北京市海淀外国语实验学校2023届高三三模检测数学试题

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一、单选题

1.已知集合，，则（）

A．

B．

C．

D．

2.若，则z=（）

A．1–i

B．1+i

C．–i

D．i

3.已知函数，则

A．是偶函数，且在R上是增函数

B．是奇函数，且在R上是增函数

C．是偶函数，且在R上是减函数

D．是奇函数，且在R上是减函数

4.若非零实数a，b满足，则下列不等式一定成立的是（）

A．

B．

C．

D．

5.某班分成了A､B､C､D四个学习小组学习二十大报告，现从中随机抽取两个小组在班会课上进行学习成果展示，则组和组恰有一个组被抽到的概率为（）

A．

B．

C．

D．

6.已知平面，则“∥”是“”的（）

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充分必要条件

D．既不充分也不必要条件

7.已知函数，是的一个极值点，是与其相邻的一个零点，则的值为（）

A．

B．

C．

D．

8.若双曲线的一条渐近线被圆所截得的弦长为，则双曲线的离心率为（）

A．

B．

C．

D．

9.已知为无穷等比数列，且公比，记为的前项和，则下面结论正确的是（）

A．

B．

C．是递减数列

D．存在最小值

10.定义函数的值为不超过正实数x的素数的个数（素数是大于1且只以1和自身为因数的正整数），则表示正整数集合，中素数所占的比例．数学家发现，当n非常大时这个比例接近于的值．由此估计，下列选项中与区间中素数的个数最接近的是（）（提示：，）

A．

B．

C．

D．

二、填空题

11.已知，则__________．（用数字作答）

12.已知，是单位向量，.若，则___________.

13.已知O为坐标原点，点，，则的面积为_____________．

14.如图，在三棱锥中，，，平面平面为中点，点分别为线段上的动点（不含端点），且，则三棱锥体积的最大值为___________.

15.已知数列满足，，给出下列四个结论：

①数列的前n项和；

②数列的每一项都满足；

③数列的每一项都满足；

④存在，使得成立．

其中，所有正确结论的序号是________．

三、解答题

16.已知函数．

(1)求函数取最大值时的取值集合；

(2)设函数在区间是减函数，求实数的最大值．

17.如图，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，侧面为等腰直角三角形，且，点为棱上的点，平面与棱交于点．

(1)求证：；

(2)从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知，求平面与平面所成锐二面角的大小．

条件①：；

条件②：平面平面；

条件③：．

18.单板滑雪U型池比赛是冬奥会比赛中的一个项目，进入决赛阶段的12名运动员按照预赛成绩由低到高的出场顺序轮流进行三次滑行，裁判员根据运动员的腾空高度、完成的动作难度和效果进行评分.最终取每站三次滑行成绩的最高分作为该站比赛成绩.现有运动员甲、乙二人在2022赛季单板滑雪U型池世界杯分站比赛成绩如下表：分站运动员甲的三次滑行成绩运动员乙的三次滑行成绩第1次第2次第3次第1次第2次第3次第1站80.2086.2084.0380.1188.400第2站92.8082.1386.3179.3281.2288.60第3站79.10087.5089.1075.3687.10第4站84.0289.5086.7175.1388.2081.01第5站80.0279.3686.0085.4087.0487.70(1)从上表5站中随机选取一站，求在该站甲运动员的比赛成绩高于乙运动员的比赛成绩的概率；

(2)设甲乙成绩相互独立，从甲的5站比赛成绩和乙的5站比赛成绩中分别随机选取一个，求两人的比赛成绩中至少有一人高于88分的概率；

(3)甲5站的比赛成绩的平均值为，甲乙5站比赛成绩的总平均值记为，比较与的大小（直接写出结果）.

19.已知椭圆的焦距为2，一个顶点为A（0，2）.

(1)求椭圆E的标准方程及离心率；

(2)过点P（0，3）的直线l斜率为k，交椭圆E于不同的两点B、C，直线AB、AC分别交直线于点M、N.求|的值.

20.已知函数

(1)若，求的单调区间；

(2)是函数的极小值点，求实数a的取值范围；

(3)若的最小值为，求实数a的值.

21.已知有限数列，从数列中选取第项、第项、、第项（），顺次排列构成数列，其中，，则称新数列为的长度为m的子列．规定：数列的任意一项都是的长度为1的子列，若数列的每一子列的所有项的和都不相同，则称数列为完全数列．设数列满足，．

(1)判断下面数列的两个子列是