固体物理 第三章 晶格振动

§3.1晶体中原子的微振动声子一、微振动方程及其解设晶体由N个原子组成，考虑原子振动，每个原子的位矢：平衡位置位移矢量（原子偏离平衡位置）以位移矢量作为考察量：晶体的振动动能：第三章晶格振动质量加权坐标晶体振动势能

按的幂将势能在平衡位置附近展开为泰勒级数高阶项其中平衡位置处的势能为零势能点平衡位置处势能为极小值略去高阶项（简谐近似）晶体的振动势能：3.1晶体中原子的微振动声子拉格朗日函数（概括整个系统动力状态的函数）代入拉格朗日方程由3N个线性齐次方程组成的方程组,其特解为所有原子在每个方向上都作同频率,同相位,不同振幅的振动,称为简谐振动。每一个简谐振动并不表示某一个原子的振动，而是表示整个晶体所有原子都参与的振动，称为一个振动模式。有N个原子组成的晶体，一共有3N个振动模式3.1晶体中原子的微振动声子方程的一般解可表示为特解的线性叠加共有3N种叠加方式，表示在3N个方向上的振动。对某一个原子而言，实际振动是由许多振动模式引起的振动的叠加，形式极为复杂。所以，实际晶体中每一种微振动都是3N个简谐振动的叠加，是一种极为复杂的运动。3.1晶体中原子的微振动声子晶体的振动势能：3.1晶体中原子的微振动声子力常数其中势能公式中用到的力常数可以用矩阵的形式表示出来：简正坐标和谐振子：A为正交矩阵正交变换令D为由所有质量加权坐标构成的列矩阵Q的每一个矩阵元都是所有质量加权坐标的线性组合,这些矩阵元就是简正坐标

运用线性变换的方法，引入简正坐标，总能量：用Q表达T和U，消除势能交叉项（即消去相互作用），组成拉氏函数，带入拉氏方程，求解系统运动方程：将N个相互作用着的原子系统简化为3N个独立的谐振子谐振子运动方程3.1晶体中原子的微振动声子其中：系统的总能量：每一个谐振子能量可表示为:根据量子理论二、声子系统由3N个谐振子组成，每一个谐振子的能量是量子化的，能量单位即为声子。声子3.1晶体中原子的微振动声子3.1晶体中原子的微振动声子晶格振动模式

独立的谐振子声子质量加权坐标下：简正坐标下：能量量子化一、简谐近似则原子间相互作用力近似1：原子间作用力简化为弹性力。作用力常数近似2：只考虑最近邻原子间作用力3.2一维布拉菲格子的晶格振动+2nx第n+1个原子对第n个原子的作用力第n-1个原子对第n个原子的作用力一维无限长单原子链3.2一维布拉菲格子的晶格振动每一个原子对应一个方程，n个原子对应n个联立的线性齐次方程组第n个原子的牛顿运动方程：第n个原子受到的合力为（仅考虑最近邻作用）3.2一维布拉菲格子的晶格振动试解：位于处的原子的振动解正k对应于沿+x方向的前进波，负k对应于沿-x方向的波，这种在晶体中传播的波，称为。格波一种振动模式（k，ω）试解代入运动方程：3.2一维布拉菲格子的晶格振动波矢(k)与格波频率(ω)间的函数关系称为色散关系,即声子谱。能直接地反映原子间相互作用,是晶格动力学的基础,以其为起点可进一步求得声子态密度、晶格摩尔热容、德拜温度、热膨胀系数等一系列晶体热力学性质。3.2一维布拉菲格子的晶格振动格波的色散关系由公式和色散关系谱看出，色散关系具有明显的周期性，周期为n∙2π/a。对于波矢为k1和k2＝k1＋n∙2π/a的两个格波具有相同的角频率，相同的能量，相同的位移。称为第一布里渊区的范围。0k格波的色散关系3.2一维布拉菲格子的晶格振动色散关系具有周期性，常将k限制在:(即倒空间中一维晶格的原胞)整个晶格象刚体一样作整体运动,因而恢复力为0,故长波极限，3.2一维布拉菲格子的晶格振动邻近原子反向运动(位相相反)，所以恢复力和频率取极大值。二、周期性边界条件考虑有限长的一维原子链，由N个原子组成；另有无穷多个相同的一维原子链与之联结而形成无限长的一维原子链，各段相应原子运动情况同。有N种均匀分布的分立取值3.2一维布拉菲格子的晶格振动波矢空间中，晶格振动模式（代表点）均匀分布。晶格的独立振动模式数等于N，等于晶体的自由度数。一组（k，ω）对应一种振动模式。3.2一维布拉菲格子的晶格振动波矢相差倒格矢，晶格振动相同2aMm2n2n+1一、运动方程试解代入运动方程一维双原子链（N个原胞，2N个原子）3.3一维复式格子的晶格振动线性齐次方程非平凡解条件：0k色散关系具有周期性，将k限制在：称为一维双原子链的第一布里渊区如m<M，色散关系中存在频隙3.3一维复式格子的晶格振动由边界条件：一维双原子链由N个原胞组成，每个原胞中含有两个不同的基，将若干个相同的一维双原子链首尾相接，形成无限长的一维链。则有：波矢的取值数=晶格原胞数N对每一个波矢k，有两类独立的振动其中，，共有N种取值振动模式数=总自由度数2N3.3一维复式格子的晶格振动有N种取值所以二、声频支和光频支称为光频支，相应的格波称为光学波称为声频支，相应的格波称为声学波频率较高频率较低光学波相邻原子振动方向相反声学波相邻原子振动方向相同3.3一维复式格子的晶格振动考虑长波极限表明光频支在长波极限下，相邻原子反向振动，基质心保持静止。若是离子晶体，在电场作用下异号离子受力相反，可用光波来激发离子晶体中的这种长波振动。3.3一维复式格子的晶格振动表示声频支在长波极限下，原胞内两个原子的振幅相同，且相邻原子振动位相差振动情况一致。声频支在长波限描述了原胞的整体运动。长声学波与声波的性质类似，可近似连续介质的弹性波。3.3一维复式格子的晶格振动考虑长波极限0k3.3一维复式格子的晶格振动弹性介质的色散关系光波的色散关系对于实际三维的晶体，上述的分析方法和结论是普适的。三维情形下，若基由n个原子组成，原胞内的原子共有3n个自由度，因而存在3n种色散关系。其中3支为声频支；

3(n-1)支为光频支。三、三维晶格金刚石【100】方向的色散关系3.3一维复式格子的晶格振动原胞内含原子数原胞数自由度数第一布区中k数格波数声学格波数光学格波数单原子链双原子链三维晶体12nNNNN2N3nNNNNNN3N0N3(n-1)N

格波数与晶体的维数及晶胞内原子数的关系3.3一维复式格子的晶格振动3.4晶格热容及其理论模型热容：一定质量的物质在一定条件下，温度升高/降低一度所需要的热量，定容热容，定压热容，摩尔热容等。温度T时的热力学平均能量晶格比热容电子比热容经典的困难：能量均分定理每个简谐振动的平均能量为:N原子系统杜隆—珀替定律与温度和材料性质无关低温下，随温度下降很快，当T→0时，Cv→03.4晶格热容及其理论模型一、晶格热容的量子理论1）根据量子统计理论，声子是玻色子，由B-E分布知，温度为T时，角频率为ω、波矢k的振动的声子数为：N个原子的热振动可归结为能量量子化了的3N个相互独立的简谐振动模，其总能量为：2）频率为ω的谐振子能量为：3.4晶格热容及其理论模型称为频率分布函数，表示单位频率间隔内的振动模式数。

3）整个晶格振动对应的内能为：3.4晶格热容及其理论模型为波矢k相对应的第s频支模式的声子数4）忽略零点能ħω/2：ω取值的密集性可将求和近似用求积分代替3.4晶格热容及其理论模型5）与原子的晶格振动对应的热容晶格振动的定容热容只与频率有关。二、爱因斯坦模型假设：晶格包含N个原胞、每个原胞内包含n个原子，每个原子进行相互独立的振动，则共有3nN种振动模式，每个振动模式都具有相同的振动频率：内能：热容：3.4晶格热容及其理论模型(爱因斯坦模型)爱因斯坦特征温度①高温区与经典的实验结论相符②低温区讨论：与实验定性相符,但是下降很陡，与实验不符。3.4晶格热容及其理论模型(爱因斯坦模型)爱因斯坦