2(x)右2d2III：- V(x)+UV(x)=Ev(x)2pdx2 3 0 3 3a<x<g整理后，V，,-2 卩(U0- E)V = 01 h2 1I：I：V〃-2卩(U0一E)3h2令k2=2卩(U0-E)i h2则I： V，，-k2V二0111II：.V，，-k2V二0222III：V，，-k2V二0311各方程的解为2pEk2=2h2①②③④⑤⑥⑦⑧⑨屮=Ae-y+Bey1屮=Csinkx+Dcoskx222屮=Ee+k]X+Fe-y3由波函数的有限性，有屮(—g)有限 nA=01屮S)有限 nE=03因此屮=Fe-样3由波函数的连续性，有TOC\o"1-5"\h\z屮(一a)=屮(一a),nBe—y=—Csinka+Dcoska (10)1222屮'(一a)=屮'(—a),nkBe-y=kCcoska+kDsinka(11)1212222屮(a)=屮(a),nCsinka+Dcoska=Fe-y (12)2322屮'(a)=屮'(a),nkCcoska—kDsinka=-kFe-中 (13)2 3 2 2 2 2 1整理(10)、(11)、(12)、(13)式，并合并成方程组，得e-k1aB+sinkaC-coskaD+0=022ke-k1aB-kcoskaC-ksinkaD+0=0122220+sinkaC+coskaD-e-k1aF=0220+kcoskaC-ksinkaD+ke-k1aF=022221解此（四元一次）方程即可得出B、C、D、F,进而得出波函数的具体形式。注意，系数依赖于未定常数E,即该方程为数学上的本征方程。要方程组有非零解,必须系数矩阵的行列式为零e-y

ke-y100sinka2-kcoska

22

sinka

2

kcoska

22-coska2-ksinka22coska2

-ksinka

22=0-e-k1a

kBe-k1a11-kcoska-ksinka0sinka-coska02 22222sinkacoska—e—々a一ke-y sinkacoska—e—kf221 22kcoska-ksinkake-々akcoska-ksinkake-々a110=e-ka22222222=e-y[-kke-ycos2ka+k2e-ysinkacoska+122222+kke-ysin2ka+k2e-ysinkacoska]一122222一ke-y[ke-ysinkacoska+ke-ycos2ka+112222+ke-ysinkacoska一ke-ysin2ka]1 2222=e-2y[-2kkcos2ka+k2sin2ka一k2sin2ka]1222212=e-2k1a[(k2-k2)sin2ka-2kkcos2ka]1212122e-2k]a丰0(k2一k2)sin2ka一2kkcos2ka=0212122即(k2-k2)tg2ka-2kk二0为所求束缚态能级(E)所满足的方程