线性代数练习册第五章题目及答案(本)1686

第五章相似矩阵与二次型§5-1方阵的特征值与特征向量一、填空题1.已知四阶方阵A的特征值为0，1，1，2，则|AE|＝(1)2(2)1012.设0是矩阵A的特征值，则a102010a3.已知三阶方阵A的特征值为1，-1，2，则B3A22A的特征值为1,5,8；|A|＝-2；A的对角元之和为2.4.若0是方阵A的特征值，则A不可逆。5.A是n阶方阵，|A|d，则AA*的特征值是d,d,,d（共n个）二、选择题1.设，为n阶矩阵A的特征值，，分别是A的属于特征1212值，的特征向量，则（D）12（A）当时，，必成比例1212（B）当时，，必不成比例1212（C）当时，，必成比例1212（D）当时，，必不成比例12122.设a=2是可逆矩阵A的一个特征值，则A1有一个特征值等于（C）A、2；B、-2;C、1;2D、-1;23.零为方阵A的特征值是A不可逆的（B）A、充分条件；C、必要条件;B、充要条件;D、无关条件;三、求下列矩阵的特征值和特征向量121.A2112解：A的特征多项式为A(3)(1)E21故A的特征值为13,1.2Ex0.当3时，解方程A31由A3E22211r:2001得基础解系p，故kp(k0)是3的全部特征向量.11112211当1时，解方程AEx0.由AEr:002221得基础解系p，故kP(k0)是1的全部特征向量.12221002.B020012解：B的特征多项式为10210BE00(1)(2)202故B的特征值为1,12.23当1时，解方程1BEx0.000010r由BE:0100010110001得基础解系0，故kp(k0)是1的全部特征向量.1p110Ex0.当2时，解方程2B231001000r由B2E000:010得基础解系0，p21000001故kp(k0)是2的全部特征向量.223T的特征向量，四、设为n维非零列向量，证明：是矩阵并求对应的特征值.证明：因为T(T)(T),0；。所以，是矩阵的特征向量，对应的特征值为TT五、设A为n阶方阵，1.当2E时，求的特征值；AA2.当O时，求的特征值，其中m为正整数.AAm证明：1.设A的特征值为，则Ax0，x,x所以，AxA(Ax)A(x)(Ax)2x,x02又因为A2E，所以，x2x,x0211即当2E时，的特征值为1或-1AA。2.设A的特征值为，则Axx,x0，(Ax)A()m1xAm1xmx,x0所以，AxAm1m0m00又因为AmO，所以，0x,xm即当O时，的特征值为0。AAm

§5-2相似矩阵§5-3对称矩阵的相似矩阵一、填空题1.若是矩阵A的特征向量，则2.若A,B相似，则|A||B|1是PAP的特征向量.P102002003.已知A与B相似，则x0，0010y001x0011y4.若是A的k重特征根，则必有k个相应于的线性无关的特征向量不对（对，不对）；如果A是实对称矩阵，则结论对（对，不对）.二、选择题1.n阶方阵A相似于对角阵的充分必要条件是A有n个（C）（A）互不相同的特征值；（B）互不相同的特征向量；（C）线性无关的特征向量；（D）两两正交的特征向量.2.方阵A与B相似，则必有（BD）（A）EAEB（B）A与B有相同的特征值（C）A与B有相同的特征向量（D）A与B有相同的秩3.A为n阶实对称矩阵，则（ACD）（A）属于不同特征值的特征向量必定正交；（B）|A|0（C）A必有n个两两正交的特征向量；（D）A的特征值均为实数.100三、设A021，试求一个可逆矩阵P使得为对角阵，PAP1012并求Am.解：先求A的特征值和特征向量.10210EA01(1)2(3)02故A的所有特征值为3,11.23Ex0.当3时，解方程A31200100A3E0r11:0111100000令1，则即为对应于3的特征向量.1111当1时，解方程AEx0.23000000rAE011:01101100010022令0,1，则,为1的特征向量.23331010显然，,,线性无关.令P,,3101，则1231210101010010001/21/2(P|E)101010:01010000101/21/210100101/21/211P0001/21/231APP1110013m13mAPP1AmPmP102213m13m022（或:00130,p3令11/2,21/2pp||||||||||||12011/2231/2令,,，则所以，。。。）PPppp3P1T12四、三阶实对称矩阵A的特征值为0，2，2，又相应于特征值0的1特征向量为p1，求出相应于2的全部特征向量.11解：因为A为三阶实对称矩阵，故A有三个线性无关的特征向量，且对应于不同特征值的特征向量两两正交.已知对应于0的特征向量为p，设对应于2的特征向1123量为p,p，则0.即p,p2为齐次线性方程组ppT0,pTp1231233pTx01的两个线性无关的解.由pTx0得xxx0311211取p1,p0，则p,p即为2的特征向量.23232301令kpkp（k,k不全为零）为对应于2的全部32233232特征向量.五、设三阶方阵A的特征值为1,0,21，对应的特征31212向量分别为p2,p2,p1，求矩阵A.123212解：因为，故A可对角化，且,,所对应的特征向123123量p,p,p线性无关.123由特征值定义，App,App,App31Ap,p,p1122233p,p,p12312312312Ap,p,pp,p,p，1231233令Pp,p,pAPAPP1P123由12233122122100r12P|E2210000100323212212001230312323123P10322033故1AP1P1P0P121323213102102121122010202333202022303§5-4二次型及其标准形§5-5用配方法化二次型为标准形§5-6正定二次型一、填空题1.f(x,y)x22xyy22x是不是二次型？答：不是2.f(x,x,x)4xx2xx2xx的秩是3；秩表示标准123121323形中平方项的个数.1103.设A，A为正定矩阵，则k.11k000k2二、单项选择题1002121.设A00,则与A合同的矩阵是（B）。050100300（A）020（B）020150000100200（C）010（D）0201000012.二次型fxAx为正定二次型的充要条件是（D）。（A）A0（B）负惯性指数为0（C）A的所有对角元a0（D）合同于单位阵Eii3.当(a,b,c)满足（C）时，二次型f(x,x,x)ax2bx2ax22cxx3为正定二次型。1231231（A）a0,bc0（B）a0,b0（C）ac,b0（D）ac,b0001x2三、设f(x,x,x)(x,x,x)300x1231233430x11.求二次型f(x,x,x)所对应的矩阵A.1232.求正交变换xPy，将二次型化为标准形.解：1.001x2f(x,x,x)(x,x,x)300x1231233430x1x2(3x4x,3x,x)x23313x13x24xx3x2x222331100x1(x,x,x)032023x2123x3100故二次型f(x,x,x)所对应的矩阵A032.1230232.问题可转化为求正交矩阵P，将A化为对角形.10320AE02(1)2(5)03故A的特征值为11,5.23当1时，解方程AEx0.12000011rAE022:000.022000101，则,即为1的特征向量.1212取120,10显然，,正交.将,单位化得121201p