GenesioTesi混沌系统的稳定性分析研究

毕业论文论文论文题目Genesio-Tesi混沌系统的稳定性分析研究学生姓名达亚伟学号20096303专业班级数学与应用数学09-2班指导教师李慧民院系名称数学学院2013年5月28日目录中文摘要。.....。。。。。。。。。。.。.。..。.。.。.。..。..。.。。。。...。。。.。。..。..。。。...1英文摘要。。..。...。。..。。。.....。...。。.。.。.。。.。..。....。。.....。。。.。.。。..。21引言。。...。.。..。..。..。。。。。.。...。.。..。。。..。....。。.。。.。.。。..。..。。....32混沌2.1混沌的进展简史。....。。。.。...。。。。..。。。。....。....。。。.。.。。...。。..。42。2混沌的定义.。。...。...。。..。。。。.。。..。。..。.。。。。。。。。.。。。....。.。.。.。52.3混沌的基本特征。。.....。....。。.。。.。。....。.....。.。。。。.。.。。。.。..。.63稳定性3.1稳定性的定义.。。.。..。。....。.。。。.。.。。。。。.。....。。.。。.。。.。.。.....。73。2线性近似的局部稳定性。....。。。.。.。.。。。.。。。。.。...。。.。。.。.。..。。..。83。3Lyapunov函数方法。。.。。.。.。..。...。.。..。.。。.。。。...。.......。。.。..103。4临界情形.。。。..。。..。。。..。.。。。......。。。...。...。..。.。....。。.。.。..134正文4。1Genesio—Tesi混沌系统。。。.....。。.。.。..。。。。..。。。。。。.。..。。。。。。。....174.2Genesio-Tesi混沌系统的局部稳定性的商量.。。。.。。。。。。。....。。。。。。。。。174.3Genesio—Tesi混沌系统的全局稳定性的商量...。。。.。..。..。。。。.。.。。.。.21结论....。。。..。。.。。。.。。。...。。..。。..。。。。..。.....。.。..。。.....。。..。.。。..25致谢.。。。。..。。.。。。.。.。。。。。。....。。。.。...。.。。。...。。。.。。。。...。..........25参考文献。..。.。..。。...。..。..。。。。。。。.。。..。.。........。。。.。.。。。.。。。。。。。.26Genesio-Tesi混沌系统的稳定性分析讨论摘要：本篇论文主要商量和讨论了Genesio—Tesi混沌系统的稳定性。俄国数学家Lyapunov对于一般的非线性微分动力系统的稳定性做了开创性讨论，这给我们商量Genesio—Tesi混沌系统的稳定性供应了指导性思路。对此，我们将这篇论文分五部分展开：第一部分作为引言部分,主要介绍选题的讨论背景与意义.其次部分介绍混沌的历史，相关的定义，特征以及当前混沌学讨论的前景与未解决的混沌学核心问题。第三部分介绍非线性常微分方程稳定性的定义，主要叙述Lyapunov关于线性近似化商量其局部稳定性和利用Lyapunov函数（即V函数）商量其全局稳定性的一般方法，并且给出一些当代关于稳定性的讨论成果。第四部分作为正文部分,介绍了Genesio—Tesi混沌系统及其方程形式,并指出其具有的性质，我们运用第三部分的方法证明该混沌系统关于其平衡点是局部不稳定的和全局不稳定的。第五部分则给出该系统的讨论结论和相关的参考文献，并对相关人员表达感谢。关键字：混沌；稳定性；Genesio—Tesi混沌系统；局部线性化；V函数AnalysisonStabilityofGenesio—TesichaoticsystemAbstract:ThispapermainlydiscussesandstudiesthestabilityoftheGenesio-Tesichaoticsystem.RussianmathematicianLyapunovmadepioneeringresearchwithrespecttothestabilityforgeneralnonlineardifferentialdynamicalsystem,whichprovidesusguidingthoughtabouttheresearchthestabilityoftheGenesio—Tesichaoticsystem。Tothis,wedividethispaperintofiveparts:Thefirstpartastheintroductionpart,mainlyintroducestheresearchbackgroundandsignificanceoftopicselection。Thesecondpartintroducesthehistory，therelevantdefinition,characteristicsofchaosanditscurrentstudyprospects，coreunsolvedproblems。Thethirdpartintroducesthedefinitionofthestabilityofnonlinearordinarydifferentialequation，mainlydiscussesLyapunov’sgeneralmethodonthelinearapproximationtostudythelocalstabilityandtheuseofLyapunovfunction（i.e。,Vfunction)todiscusstheglobalstability，andgivessomecontemporaryresearchresultsaboutstability.Theforthpartasabodypart,introducestheGenesio—Tesichaoticsystemanditsformofequation，andpointsoutitsnature，thewayinwhichweusethethirdpartprovesthatthechaoticsystemaboutitsbalancepointislocalunstableandglobalinstable.Thefifthpartgivestheresearchconclusionofthissystemandtherelatedreferences，andexpressesmygratitudetorelevantpersonnel。KeyWords:Chaos；Stablility;Genesio—Tesichaoticsystem；locallinearization；Vfunction1引言选题的背景与意义现代科学始于英国物理学家Newton于1686年发表的《自然哲学的数学原理》，对自然天体的预言而言，Newton力学无疑是最为成功的典范,在Newton的著作中给我们演绎了很多精彩的结果。然而Newton运动定律只能很好的描述单体及二体的问题，对稍简洁的三体问题无法得到满意解。19世纪末20世纪初，法国数学家Poincare在讨论限制性的三体问题时遇到了混沌问题，发现三体引力相互作用将产生简洁性，Poincare还指出三体问题中，在肯定范围内，其解是随机的。1963年美国气象学家Lorenz在讨论自然气象学时提出了第一个混沌模型，从今揭开了世界讨论混沌学的新热潮.混沌现象及其讨论是当今世界数学界的讨论课题与学术热点，它揭示了自然界及人类社会中普遍存在的简洁性,有序和无序的统一，确定性和随机性的统一，加深了人们对客观世界的熟识。它在自然科学及社会科学等领域中,掩盖面之大、跨学科之广、综合性之强，进展前景级影响之深远都是空前的。混沌是普遍存在于自然界之中的，讨论发现有很多系统是混沌的,比如神经网络、电力系统、大气系统、天体系统、生态系统、电路系统、分子运动系统等等。混沌理论是近几十年才进展起来的活跃的前沿领域，有的学者甚至将其与量子物理和相对论一起称为二十世纪三项重要的科学发现，从哲学、科学和工程上来说，对它的讨论都具有重大理论与实际意义.Genesio—Tesi混沌系统是物理学中一类很重要的方程，它广泛用于电路设计与其他方向中。该系统以其方程形式简洁，电路易于实现的特点,并且可以通过时间尺度变换获得所需的频谱范围，在保密通信的应用中有肯定的价值。现代对其的讨论方向主要是混沌同步讨论、耦合混沌同步、自适应同步等,有的学者也将Genesio—Tesi混沌系统与Coullet混沌系统做比较,得出这两个拓扑不等价的系统，其奇异吸引子的结构具有肯定的相像性的结论，并采纳非线性反馈掌握方法实现了两系统之间的同步.鉴于Genesio—Tesi系统的物理学应用前景和数学的理论讨论前景，本论文主要探究该系统的稳定性,分析其平衡点处的局部稳定性和全局稳定性，这对深化了解该系统结构，扩大该系统应用范围有很深远的意义。2混沌我们知道对于一、二维驻定微分方程组,象平面的轨线图貌不会太简洁，仅有奇点、极限环、同宿轨、异宿轨等几种特殊轨线,而对于三维及以上的驻定微分方程组，或二维及以上的非驻定微分方程组，其轨线或积分曲线可能消灭混沌现象。Lorenz方程就是一个典型的模型，而经过李天岩、Yorke等人的连续讨论后，开创了混沌科学的新纪元。2.1混沌的进展简史混沌理论是一种兼具质性思考与量化分析的方法,用以探讨动态系统中无法用单一的数据关系,而必须用整体，连续的数据关系才能加以解释及猜测之行为。普遍存在的混沌现象，已经引起了众多领域学者和专家的爱好，混沌的理论及应用已成为非线性科学最重要的前沿内容。从数学角度上看，混沌是数学上为数不多的没有统肯定义的概念之一，它的发现冲击了Newton的决定论,有的学者甚至将其誉为继相对论和量子力学后20世纪的第三次科学革命。1954年，前苏联数学家A。N。Kolmogorov发表论文《Hamilton函数微小变化时条件周期运动的保持》，给出了KAM定理的雏形。1963年，他的同学V。I。Aronld给出了定理的严格证明，瑞典数学家J.Moser给出了一个改进的证明,这些讨论工作奠定了混沌讨论的基础.1963年,美国气象学家Lorenz发表了闻名论文《决定论非周期流》（“Deterministicnon-periodicflow")，得出了广为人知的“蝴蝶效应”，Lorenz系统成为第一个关于混沌的物理与数学模型,成为后人讨论混沌理论的动身点与基石。1976年，美国华裔学者李天岩与其导师Yorke在美国《数学月刊》中发表题为《周期三意味着混沌》（“Periodthreeimplieschaos”)的闻名论文中领先引入“Chaos”这个英文单词来表示混沌,不久之后人们惊奇发现“周期三意味着混沌”是1964年前苏联数学家A。N.Sharkovskii定理的一个特例。由于此定理的重新发现,也使得Sharkovskii定理也广为人知。1978年，Mandelbrot用分形(Fractal）一词来描述不规章几何形态，从而得出“具有奇怪吸引子的混沌具有分数维”的结论，进一步刻画了混沌的特征。在对混沌讨论的不断深化的同时，人们不仅仅满意于熟识和发现混沌，而开头致力于如何利用“好”的混沌和克服“坏”的混沌，90年月以来国际上的掌握混沌及混沌同步的讨论有了突破性的进展，并激起理论与实验应用讨论的进展前潮，使混沌的可能应用消灭了契机，为人们在利用混沌方面展现了十分诱人的应用与进展前景。2。2混沌的定义混沌的奇异性和简洁性目前尚不得人们彻底了解，目前混沌的各种定义是不同领域的学者从不同侧面给出的,而混沌并没有国际上所公认的定义.下面介绍几个影响比较广的混沌定义：Li-Yorke混沌定义是目前比较公认的且影响较大的混沌数学定义，它从区间映射的角度动身来定义，由1975年李天岩及其导师Yorke提出.定理2。1（Li-Yorke定理)设是上的连续自映射，若有3周期点，则对任何正整数n，有n周期点。定义2。1（Li—Yorke混沌定义）区间上的连续自映射，如果满意下面条件，便可确定它有混沌现象：（1）周期点上的周期无上界；（2)闭区间上存在不行数子集,满意：a。对任意，有b。对任意，有c。对任意和的任意周期点,有1989年，Devany从拓扑角度动身给出了更为直观，便于理解的混沌定义。定义2.2（Devany混沌定义)设是一个度量空间，是上的一个映射,称映射是混沌的，如果以下三条性质成立:映射是初值敏感依靠的,如果存在，对于任何与的一个领域，存在和自然数,使得;映射的周期点在中是稠密的；映射是拓扑传递的，如果对任何开集，存在自然数,使得1990年，Wiggins给出了一个更简洁的定义。定义2。3（Wiggins混沌定义）记集合，称映射是混沌的，如果以下两条性质成立：在中是对初值敏感依靠的;在中是拓扑传递的定义2。4(Morotto混沌定义)设为维欧氏空间,为的范数，称连续映射为混沌的，若以下性质成立：存在一个正整数满意,对于任意的整数，有周期的点;存在Scrambled集，即为一不行数非周期点集满意存在，；，，；,，;存在的一个不行数子集，，;2。3混沌的基本特征初值敏感性对非线性系统，从两个极其相近的初值动身的两条轨道，短时间内差异似乎不大,而在足够的长的时间里，会产生显著的差异.有界性混沌是有界的，其轨线始终在一个确定的区域之内，这个区域叫做混沌吸引域。分维性混沌运动状态具有多叶、多层结构，且叶层越分越细，表现为无限次的自相像过程,其在相空间的无限次折叠形成了有无穷次的自相像结构-奇怪吸引子。内随机性在输入确定性的状态后却产生类似随机的运动状态，这种由内部产生的性质,叫做内随机性，它冲击了Newton的机械决定论.遍历性混沌系统在其混沌吸引域里是遍历的，即在有限时间内混沌系统的轨道经过混沌区域的每一个状态点。普适性指不同系统在趋于混沌形态时所表现的某种共同特征，它不依简略的混沌方程和参数而变，是混沌内在规律性的一种体现.混沌动力学讨论的主要内容主要包括：一是混沌的基本理论讨论，包括混沌的数学定义、混沌吸引子的发现、KAM定理的建立、混沌的表征、混沌的分析方法、混沌普适性的讨论、通向混沌的道路、周期轨道的提取等，现已取得十分丰硕的成果，但还遗留一些尚未解决的核心问题，比如经典Lorenz吸引子的结构、数学严格意义下的混沌、产生混沌的数学机理等；二是在自然界中发现并且证明混沌现象的存在，到目前为止，绝大部分学科领域都发现了混沌现象的存在;三是混沌掌握、同步和反掌握以及混沌的应用讨论,这是应用领域极为关注的问题.以上几个方向相互依存、相互贯穿、相互促进，共同推动了混沌学科的进展。3稳定性稳定性理论是微分方程的一个重要分支，是由讨论运动问题而进展起来的。俄国伟大的数学家Lyapunov（Ляпунов。A.M)经过长期深化的钻研,在1892年发表他的经典著作《运动稳定性的一般问题》中,首先给稳定性概念下了严格的数学定义，并建立了一系列极为丰富的理论,从而奠定了运动稳定性理论的基础。3。1稳定性的定义对于一般的非线性微分方程组为讨论该方程组的特解接近的解的性态，通常利用变换把该方程组化为其中显然有故不失一般性，考虑方程组（3.1）的零解四周的性态定义3。1如果对任意给定的，存在（一般与和有关），使当任一满意时，方程组（3.1）的由初值条件确定的解,对一切均有则称方程组（3.1)的零解为稳定的。如果方程组(3。1）的零解稳定,且存在这样的使当时，满意初值条件的解均有则称方程组(3。1）的零解为渐近稳定的.如果渐近稳定，且存在域，当且仅当时满意初值条件的解均有则称称为（渐近）稳定域或吸引域。若稳定域为全空间，即，则称零解全局(渐近）稳定的。当零解不是稳定的,称它为不稳定的。即:如果对某个给定的不管怎样小,总有一个满意，使由初值条件所确定的解,至少存在某个使得，则称方程组（3。1)的零解为不稳定的.3。2线性近似的局部稳定性对于驻定微分方程组称满意方程：的点为平衡点。若微分方程组的平衡点为，做变换：则新的微分方程组以为平衡点。不失一般性,考虑一阶常系数线性微分方程组（3.2)其系数矩阵的特征方程(3.3）定理3。1若特征方程(3。3)的根均具有复实根，则方程组(3.2）的零解是渐近稳定的；若特征方程（3.3）具有正实部的根，则方程组（3。2）的零解是不稳定的;若特征方程（3。3)没有正实部的根，但有零根和具零实部的根，则方程组（3.2）的零解可能是稳定的也可能是不稳定的,这要看零根或具零实部的根其重数是否等于1而定。考虑非线性微分方程组(3。4）其中，且满意条件（3。5）定理3.2若特征方程（3.3)没有零根和零实部的根,则非线性微分方程组（3。4)的零解的稳定性态与其线性近似的方程组（3。2）的零解的稳定性态全都.这就是说，当特征方程(3.3）的根具有负实部时，方程组(3。4）的零解是渐近稳定的，而当特征方程（3。3）具有正实部的根时,其零解是不稳定的。定理3.3(Routh-Hurtiwz判别法)设给定常系数的n次代数方程(3.6）其中，作行列式其中则代数方程（3。6）的一切根均具有负实部的充分必要条件是下列不等式同时成立：推论3.1方程(3.6）全部根均具有负实部的必要条件是推论3。2方程（3。6）的根均具有负实部的必要条件是；充分条件是(当时，应去掉上式中的等号）3。3Lyapunov函数方法Lyapunov创立了讨论稳定性的一整套理论和方法，包括直接判别的第一方法和应用V函数判别的其次方法，第一方法是寻求微分方程组的特解或通解,以级数的形式将它表示出来,最简洁的级数形式是Taylor级数，在这基础上讨论稳定性问题;其次方法则借助一个所谓的Lyapunov的函数和依据微分方程组所计算的全导数的符号性质来直接推断稳定性问题，下面我们就Lyapunov其次方法作个说明。定义3.2如果有及存在,使在域上除了可取零值之外，保持同一符号，则称是常号的。如，则称为常正的；如，则称为常负的.定义3.3对于不依靠于的函数，如果存在，使当及时,保持同一符号，则称为定号的，如恒有，则称为定正的；如恒有,则称为定负的。定义3.4如果有及存在，使在域上有不等式,其实为某个正常数,则称是有界的。设为有界函数,如果对于任一个，有存在,使当及对一切（是某一常数）时，有不等式，则称为有无限小上界。考虑微分方程组（3。7）在某域内有连续偏导数，再假设函数关于全部变元的偏导数存在且连续，以方程（3。7）的解代入，然后对求导数这样求得的导数称为函数通过方程（3。7）的全导数.定理3.41如果对微分方程组（3。7）可以找到一个定号函数，其通过（6）的全导数为与符号相反的常号函数或恒等于零，则方程组（3.7)是稳定的.2如果有定号函数，它具有无限小上界，其通过（3.7）的全导数与为符号相反的定号函数，则方程组（3。7）是渐近稳定的。3如果存在函数，满意下列条件：I)有界；II)存在某常数，使通过（3.7）的全导数可以表示为其中为常数，而为常号函数或恒等于零；III）当时,对于一切，永久有任意小的存在，使。那么,方程组（3。7）是不稳定的。定理3。5设,且在原点邻域内负定，当正定时平凡解是稳定的；当严格存在负值区时，平凡解是不稳定的.设,且在原点邻域内正定，当负定时平凡解是稳定的;当严格存在正值区时,平凡解是不稳定的。定理3.6如果对于方程组（3.7）有这样的函数存在：I)有无限小上界；II）为定号；III）对于一切，永久有任意小的存在，使。那么，方程组（3。7）是不稳定的。关于Lyapunov的V函数构造的定理：考虑一阶常系数线性微分方程组(3。2）其系数矩阵的特征方程(3。3）定理3.7如果特征方程(3.3）的根不满意任何关系式其中为非负整数,且，则对于任给的次型，永久有一个且只有一个次型满意偏微分方程（3.8）定理3.8如果特征方程（3.3）的一切根的实数部均为负，又如为定号的（偶）次型，则必定有满意（3.8)式的次型，而且它是和符号相反的定号函数.定理3。9如果特征方程（3。3）的根中至少有一个根的实数部为正,又其个根满意定理3.7的条件，而为（偶)次型定号函数，则必定有满意（3。8)式的次型，且它不是与反符号的常号函数。定理3.10如果特征方程（3.3)的根至少有一根的实数部为正，又如为给定的（偶）次型定号函数，则永久有常数和次存在,满意方程：且不是与反符号的常号函数。Lyapunov其次方法的函数引起了一系列要求解决的问题:Lyapunov只提出以函数的性质决定稳定性和不稳定性的理论,并应用这一理论简略探讨了驻定的常微分方程组和周期系数的方程组的稳定性问题。但对于一切更简洁的微分方程组，是否有函数存在？函数的构造方法如何?如何借助函数以确定渐近稳定域？是否借助函数，指示与充分小的相对应的函数的估值这三个基本问题过去和现在仍然是讨论的对象。3.3临界情形基于Lyapunov的说法，他对驻定方程提出临界情形的概念，把当特征方程(3.3）实数部为零的根本是等于零的情形称为第一临界情形，把实数部为零的根是一对共轭纯虚根的情形称为其次临界情形。第一临界情形:设有个微分方程所组成的方程组,其特征方程除有一个零根外，其余个根都有负实部，则总可以经过非奇异的常系数线性变换,将方程转化为下列形式:作方程组由此求得正则解将正则解代入并作记号则此时只能产生下面两种情形之一:一般情形特殊情形在情形（1)中，如果为奇数而，则原方程组是渐近稳定的；如果为奇数而，或为偶数，则原方程组是不稳定的.在情形（2）中，原方程组是稳定的,担不是渐近稳定的。其次临界情形：设给定方程组其中是实常数,使特征方程有一对纯虚根，而其余的一切根均有负实部；为的正则函数。作方程组在假定的条件下,必可求得一组非零解且作线性变换则原方程组化为如下形式：这里是实常数，使特征方程的一切根均具有负实部;为的正则函数,其展式不含低于二次之项进一步地，不失一般性假定，下面就一般情形而言，处理方法仅以采纳极坐标法进行（也可以直接进行）令,并以代替作为独立变量，得方程组其中；及均为的正则函数，且对于一切实为全都正则，其按的幂的展开式不含低于二次之项，且展式系数为的周期函数，并可表为有限Fourier级数寻求满意变换后方程组的级数其中为任意常数；是的周期函数，周期是若，其中为不等于零的常数，是的周期函数，周期为当，原方程组是渐近稳定的；当,原方程组是不稳定的。近代关于系统稳定的定理定理3.11（Малкин.И.Г）如果对于微分方程组（3.7)可以求得这样的具有无限小上界的定正函数,并且它通过微分方程组（3.7)的全导数与某个定负函数之差在任何固定域中,当时全都趋于零,则方程组（3。7）是稳定的。定理3。12（Marachkoff）设微分方程组（3.7）中的每一个行向量在域中是有界的,并且存在定正函数，而全导数为定负的，则方程组（3。7）是渐近稳定的。近代关于系统不稳定的定理定理3.13（Четаев.Н。Г)如果对于微分方程组（3。7)有满意下列的函数存在：I)对于一切,在原点任意小的领域中，有域存在；II)在域中，函数有界;III)通过微分方程组（3。7)的全导数在域为定正则方程组（3.7）是不稳定的。定理3。14（Переидский。К。П）如果对于微分方程组(3。7）有满意下列的函数存在：I)对于一切，在原点任意小的领域中,有域存在；II）在域中，函数有界；III)通过微分方程组(3。7）的全导数在域内满意不等式：，此处为非负函数，当时，满意不等式：,及对任何,积分发散则方程组(3。7）是不稳定的。4正文4.1Genesio—Tesi混沌系统Genesio-Tesi混沌系统的方程为（4。1)其中为3个正实数，且满意定义：常微分方程描述系统的运动,有一大类系统,在运动时,其相空间容积是收缩的，这类系统称为耗散系统；当容积不变时系统称为保守系统；当容积扩大时系统称为扩张系统.可以通过系统相空间容积变化率小于、等于或者大于零来推断系统是耗散、保守或扩张的.性质：对于Genesio—Tesi系统（4.1），可以得因此系统(4。1)是耗散系统.容积随时间推移收缩为,即系统(4.1）的解是有界的。4。2Genesio—Tesi混沌系统的局部稳定性的商量对于系统（4.1），依据平衡点定义，联立方程解得两个平衡点：I）对局部线性化记，满意，且从而依据定理3。2，可对其线性近似化处理。线性化方程组（4。1），有方程组：化为矩阵形式，即为：只需推断系数矩阵的特征方程的根的性质（4。2）由定理3。2知,若特征方程（4。2）没有零根或零实部的根，则当根均具有负实部时，方程组(4.1）的零解是渐近稳定的，当根具有正实部时，方程组(4。1）的零解是不稳定的，而若特征方程（4。2)有零根或零实部的根,则对应地需要考虑两类临界情形(参见3.4）。定理4.1特征方程（4。2）没有零根和零实部的根，同时有正实部的根证明：由于，则知特征方程(4。2)没有零根,1.先证方程（4。2)没有零实部的根反证：假设方程（4.2）有零实部的根，设为，代入方程中有则有可得,与冲突，从而方程（4。2）没有零实部的根2。再证方程（4。2)有正实部的根利用定理3。3（Routh-Hurwitz判别法)给出特征方程所对应的代数方程根的实部均为负的充分必要条件考虑相应的代数方程：(4.3）从而代数方程（4。3）的一切根均具有负实部的充分必要条件是：即然而对于Genesio-Tesi混沌系统，都为正数，且满意（冲突）则知特征方程（4。2)的一切根非均有负实部，又知方程（4。2）无零根和零实部的根，可知方程（4.2）肯定有正实部的根。由定理3。2知，Genesio—Tesi混沌系统（4。1）关于平衡点是局部不稳定的II)对局部线性化对混沌系统（4.1)做变换，令则(4。4）记，则，且满意从而依据定理3。2,可对其线性近似化处理.线性化方程组（4。5），有方程组：化为矩阵形式，即为：只需推断系数矩阵的特征方程的根的性质(4。5）由定理3.2知，若特征方程（4.5）没有零根或零实部的根，则当根均具有负实部时，方程组(4。4）的零解是渐近稳定的，当根具有正实部时，方程组（4。4)的零解是不稳定的，而若特征方程(4。5）有零根或零实部的根,则对应地需要考虑两类临界情形（参见3.4）。定理4。2特征方程（4。5)没有零根和零实部的根，同时有正实部的根证明：由于，则知特征方程（4。5）没有零根，1。先证方程（4。5)没有零实部的根反证:假设方程（4.5)有零实部的根，设为,代入方程中有则有可得,与都为正数冲突，从而方程（4.5)没有零实部的根2.再证方程(4.5）根均有负实部利用定理3.3(Routh-Hurwitz判别法）给出特征方程所对应的代数方程根的实部均为负的充分必要条件考虑相应的代数方程：(4.6）从而代数方程（4。6）的一切根均具有负实部的充分必要条件是：然而对于Genesio-Tesi混沌系统，都为正数，且满意(冲突)则知特征方程（4.5）的一切根非均有负实部，又知方程(4.5）无零根和零实部的根，可知方程（4.5）肯定有正实部的根.由定理3。2知，新系统（4。4）关于平衡点是局部不稳定的，即原Genesio-Tesi系统（4.1）关于平衡点是局部不稳定的4。3Genesio-Tesi混沌系统全局稳定性的商量对平衡点商量其全局稳定性不妨记,则该混沌系统为设Lyapunov函数，则其全导数设，则有当充分小时,对于任意成立则考虑二次型矩阵二次型矩阵正定的充要条件是：由于任意，则该充要条件可变为：当所取的满意该充要条件时，例如则正定，而是不定的，那么严格存在正值区，由定理3。5知混沌系统在平衡点处是不稳定的。（也可就负定，严格存在负值区商量)对平衡点商量其全局稳定性不妨记，则经变换后的混沌系统为设Lyapunov函数，则其全导数设，则有当充分小时，成立则考虑二次型矩阵二次型矩阵正定的充要条件是：由于任意，则该充要条件可变为：当所取的满意该充要条件时，例如则正定，而是不定的，那么严格存在正值区，由定理3.5知变换后的系统在平衡点处是不稳定的,即原系统在平衡点是不稳定的。（也可就负定，严格存在负值区商量）结论本篇论文对电路设计和通信平安中有广泛应用的Genesio—Tesi混沌系统平衡点的稳定性进行分析讨论,通过对该系统的局部线性化,应用Hurwitz判别法知该混沌系统在平衡点的线性化矩阵在没有零特征根与零实部特征根的情形下，有正实部特征根,从而推导出Genesio—Tsei混沌系统的两个平衡点都是局部不稳定的；通过构造Lyapunov的V函数,应用Lyapunov关于V函数判别微分方程组稳定性的方法（借助了文献[9］的一个定理）,推导出该混沌系统的两个平衡点也是全局不稳定的。致谢不知不觉中，在历时将近三个月的奋斗中终究将这篇论文写完，回顾这个过程，从选题、收集材料到最后的定稿,一路上遇到了很多的困难和障碍，让我感到这一路的辛苦是多么刻骨铭心。在此，感谢合肥工业高校,是你,让我在四年的同学生涯中渐渐地明白了人生的真谛：一个人,可以没历史丰碑般伟大，但应该学会奋斗终生；一个人，可以没有智者观察世界般悟性，但要懂得去拥有生活，喜爱生活。在论文的写作过程中，有一位老师将不得不提到，她就是我的论文指导老师—李慧民老师,感谢她对我进行了无私的指导,并且不厌其烦的帮助进行论文的修改和改进，向我提出了一些建设性建议.另外，在校图书馆查找资料的时候，图书馆的老师也给我供应了很多方面的支持与帮助.在此向帮助和指导过我的各位老师表示最诚心的感谢！

感谢这篇论文所涉及到的各位学者