2021年线性代数知识点总结汇总

线性代数知识点总结1行列式（一） 行列式概念和性质1、 逆序数:所有逆序总数2、 行列式定义：不同行不同列元素乘积代数和3、 行列式性质：（用于化简行列式）（1） 行列互换（转置），行列式值不变（2） 两行（列）互换，行列式变号（3） 提公因式：行列式某一行（列）所有元素都乘以同一数k,等于用数k乘此行列式（4） 拆列分派：行列式中如果某一行（列）元素都是两组数之和，那么这个行列式就等于两个行列式之和。（5） 一行（列）乘k加到另一行（列），行列式值不变。（6） 两行成比例，行列式值为0。（二） 重要行列式4、 上（下）三角（上对角线）行列式值等于主对角线元素乘积心一1）5、 制对角线行列式值等于副对角线元素乘积乘（一1）：6、 Laplace展开式：（A是m阶矩阵，B是n阶矩阵），则A0=A*=A•B*B0B7、n阶（n^2）范德蒙德行列式

£兀=II（兀-号）数学归纳法证明★8、对角线元素为a,别的元素为数学归纳法证明★8、对角线元素为a,别的元素为b行列式值:abb…bTOC\o"1-5"\h\zb a b …bb b a ••• 3=[□+(”-b)"T• • • •b b b a（三） 按行（列）展开9、 按行展开定理：（1） 任一行（列）各元素与其相应代数余子式乘积之和等于行列式值（2） 行列式中某一行（列）各个元素与另一行（列）相应元素代数余子式乘积之和等于0（四） 行列式公式10、 行列式七大公式：（1） |kA|=kn|A|（2） |AB|=|A|・|B|（3） |At|=|A|（4） lA^HlAl1（5） |A*|=|A|n*1Mi=n^-（6） 若A特性值入仁入2、……m则 匸1（7）若A与B相似,则|A|=|B|（五）克莱姆法则11s克莱姆法则：（1）非齐次线性方程组系数行列式不为0,那么方程为唯一解（2） 如果非齐次线性方程组无解或有两个不同解，则它系数行列式必为0（3） 若齐次线性方程组系数行列式不为0,则齐次线性方程组只有0解：如果方程组有非零解，那么必有"0。2矩阵（一）矩阵运算1、 矩阵乘法注意事项：（1） 矩阵乘法规定前列后行一致；（2） 矩阵乘法不满足互换律；（因式分解公式对矩阵不合用，但若B=EQ,AdA*,f（A）时，可以用互换律）（3） AB=O不能推出A=O或B=Oo2、 转置性质（5条）(1)(A+B)t=At+Bt(2)(kA)T=kAT(3)(AB)t=BtAt(4)|A|T=|A|(5)(At)t=A（二）矩阵逆3、逆定义:AB丸或BA=E成立，称A可逆，B是A逆矩阵，记为注：A可逆充要条件是|A|HO4、逆性质：（5条）(1)(kA) •AJ(kHO)(2)(AB)fA4(3)lA^blAl1(4)(ADJ(A'1)丁(5)(A")—A5、 逆求法：（1） A为抽象矩阵：山定义或性质求解（2） A为数字矩阵：（A|E）T初等行变换T（EIA-1）（三）矩阵初等变换6、 初等行（列）变换定义：（1） 两行（列）互换；（2） -行（列）乘非零常数c（3） 一行（列）乘k加到另一行（列）7、 初等矩阵：单位矩阵E通过一次初等变换得到矩阵。8、 初等变换与初等矩阵性质：（1） 初等行（列）变换相称于左（右）乘相应初等矩阵（2） 初等矩阵均为可逆矩阵，且（i,j两行互换）；Ef1（c）=Ei（1/c）（第i行（列）乘c）Eif1（k）=Eij（-k）（第i行乘k加到j）★（四）矩阵秩9、 秩定义：非零子式最高阶数注：（1）r（A）=0意味着所有元素为0,即A=Or(Anxn)=n(满秩)0|A|HO~TA可逆；r(A)<n<-^|A|=O<-^A不可逆；3)r(A)=r(r=l、2、…、n-1)<■-r阶子式非零且所有r+1子式均为0。10、 秩性质：(7条)1)A为mXn阶矩阵,则r(A)Wmin(m,n)(2)r(A±B)Wr(A)±(B)3)r(AB)Wmin{r(A),r(B)}r(kA)=r(A)(kHO)r(A)=r(AC)(C是一种可逆矩阵)r(A)=r(AT)=r(ATA)=r(AAT)设A是mXn阶矩阵，B是nXs矩阵，AB=O,则r(A)+r(B)Wn11、 秩求法：A为抽象矩阵：山定义或性质求解：A为数字矩阵：AT初等行变换T阶梯型(每行第一种非零元素下面元素均为0),则r(A)=非零行行数(五)随着矩阵12、 随着矩阵性质：(8条)AA*=A*A=|A|E->★A*=|A|A'1(kA)JHA*(AB)*=B*A*|A*|=|A|n'1(AT)*=(A*)丁(A'1)*=(A*)-i=A|A|J(A*)*=|A|n'2・A

★(8)r(A*)=n(r(A)=n)；r(A*)=1(r(A)=n-l)；r(A*)=0(r(A)<n-l)分块矩阵13、 分块矩阵乘法：规定前列后行分法相似。14、 分块矩阵求逆：3向量（一）向量概念及运算1、 向量内积:（a，3）=aTp=pTa2、 长度定义：||a||=皿心応^&冷於+…十恋3、 正交定义:（a,P）=aTp=pTa=aibi+a2b2+•••+anbn=04、 正交矩阵定义：A为n阶矩阵，AAt=EA-WATA=E|A|=±1（二）线性组合和线性表达5、 线性表达充要条件：非零列向量B可由a1，a2,…，CIs线性表达⑴齐次线性方程组（a1,a2,…，as）（xi,X2,…，xs）丁=0有解。E（2）^^r（ai,a2,…，as）=r（ana2,…，as,p）（系数矩阵秩等于增广矩阵秩，用于大题笫一步检查）6、线性表达充分条件：（理解即可）若ai,a2,…，。s线性无关，。1,Q2,…，as,B线性有关，则0可由。2、2、5线性表达。7、线性表达求法：（大题第二步）设C1],012,…，5线性无关，B可由其线性表达。（01，a2，…，as||3）->初等行变换T（行最简形|系数）行最简形：每行第一种非0数为1,别的元素均为0（三）线性有关和线性无关8、 线性有关注意事项：（1） a线性有关<-^a=0（2） ai,a2线性有关a2成比例9、 线性有关充要条件：向量组a2,…，J线性有关（1）有个向量可曲别的向量线性表达；<2）齐次方程（a1，a2,…，as）（xi，x2»…，xs）丁=0有非零解;S（3） （ai，a2，…，as）<s即秩不大于个数特别地，n个n维列向量a】，a2,…，a.线性有关（1） r（a1，a2，…，an）<n（2） <-T|ai,a2,…，an|=0（3） <-->（ai,a2,…，an）不可逆10、 线性有关充分条件：（1） 向量组具有零向量或成比例向量必有关（2） 某些有关，则整体有关（3） 高维有关，则低维有关（4） 以少表多，多必有关0推论：n+1个n维向量一定线性有关11，线性无关充要条件向量组J，012,…，S线性无关（1）任意向量均不能由别的向量线性表达；<2）齐次方程（a1，a2,…，as）（xi，x2»…，xs）丁=0只有零解（3） （a】，a2,…，as）=s特别地，n个n维向量ai,a2,…，an线性无关<—>r（ai,a2,…，an）=n<-^|ai,ci2,…，an|HO<-•>矩阵可逆12、 线性无关充分条件：（1） 整体无关，某些无关（2） 低维无关，高维无关（3） 正交非零向量组线性无关（4） 不同特性值特性向量无关13、 线性有关、线性无关鉴定（1）定义法S（2）秩：若不大于阶数，线性有关；若等于阶数，线性无关【专业知识补充】（1） 在矩阵左边乘列满秩矩阵（秩二列数），矩阵秩不变；在矩阵右边乘行满秩矩阵，矩阵秩不变。（2） 若n维列向量J,C12，<13线性无关，P1，02,B3可以由其线性表达，即（B1,P2»P3）=（ai»a2,a3）C,贝ljr（P1,B2,P3）=r（C）,从而线性无关。G--r（Bi,B2,P3）=3r（C）=3QT|C|HO（四）极大线性无关组与向量组秩14、 极大线性无关组不唯一15、向量组秩:极大无关组中向量个数成为向量组秩对比：矩阵秩:非零子式最高阶数0注:向量组C11，J，…，S秩与矩阵A=（ana2,…，aJ秩相等刖6、极大线性无关组求法（1）J，a2，…，as为抽象：定义法<2）a1,a2,…，as为数字：（di,a2,…，as）->初等行变换T阶梯型矩阵则每行笫一种非零数相应列向量构成极大无关组（五） 向量空间17、 基（就是极大线性无关组）变换公式：若oil,C12,…，S与B1,心，…，Bn是n维向量空间V两组基，则基变换公式为（B1，P2»…，Bn）=a2，…，an）Cnxn其中，C是从基Cl],Cl2,…，5到01，P2,…，Bn过渡矩阵。C=（ai，a2,…，a*）J（Bi，B2，…，Bn）18、 坐标变换公式：向量丫在基J,a2，…，J与基Bl，02，…，Bn坐标分别为x=（X1，X2,…，xn）t,y=（yi,y2,…，yn）T»,即丫=xia X2a2+•••+xnan=yiBi+Y2P2+…+ynBn,则坐标变换公式为x=Cy或y=C-ix。其中，C是从基ai,a2,…，an到Bi,B2,…，Bn过渡矩阵。C=（a!,a2,…，«n）-1（Pl,B2，…，Bn）（六） Schmidt正交化19、 Schmidt正交化设J,a2，a3线性无关（1）正交化令Pi=ai角=6-件尝0]--(久仇)R“ (吟01)〃(与足)〃彳(0〃/(02，0』02(2)单位化=_P1__IIAII4线性方程组方程组表达形与解向量1、 解形式：(1)普通形式⑵矩阵形式：Ax=b：⑶向量形式：A=(ci1,a2,…，an)2、 解定义：若Q=(ci,C2,…，cn)丁满足方程组Ax=b,U[JAn=b,称n是Ax=b—种解(向量)解鉴定与性质3、 齐次方程组：只有零解QTr(A)=n(n为A列数或是未知数x个数)有非零解(A)<n4、 非齐次方程组：无解<—>r(A)<r(A|b)<-Tr(A)=r(A)-1<2)唯一解<-->r(A)=r(A|b)=n无穷多解(A)=r(A|b)<n5、解性质:⑴若JJ是Ax=O解,则kiCi+k2C2是Ax=O解（2） 若g是Ax=O解，n是Ax=b解，贝H+n是Ax=b解（3） 若Hi，几2是Ax=b解，则Q1-Q2是Ax=O解【推广】（1）设几2,…，g是Ax二b解，则kini+k2n2+—+ksns为Ax*b解（当Ski=l）Axk）解（当》ki=O）（2）设Hi,112,…，As是Ax=bs个线性无关解，则nz-Qi,Q3-Q1,…，QS-n1为Ax=Os-l个线性无关解。变式：①n2,n3-n2»…，ns-n2（2）Q2-Q1»Q3-Q2»…,Qs-Qs-i（三）基本解系6、基本解系定义：（1） §2，…，J是Ax=o解（2） §2,…，J线性有关（3） Ax=O所有解均可由其线性表达9基本解系即所有解极大无关组注：基本解系不唯一。任意n-r（A）个线性无关解均可作为基本解系。西、重要结论：（证明也很重要）设A施mXn阶矩阵，B是nXs阶矩阵，AB=O（1） B列向量均为方程Ax=O解（2） r（A）+r（B）Wn（第2章，秩）

8、 总结：基本解系求法（1） A为抽象：由定义或性质凑n-r（A）个线性无关解（2） A为数字：AT初等行变换T阶梯型自山未知量分别取1,0,0；0,1,0：0,0,1；代入解得非自山未知量得到基本解系（四） 解构造（通解）9、 齐次线性方程组通解（所有解）设r（A）=r,g1,§2,…，gn-r为Ax=0基本解系，则Ax=0通解为klnl+k2n2+•••+kn-rHn-r（其中kl,k2,…，kn-r为任意常数）10、 非齐次线性方程组通解设r（A）=r,gi,§2,…，gn-r为Ax=0基本解系，n为Ax=b特解，则Ax=b通解为Q+klQi+k2n2+，，，+kn-rQn-r（其中ki，k2»…，kiw为任意常数）（五） 公共解与同解11，公共解定义：如果a既是方程组Ax=0解，乂是方程组取=0解，则称a为其公共解12、 非零公共解充要条件：方程组Ax=0与Bx=0有非零公共解（A\ （A\x=0 ro</?GTB 有非零解13、 重要结论（需要掌握证明）（1）设A是mXn阶矩阵，则齐次方程ATAx=0与Ax=0同解，r（ATA）=r（A）<2）设A是mXn阶矩阵，r（A）=n,B是nXs阶矩阵，则齐次方程A取=0与Bx=0同解，r（AB）=r（B）5特性值与特性向］5特性值与特性向］1UI（一）矩阵特性值与特性向量1、特性值、特性向量定义：设A为n阶矩阵，如果存在数入及非零列向量ci,使得Aa=Aa,称a是矩阵A属于特性值入特性向量。2、 特性多项式、特性方程定义：IXE-A|称为矩阵A特性多项式（Xn次多项式）。IAE-A|=0称为矩阵A特性方程（Xn次方程）。注:特性方程可以写为|a-xE|=o3、 重要结论：（1） 若a为齐次方程Ax=0非零解，则Aa=0・a,即a为矩阵A特性值入=0特性向量（2） A各行元素和为k,则（1,1,…，1卩为特性值为k特性向量。（3） 上（下）三角或主对角矩阵特性值为主对角线各元素。04、总结：特性值与特性向量求法（1） A为抽象：111定义或性质凑（2） A为数字：山特性方程法求解5、 特性方程法：（1） 解特性方8|XE-A|=0,得矩阵An个特性值入1,入2,…，Xn注：n次方程必要有n个根（可有多重根，耳作X1=X2=*,,=s=实数，不能省略）（2） 解齐次方程（"E-A）=0,得属于特性值"线性无关特性向量，即其基本解系（共n-r（XiE-A）个解）6、 性质：（1）不同特性值特性向量线性无关（2）kjg特性值最多k个线性无关特性向量l^n-r（入jE-A）Wkj（3） 设A特性值为入1，x2,…，Xn,贝lJ|A|=nXiTSXpLan（4） 当r（A）=1,即A=aPL其中a,B均为n维非零列向量，则A特性值为入］=：工ajj=a丁B=B丫a9入2h・・=入n=0（5） 设a是矩阵A属于特性值X特性向量，则4f(A)ATAA*P%P（相似）f（入）■4X|A|X-1X（a/aap1a（二） 相似矩阵7、 相似矩阵定义：设A、B均为n阶矩阵，如果存在可逆矩阵P使得B=P-】AP,称A与B相似，记作A~B8、 相似矩阵性质（1） 若A与B相似，则f（A）与f（B）相似（2） 若A与B相似，B与C相似，则A与C相似（3） 相似矩阵有相似行列式、秩、特性多项式、特性方程、特性值、迹（即主对角线元素之和）【推广】（4） 若A与B相似，则AB与BA相似，人丁与『相似,与2相似,A*与B*也相似（三） 矩阵相似对角化9、相似对角化定义:如果A与对角矩阵相似，即存在可逆矩阵P,使得P-】AP=A二L 〜」，称A可相似对角化。注：Ad尸入（jHO,由于P可逆），故P每一列均为矩阵A特性值'特性向量10、 相似对角化充要条件（1） A有n个线性无关特性向量（2） Ak重特性值有k个线性无关特性向量11、 相似对角化充分条件：（1） A有n个不同特性值（不同特性值特性向量线性无关）（2） A为实对称矩阵12、 重要结论:（1） 若A可相似对角化，则r（A）为非零特性值个数，n-r（A）为零特性值个数（2） 若A不可相似对角化，r（A）不一定为非零特性值个数（四）实对称矩阵13、 性质（1） 特性值全为实数（2） 不同特性值特性向量正交（3） A可相似对角化，即存在可逆矩阵P使得P-1AP=A（4） A可正交相似对角化，即存在正交矩阵Q,使得Q-1AQ=QTAQ=A6二次型（一）二次型及其原则形1、 二次型：（1） 普通形式（2） 矩阵形式（惯用）2、 原则形：如果二次型只含平方项,即f（XI，X2,…，Xn）=dlXl2+d2X22+•,,+dnXn2这样二次型称为原则形（对角线）3、 二次型化为原则形办法：（1） 配办法：通过可逆线性变换x=Cy（C可逆），将二次型化为原则形。其中，可逆线性变换及原则形通过先配方再换元得到。0（2）正交变换法：通过正交变换x=Qy,将二次