解对初值的连续性和可微性

第三章一阶微分方程解的

存在唯一性定理Existence&UniquenessTheorem

ofFirst-OrderODE2023/10/41.-重庆科技学院-李可人§3.3

解对初值的连续性和可微性

/Continuousanddifferentiabledependenceofthesolutions/

2.-重庆科技学院-李可人-重庆科技学院-李可人

解对初值的连续性

解对初值的可微性本节要求：

1了解解对初值及参数的连续依赖性定理；

2了解解对初值及参数的可微性定理。内容提要§3.3Continuity&differentiability2023/10/43.-重庆科技学院-李可人3.3.1解对初值的对称性定理设f(x,y)于域D内连续且关于y满足利普希茨条件，是初值问题的唯一解，则在此表达式中，与可以调换其相对位置，即在解的存在范围内成立着关系式§3.3Continuity&differentiability2023/10/44.-重庆科技学院-李可人3.3.2解对初值的连续依赖性定理假设f(x,y)于域G内连续且关于y满足局部利普希茨条件，是初值问题的解，它于区间有定义，那么，对任意给定的，必存在正数，使得当时，方程满足条件的解在区间也有定义，并且§3.3Continuity&differentiability2023/10/45.-重庆科技学院-李可人引理如果f(x,y)

在某域D

内连续，且关于y满足利普希兹条件（利普希兹常数为L），则方程(3.1.1)任意两个解在它们公共存在区间成立不等式其中为所考虑区间内的某一值。证明设在区间均有定义，令不妨设因此，有§3.3Continuity&differentiability2023/10/46.-重庆科技学院-李可人则于是因此，在区间[a,b]上为减函数，有§3.3Continuity&differentiability2023/10/47.-重庆科技学院-李可人对于区间则并且已知它有解类似以上推导过程，令注意到因此两边取平方根，得§3.3Continuity&differentiability2023/10/48.-重庆科技学院-李可人解对初值的连续依赖性定理的证明（一）构造满足利普希茨条件的有界闭区域因为，积分曲线段是xy平面上一个有界闭集，又按假定对S上每一点(x,y)必存在一个以它为中心的开圆使在其内函数f(x,y)关于y

满足利普希茨条件。根据有限覆盖定理，可以找到有限个具有这种性质的圆并且它们的全体覆盖了整个积分曲线段S。设为圆的半径，表示f(x,y)于内的相应的利普希茨常数。§3.3Continuity&differentiability2023/10/49.-重庆科技学院-李可人令则有且的边界与S的距离。对预先给定的若取则以S上每一点为中心，以为半径的圆的全体，连同它们的圆周一起构成S的有界闭域，且f(x，y)在D上关于y满足利普希茨条件，利普希茨常数为L。§3.3Continuity&differentiability2023/10/410.-重庆科技学院-李可人（二）解对初值的连续依赖性断言，必存在这样的正数使得只要满足不等式则解必然在区间也有定义。由于D是有界闭区域，且f(x，y)在其内关于y满足利普希茨条件，由延拓性定理知，解必能延拓到区域D的边界上。设它在D的边界上的点为这时必然有§3.3Continuity&differentiability2023/10/411.-重庆科技学院-李可人因为否则设则由引理由的连续性，对必存在使得当时有取则当§3.3Continuity&differentiability2023/10/412.-重庆科技学院-李可人于是对一切成立，特别地有即点均落在D的内部，而不可能位于D的边界上。与假设矛盾，因此，解在区间[a,b]上有定义。§3.3Continuity&differentiability2023/10/413.-重庆科技学院-李可人在不等式中，将区间[c，d]换为[a，b]，可知，当时，有定理得证。§3.3Continuity&differentiability2023/10/414.-重庆科技学院-李可人的解作为的函数在它的存在范围内是连续的。解对初值的连续性定理假设f(x,y)于域G

内连续且关于y满足局部利普希茨条件，则方程§3.3Continuity&differentiability2023/10/415.-重庆科技学院-李可人1.

含参数的一阶方程表示2.一致利普希兹条件设函数一致地关于y

满足局部利普希兹(Lipschitz)条件，为中心的球，使得对任何其中L

是与无关的正数。在内连续，且在内即对内的每一点都存在以成立不等式§3.3Continuity&differentiability2023/10/416.-重庆科技学院-李可人由解的存在唯一性定理，对每一方程的解唯一确定。记为§3.3Continuity&differentiability2023/10/417.-重庆科技学院-李可人解对初值和参数的连续依赖性定理假设

于域内连续，且在内关于y一致地满足局部利普希茨条件，是方程通过点的解，在区间

那么，对任意给定的，必存在正数时，方程满足条件的解在区间也有定义，并且有定义其中使得当§3.3Continuity&differentiability2023/10/418.-重庆科技学院-李可人的解作为的函数在它的存在范围内是连续的。解对初值和参数的连续性定理假设

于域内连续，且在内关于y一致地满足局部利普希茨条件，则方程§3.3Continuity&differentiability2023/10/419.-重庆科技学院-李可人3.3.3解对初值的可微性定理的解作为的函数在它的存在范围内是连续可微的。若函数f(x,y)以及都在区域G

内连续，则方程§3.3Continuity&differentiability2023/10/420.-重庆科技学院-李可人§3.3Continuity&differentiability2023/10/421.-重庆科技学院-李可人证明由在区域G

内连续，推知f(x,y)在G内关于y满足局部利普希茨条件。因此，解对初值的连续性定理成立，即下面进一步证明对于函数的存在范围内任一点的偏导数在它的存在范围内关于是连续的。存在且连续。§3.3Continuity&differentiability2023/10/422.-重庆科技学院-李可人设由初值为足够小的正数）所确定的方程的解分别为即于是其中先证存在且连续。§3.3Continuity&differentiability2023/10/423.-重庆科技学院-李可人注意到及的连续性，有其中具有性质类似地其中与具有相同的性质，因此对§3.3Continuity&differentiability2023/10/424.-重庆科技学院-李可人即是初值问题的解，在这里被视为参数。显然，当时上述初值问题仍然有解。§3.3Continuity&differentiability2023/10/425.-重庆科技学院-李可人根据解对初值和参数的连续性定理，知是的连续函数。从而存在而是初值问题的解。且

，显然的连续函数。它是§3.3Continuity&differentiability2023/10/426.-重庆科技学院-李可人再证存在且连续。为初值设所确定的方程的解。类似地可推证是初值问题的解。因而§3.3Continuity&differentiability2023/10/427.-重庆科技学院-李可人其中具有性质故有至于的存在及连续性，只需注意到显然它是的连续函数。是方程的解，因而由及的连续性即直接推的结论。证毕。§3.3Continuity&differentiability2023/10/