微积分原理（上） 课件ch01实数集与初等函数

实数集与初等函数“工业和信息化部“十四五”规划教材清华大学本科优秀教材建设项目资助微积分原理（上）第一章01实数集1.集合及其运算集合是现代数学的基本概念，但很可惜，也是一个无法严格定义的基本概念。松散地说，具有某种特定性质的对象汇总而成的集体称为集合。这就是高等数学中通常使用的朴素集合论，构成集合的对象称为该集合的元素。通常用大写英文字母如ABDS等表示集合，用小写英文字母如a,b,x,y等表示集合中的元素，如果x是集合S中的元素，则称x属于集合S，记为xεS;如果x不是集合S中的元素，则称x不属于集合S，用符号xeS表示通常假设集合中两个元素互异，因为如果相同，则视其为同一元素。含有限个元素的集合称为有限集，含无限个元素的集合称为无限集。在本套教材中，我们用:N代表全体自然数组成的集合，即N={0,1,2,···};N+代表全体正整数组成的集合，即N+={1,2,···};Z代表全体整数组成的集合，即Z=NU(-N+)={···,-2,-1,0,1,2,···};Z+代表全体正整数组成的集合，即等于N+;Q代表全体有理数组成的集合，即Q=1.集合及其运算R代表全体实数组成的集合，即由有理数与无理数组成的集合;R+表示正实数组成的集合;C代表全体复数组成的集合，即C={a+ib:a,bεR)，其中i=

是虚数单位.1.集合及其运算1.集合及其运算1.集合及其运算由集合交集和并集的交换律及结合律，可以给出任意多个集合的交与并，例如在研究某个问题时所考虑的对象的全体称为全集，记为U，设4是全集U的一个子集，全集U中不属于A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集或余集,记为AC，即AC=U-A(或U\A).集合运算中的两个重要等式，即“德·摩根律”为设A与B是两个集合，定义A和B的直积(或笛卡儿乘积)AXB为2.映射定义1.1.1设A和B是两个非空集合若存在对应法则Φ，使得对∀xεA，按照对应法则Φ，有唯一的yεB与之相对应，称Φ是从A到B的映射，记为Φ:A→B，x|→y=Φ(x)，简记为y=Φ(x)，称y为x在映射Φ下的像，而x为y在映射Φ下的一个原像，集合A称为映射的定义域，记为D(Φ);A中所有元素在映射Φ下的像所组成的集合称为映射Φ的值域，记为R(Φ)，即设有映射Φ:A→B.若对∀x1,x2εA满足x1≠x2，有Φ(x1)≠(x2)，称映射Φ是从A到B的单射;若B中的任一元素都是A中某个元素的像，即B=Φ(A)，称映射Φ是从A到B的满射，若映射Φ:A→B既是单射又是满射，称Φ是从A到B的双射，或称其为A与B之间的一一映射。3.可数集如果集合4只有有限个元素，则定义该集合的基数为其元素个数n，记为card(4)=n.但是微积分所涉及的集合基本都是无限集。两个无限集的元素多少是否可以相互比较?这是微积分的一个根本性问题，也是数学家康托尔最初研究的.康托尔认为，如果两个无限集之间存在一个一一映射，则这两个无限集的基数相等，把正整数集N+={1,2,3,···}的基数记为3.可数集而形成与正整数的一一映射。实际上，可数个可数集的并集是可数的.设A1,A2,A3,···均为可数集，3.可数集3.可数集3.可数集4.实数集的性质实数集最基本的性质是关于加、减、乘、除四则运算封闭，即任意两个实数相加、相减、相乘、相除的结果都是实数，减法是加法的逆运算，除法是乘法的逆运算，因此加法和乘法是最基本的两种运算，实数的加法运算满足下列规律，(1)加法结合律:(2)加法交换律:(3)加法运算有单位元0:(4)加法运算有逆运算减法，等价地，每个实数x关于加法运算有逆元-x为x的相反数):4.实数集的性质乘法运算也满足类似的规律:(5)乘法结合律:(6)乘法交换律:(7)乘法运算有单位元1:(8)乘法运算有逆运算除法，等价地，每个非零实数x关于乘法运算有逆元x-1(为x的倒数):(9)乘法对加法的分配律:一个集合如果至少包含两个元素，且元素间有两种运算，满足规律(1)~规律(9)，则称该集合关于这两种运算构成一个域.所有实数关于加法和乘法运算构成一个域，称之为实数域.4.实数集的性质实数的另一个基本性质是任意两个实数可比较大小，实数的比较大小关系有四种:“小于等于≤”、“严格小于<”、“大于等于≥”和“严格大于>”，这四种关系可相互定义，所以只需讨论其中一种，不妨考虑小于等于关系“≤”，有下列规律:(10)自反性:(11)反对称性:(12)传递性:(13)全序性:(14)与加法的相容性:(15)与乘法的相容性:4.实数集的性质一个非空集合，若在它的元素间定义了一种关系“<”满足规律(10)~规律(12)，则称该集合关于这种关系“<”构成一个有序集:如果这种关系还满足规律(13)，则称之为全序集，如果一个域是一个全序集，且序关系满足规律(14)与规律(15)，则称之为有序域.因此实数域是一个有序域.实数间可比较大小，正因如此，实数能够在现实生活和科学研究中被广泛应用。在分析数学领域，经常需要应用实数的大小比较对一些难以准确掌握其精确值或者不必要准确掌握其精确值的量进行放大或缩小，这样的过程所得到的数量关系就是不等式。所以，不等式的建立在分析数学领域具有十分重要的作用，下面的平均值不等式是常用的不等式:4.实数集的性质实数集的子集称为数集，微积分中最常见的一类数集是区间，给定两个实数a.b满足a<b，则集合分别称为开区间、左开右闭区间、左闭右开区间、闭区间.,b分别称为这些区间的端点。左开右闭区间和左闭右开区间统称为半开半闭区间.4.实数集的性质实数集的一个重要特性是实数与数轴上的点一一对应，即实数布满了整个数轴，称这个性质是实数集的连续性，也称实数集的完备性.实数与数轴上点的对应是通过坐标来实现的，因此我们不区分实数与它所对应的数轴上的点的坐标，例如，数轴上的点的坐标为x，我们说点x或数x.实数集的完备性这一重要特性使得能够在几何上刻画如长度、角度、面积、体积等量，在物理上刻画如时间、温度、质量等各种可连续变化的量，这使得实数在人们的实际生活和科学研究中具有十分广泛的应用。4.实数集的性质而这一重要特性最初是被误解的，人类对数的认识有几次跳跃式的发展，首先是从自然数开始的，自然数对加法、乘法运算封闭，但对减法运算不封闭，这样就引进了整数集:后来在解形如2x=3的方程时发现整数不够用了，于是有了有理数;等到毕达哥拉斯发现了勾股定理，认知单位正方形的对角线长度、2不是有理数4.实数集的性质命题1.1.1任意非空开区间(a,b)都含有无穷多个有理数4.实数集的性质命题1.1.2无理数在实数集中是密的实数是从有理数扩充而来的，它区别于有理数的本质特性是全体实数可以填充直线上的所有点，而不会在直线上留有空隙，这就是实数集的完备性，实数域的完备性如何用严谨的数学语言来表述，是需要讨论的问题。因为只有给出了这一特性的严谨数学表述，才有可能把它作为正确推理的基础来应用，这个问题曾长期被人们忽视，直到19世纪后半叶才由德国数学家戴德金(RichardDedekind，1831-1916)注意到并经过多年的苦心研究成功地解决，戴德金认识到，由于实数是和直线上的点一一对应的，因此刻画实数域的完备性问题等同于刻画直线上的点没有间隙，即直线的连续性问题。戴德金的方法是把直线分成左右两部分，进而把“直线上没有间隙”这一形象的表述转化为“或者左边的部分有最大的点，或者右边的部分有最小的点”，即“一定存在一个分点”这样数字化的表述.5.戴德金原理定义1.1.2定义1.1.35.戴德金原理例1.1.4戴德金原理设(A,B)是实数域的一个戴德金分划，则要么下类4中有最大数，要么上类B中有最小数.这个原理可等价地表述为:设(A,B)是实数域的一个戴德金分划，则存在唯一的实数c使得6.确界原理定义1.1.4实数域的完备性除可用戴德金原理刻画外，还有其他等价的刻画，下面介绍确界原理，它在后面的讨论中发挥着重要的作用.命题1.1.3实数集S是有界集当且仅当S既有上界又有下界.6.确界原理定义1.1.5设有非空数集S，若存在数aεeR满足下列性质:一个非空数集，若有下界，则一定有无穷多个下界，把最大的下界称为下确界，即6.确界原理定义1.1.6设有非空数集S，若存在数βεR满足下列性质:6.确界原理定理1.1.1(确界原理)若非空数集ScR有上界，则S存在唯一的上确界;若非空数集S有下界，则S存在唯一的下确界.数集是数轴上的一个点集.在几何上，一个数集S的上界具有这样的性质:它的右边没有数集S中的点，因此它的右边都是数集S的上界，换句话说，S的所有上界的集合是数轴上的正向射线，该射线的端点就是数集S的上确界。确界的存在性反映了实数集的连续性这一重要特性，即实数布满了整个数轴且实数集是完备的.02初等函数1.函数的概念函数是定义在两个非空数集之间的映射.2.函数的一些特性下面回顾函数的几种简单特性.2.函数的一些特性2.函数的一些特性显然，如果l是函数的一个周期，那么nl(nεZ+)也是该函数的周期，我们把函数的最小正周期称为函数的周期，画周期函数的图像时，只要在长度为一个周期的区间上描绘出函数的部分图像，然后将此图像一个周期一个周期地向左、向右平移，就得到整个函数的图像.3.函数的运算以上两个函数的四则运算法则可推广到任意有限个函数的情形.再回顾函数之间的复合运算，两个或两个以上的函数用“对应关系传递”的方法能生成更多的函数，例如，函数z=ny与y=x-1构成新函数z=m(x-1)，这里，z是y的数，y又是x的函数，于是通过媒介，得到z是x的函数.3.函数的运算4.基本初等函数1.幂函数ƒ(x)=xa，aεR是常数4.基本初等函数2.指数函数ƒ(x)=ax,1≠a>0，定义域为R4.基本初等函数3.对数函数ƒ(x)=logax,1≠a>0，定义域为(0,+∞)4.基本初等函数4.三角函数与幂函数、指数函数和对数函数不同，三角函数是通过几何图形即单位圆周上的弧与弦等对象及相关的三角形来定义的，因此探讨三角函数需要借助几何图形.4.基本初等函数4.三角函数分别称为正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数、正割函数和余割函数，这六个函数统称为三角函数·观察到，最基本的三角函数是正弦函数和余弦函数，其他四个三角函数都可由这两个函数经四则运算表示:4.基本初等函数4.三角函数4.基本初等函数4.三角函数4.基本初等函数4.三角函数4.基本初等函数4.三角函数4.基本初等函数4.三角函数4.基本初等函数4.三角函数4.基本初等函数4.三角函数4.基本初等函数4.三角函数4.基本初等函数4.三角函数5.反函数及其存在条件5.反函数及其存在条件5.反函数及其存在条件6.反三角函数反三角函数是一类基本初等函数，也是一个多值函数，因此不能狭义地理解为三角函数的反函数，为限制反三角函数是单值函数，需要定义反三角函数的主值，欧拉提出反三角函数的概念，并首先使用“arc+三角函数名”的形式表示反三角函数，反三角函数包括反正弦、反余弦、反正切、反余切、反正割、反余割六个函数.6.反三角函数严格单调递增且是奇函数，如图1-2-16所示.6.反三角函数6.反三角函数6.反三角函数由反三角函数定义容易观察出下列等式成立:应用三角函数的加法公式(1.2.6)，可得如下等式:6.反三角函数多项式函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数统称为基本初等函数，由基本初等函数经过有限次四则运算及有限次复合运算得到的函数称为初等函数。初等函数是一类重要的函数，一方面，初等函数本身就有很多应用:另一方面，对其他函数的研究也常常要直接或间接地借助初等函数.7.双曲函数和反双曲函数双曲函数和反双曲函数在工程技术上是常用的一类初等函数.7.双曲函数和反双曲函数7.双曲函数和反双曲函数7.双曲函数和反双曲函数7.双曲函数和反双曲函数双曲正弦、双曲余弦、双曲正切函数的反函数，分别称为反双曲正弦、反双曲余弦、反双曲正切函数，依次记为arsinh、arcosh和artanh.与反三角函数的不同之处