课件力学大会2015集ms5202

中国力学大会-*（电子科技大学，四川成都+（同济大学，上海伯努利梁，而砂轮为一个质量弹们之间的再生磨削力由时滞项针对结合数值延拓算法和特征值分析探讨了其稳定性，在参数空间中得到了系统的稳定性边界。随后，基于Hopf分岔理论预测了磨削颤振，并结合Bautin分岔理论在稳定边界上找到了超临界与亚临界Hopf间的切换点，并在线性稳定区域中划分出了存在颤振的条件稳定区域。此外，我们还将描述再生效应的时滞微分方程转变为偏微分方程，并结合Galerkin方法，更加准确的预测了工件和砂轮失去接触的颤对于往复式磨削，砂轮的横向移动使系统中多了一个时变参数，但横移速度相对较小，可以被视为准静态。此时，采用多尺度方法得到了砂轮和工件分别稳定的条件，从而区分了稳定区域，砂轮颤振区域和工件颤振区域。在不同的颤振区域中，又对参数变化引发的颤振进行了预测，得到了分岔图。基于快慢变们又从这一准静态的分岔图上构造出了往复式磨削中可能产生的颤结果表明，砂轮失稳引发连续性颤振，而工件失稳诱发间歇性颤对于这些颤振，我们尝试采用变转速控制来抑制颤振。多尺度分析表明，增大转速摄动幅度，并使砂轮和工件转速的摄动具有相同的频率且相差半个周期的相位时，能够对于磨削加工中广泛存在的亚临界分岔，可将工件和砂轮的相对速度作为反馈，利用其三次非线性转化亚临界Hopf分岔，从而确保磨削过程平稳。在此基础上在砂轮头架上附加一个周期性的外激励，通过增加外激励的幅值，可用一个小振幅的受迫振动替代了大振幅磨削颤进一步降低磨削颤，最终得到满足要求的成型零件。当该过程稳定时，切削深度保持恒定，零件的外形尺寸和表面质量能够达到预定要求。相反，如果切削过程失稳，产生振动，则切削深度会不断起伏，因而影响工件的成型。不仅如此，振动的产生还会大大地缩短刀具的使用寿命，乃至引发生产事故，威胁人员安全。针对这一问题，我们需要研究其产找到合适的方法将切削振动量弹簧振子，它具有质量m（kg）、刚度k（Nm-1）、阻尼c（Nsm-1）、半径r（m）和转 wE（Nm-2）、阻尼Cw（Nsm-2）、半径rw（m）和转w

中砂轮的进给f（m）。此外，考虑梁的连续体模型，其轴向的坐标记为S（m），砂轮处于位置P（m）而工件的总长为L（m）。图1磨削加工过程示意md2Xg+cdXg+kX=Fgdt2 gdtA¶2Xw C¶Xw

g ¶4 EA¶2

L¶Xw

=-δ(-

+w¶t+

w-2L¶S2w

¶t

0 其中A=πr2 I=πr2/4。考虑到砂轮和工件的接触，公式（2.1）中的DiracDelta函 ¶

前的磨削深度Dg（m）成正比，因而最简单的关系为Fg=kc 其中kc（Nm-1）是磨削刚根据再生理论Dg除了和进给f有关，还和砂轮与工件的位置相关，它 其中Tw60NwTg60Ng。这里的Tw（s）和Tg（s）分别代表了工件和砂轮的旋转周期。它们可以选

iπS

Li

0 00

1 A=-1-

L

-ξ 2 3 00

0

00

00 D ，D0-κsin 00

00 L

00 tI-A-gpg-ww=。 ）通过采用数值延拓的算法，在参数空间中连续的求解方程（8），可以得到磨削过程的稳定性边界，如图2该图为磨削加工过程的稳定性边界，曲面以下的参数空间代表对于图2中描绘的稳定性边界，可以大体区分磨削过程的动力学状态。更进一步对于临还可以进行摄动分析，得到其准确的动力学行为。此时，我们对于图3中的情况做多尺度分析，可以预测临界情况附近磨削过程的动力学行为针对图3中的各个箭头，可以分别采用多尺度方法和数值积分，分析磨削动力学行为到了图4。

τwτ3y1max10 18.68τ 65

21y1τ42y1max3

°°

1 1°°0°0°°

τwτ

τ的变化规律，（c）对应于参数点Iy1的时程图，（d）对应于参数点IIy1的时程图，（e）对应于参数点IIIy1的时BautinBautinHT 图5Bautin分岔至2τ,3τ,4τ乃至更多。此时，如果继续采用定常时滞的动力学方程，会带来一定的误差量减R(t0)。因而，此处的切削深度为 图6工件表面再生效量 -τwτ,2π+τ,0, 0 0 τ ,μ w

1

c τ-+, cwdg

dg0

dg

dg0

0 图7稳定磨削和磨削颤 min(dg)0κ不稳定解（时滞微分方程

不稳定解（偏微分方程稳定解（时滞微分方程 稳定解（偏微分方程图8分岔而砂轮和工件之间的相对位置会发生改变。从数学上来说，公式（1）中的P会变成一个置p几乎没有任何关系，但工件的稳定性却与p的取值密不可分。当砂轮靠近工件中心时（pl/2），图4.3中的稳定性区域的最小，也就对应了该磨削过程的稳定性最差。lp0τ图9往复式磨削过程中砂轮的位置随时间改变0τ τw 稳定区域延拓算 削深度随砂轮位置P的变化规律，可以得到图12。 43210

321 0.6l

0.6l 4433221104321

0.6l

4321

0.6l 0.6l p

0.6l 在得到了分岔图12以后，我们就可以利用该图去追踪砂轮移动对磨削动力学行为带来的影响。具体来说，我们通过图9寻找砂轮位置关于时间的变化规律，然后通过图建立颤振振幅随时间的变化规律，从而得到磨削颤振的动力学行为为了验证该结果，我们还对原方程直接进行数值积分，并将分岔图嵌入到直接数值积分得到的时间这些结果全部都绘制在了图13在图13中，可以清楚地看到，磨削深度d2程图被静态分析得到的颤振振幅dax的分岔图所包络图13（）显示了稳定的往复式磨削过程，而图13（b）中则全程都是砂轮颤振运动。在图13（）和（d）们看到相同的参数取值情况下可能出现截然不同的磨削动力学行为，分别是稳定磨削和砂轮颤图13（e）反应了工件颤振的情况，可以看出这种形式的颤振运动是间颤振出现在砂轮靠近工件中心时，消失于砂轮向工件两端移动的时候。在图13（f）们再次观察到了类似于图13（b）和（d）中的砂轮颤振运动，尽管它们所对应的分岔图图13（g）描述了最为复杂种情况，即磨削过程的动力学行为会在稳定磨削、砂轮颤振和工件颤振之间来回切换。但我们颤振依旧产生于砂轮移动到工件中点附近的时pp(a)l0l0(b)l0l0d2

4·1066·1068·106τp

2·1064·1066·106τp (d) d2

4·1066·1068·106τp

2·1064·1066·106τp(e)d1d2

0(f)1

2·1064·1066·1068·106τp

2·1064·1066·106τ(g) 2

2·1064·1066·106τ图13d2的时间历程图，图中还嵌入了颤dmax关于砂轮位置的分岔图p。（a）情况I（τw84），磨削过程始终稳定；（b）情况II（τw80），砂轮颤振；（c）情况III（τw80.8），稳定磨削过程；（d）情况III（τw80.8），砂轮颤振；（e）情况I（τw82.6），工件颤振和稳定磨削过程之间的不断切换；（f）情况V（τw68），虽然工件颤振的分岔图存在，但仅有砂轮颤振出现；（g）情况VI（τw68.34），稳定磨削、砂轮颤振和工件颤振之间的不断切换。1，， 颤振的临界情况，如图14临界曲面以下的区域中颤振可以被抑制下来，而曲线以上参数区域中的颤振不能够为能够进一步说明，我们取了图14的一个截面（ε=0.4），绘制在了图15该图中的灰色区域代表能够将颤振抑制下来的参数取值，而白色区域代表仍然保持颤工件转速之前，该信号被同时放大εDg倍和-εDw倍。再考虑到

图14临g0，该g0，其下g0 制（εDw=εDg0.015）以后，该颤振运动并没有被抑制下来，而是呈现出图16（b）的运动形式。此后继续增大转速变化幅度（εDw=εDg0.02），该颤振最终被成功抑制下来，其时间dg02dg0 2dg0 中的非线性项f转变为[4]

f=

-

3

2 3 利用IL并结合数值仿真，我们可以得到不同取值时所对应的动力学分岔行为，从而判断此反馈控制对于抑制磨削颤振的效应结果如图17所示。当我们增加控制的增益，超临界f分岔局部的转化为亚临界，如图17（b）。然而，从全局来看进一步增加反馈增益κ直到0.05，则折分岔逐渐消失，最终形成图17（c）中的简单超临界

κ=

κ=

κ=

1480014

图17反馈增益κ对全局分岔的影响。（a）κ=0，没有施加控制，颤振以亚临界Hopf分岔的形式产生；（b）κ=0.01，控 f=

-

+f

2

3

2 3 2< ，我们可以通过增加振动f从而使得a1转变为负值。此时，系统中原本存在dg τ图18dg的时间历程图。在颤振发生以后，工件和砂轮在τ1时刻开始产生分离。在τ2时刻，我们给系统附加了分岔控制，因而其颤振振幅开始减小，并且砂轮与工件分离的现象消失。在τ3时刻，振动控制被引入系统，其效果为了验证上面的分析，我们在图18中给出了一个仿真算例（磨削宽度wg16000，分岔控制增益κ0.2，振动控制幅f1）。图中可以看到，在磨削颤振产生以后，系统在τ1时刻发生砂轮与工件分离的现象。在τ2时刻，我们给系统引入了分岔控制，从而减小了颤振的幅值并使得分离现象消失。在此基础上，我们又在τ3时刻给系统引入振动控制dg τ 得两个转速的变化具有相同的频转变亚临界f分岔并减小磨削过程中颤幅。在此基础进一步引入振动控制，通过增大振动控制的幅值进一步的减小振动的幅值。与分岔控制有所不同的是，振动控制用小振幅的受迫振动削颤振，因此最终的振动和颤振相比具有不同的频1YanY,XuJ,WangW.Nonlinearchatterwithlargeamplitudeinacylindricalplungegrindingprocess.NonlinearDynamics，2012，69（4）：1781～1793.2YanY,XuJ,WiercigrochM.Chatterinatransversegrindingprocess.JournalofSoundandVibration,2014,333(3):937-953.3YanY,XuJ.Suppressionofregenerativechatterinaplungegrindingprocessbyspindlespeed.JournalofManufacturingScienceandEngineering-TransactionsoftheASME,2013,4YanY,XuJ,WiercigrochM.Non-linearanalysisandquenchcontrolofchatterinplungegrinding.InternationalJournalofNon-LinearMechanics,2015,70:134-144.Modelling,ChatterandControlofDelayedDynamicsinGrindingYAN XU(1SchoolofAstronauticsandAeronautics,UniversityofElectronicScienceandTechnologyofChina,No.2006XiyuanRoad,Chengdu611731,China)(2SchoolofAerospaceEngineeringandAppliedMechanics,TongjiUniversity,No.1239SipingRoad,Shanghai200092,AbstractIngrindingprocess,grindingwheelwearswhileworkpieceisregenerated.Thus,grindingdepthdependsnotonlyoncurrentrelativedisplacementofthewheelandtheworkpiecebutalsoontheirpreviousrelativedisplacement.Tostudygrindingdynamics,amodelisproposed,wheretheworkpieceistakenasasimplysupportedEuler-Bernoullibeamandthewheelaspringmasssystem.Torepresenttheregenerativegrindingforce,delayedtermsareused.Fortheplungegrinding,itsstabilityisanalyzedbyusingeigenvalueanalysisandcontinuationscheme.Thereafter,HopfbifurcationandBautinbifurcationtheoriesareusedtolocateconditionallyandunconditionallystableregions.Next,tostudythedynamicswitheffectoflosingcontact,partialdifferentialequationsareemployedtorepresenttheregenerativeeffect.Forthetransversegrinding,thewheelmotionintroducesatime-varyingparameter,whichcanbetakenasquasi-staticsinceitvariesslowly.Themethodofmultiplescalesisusedtostudythegrindingstability,andthenthebifurcationdiagramsareadoptedtoshowtherelationshipbetweenthechatterandthewheelposition.Basedonthebifurcationdiagrams,thegrindingd