第十二讲三角恒等变换解析版

第十二讲：简单的三角恒等变换【考点梳理】两角和与差的三角函数公式二倍角公式3、辅助角公式(其中)4、降幂公式【典型题型讲解】考点一：两角和与差公式【典例例题】例1．（2022·广东汕头·高三期末）已知，则（

）A．-1 B．0 C． D．【答案】B【详解】∵，∴，故故选：B例2.（2022·广东湛江·一模）已知，，则（

） B． C． D．【答案】B【详解】由，，得，所以，故选:B.例3．（2022·广东汕头·一模）已知，，则（

）A． B． C．3 D．【答案】B【详解】由，得，又，得，即，整理，得或(舍去)，所以，又，，解得，故.故选：B【方法技巧与总结】1.三角函数式化简的方法：化简三角函数式常见方法有弦切互化，异名化同名，异角化同角，降幂与升幂等.2.给值求值：解题的关键在于“变角”，把待求三角函数值的角用含已知角的式子表示出来，求解时要注意对角的范围的讨论.【变式训练】1.已知，则__________．【答案】【解析】本题主要考查三角恒等变换，考查考生的运算求解能力.，解方程得.故答案为.2.（2022·广东韶关·一模）若，则__________.【答案】【详解】因为，所以，所以，所以.故答案为：3.（2022·全国·高考真题）若，则（

）A． B．C． D．【答案】C【详解】由已知得：,即：，即：,所以,故选：C4.已知，，且，，则（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】易知，利用角的范围和同角三角函数关系可求得和，分别在和两种情况下，利用两角和差正弦公式求得，结合的范围可确定最终结果.【详解】且，，.又，，.当时，，，，不合题意，舍去；当，同理可求得，符合题意.综上所述：.故选：.5.已知，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】根据题意得到进而得到，，从而有.【详解】∵，∴，则，，∴，故选A.考点二：二倍角公式【典例例题】例1.（2022·广东中山·高三期末）若，则___________.【答案】【分析】根据余弦的二倍角公式即可计算.【详解】.故答案为：.例2．（2022·广东清远·高三期末）已知，则________．答案】【详解】．故答案为：例3.若，则（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】，，，，解得，，.故选：A.【方法技巧与总结】三角恒等变换的基本思路：找差异，化同角(名)，化简求值.三角恒等变换的关键在于观察各个角之间的联系，发现题目所给条件与恒等变换公式的联系.【变式训练】1．（2022·广东汕头·一模）已知，，则（

）A． B． C．3 D．【答案】．B【详解】由，得，又，得，即，整理，得或(舍去)，所以，又，，解得，故.故选：B2．（2022·广东韶关·二模）已知，则（

）A． B． C． D．【答案】．C【详解】由题知，有，所以，故选：C．3.（2022·广东佛山·二模）已知sin，则___________.【答案】【详解】所以所以故答案为：4.（2022·广东肇庆·二模）若，则______．【答案】【详解】∵，∴，所以．故答案为：.5．（2022·广东深圳·二模）已知，则__________．【答案】【详解】解：由题意可知：.6.若，且，则（

）A． B． C．2 D．2【答案】D【详解】，故，可解得或，又，故，故，故选：D7．已知，则（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】因为，所以，.故选：B.8．已知，且，则（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】因为，所以又，所以，所以所以故选：D9．已知，则（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】因为，所以.故选：B．10．已知，，则（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】解：因为，所以，又，所以，所以。即，所以故选：B【巩固练习】一、单选题1．已知角与角的顶点均与原点O重合，始边均与x轴的非负半轴重合，它们的终边关于x轴对称．若，则（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】因为与关于轴对称，，所以，，则，，，，当时，，，当时，，所以，故选：A．2．已知，，则（

）A．0 B． C． D．1【答案】C【详解】因为，，两式平方相加得：，即，即，则，故即，，即，即，，即，故，故选：C3．已知，，则（

）A． B． C．1 D．2或6【答案】A【详解】因为，所以，解得，又，所以.故选:A.4．公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派研究过正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割约为0.618，这一数值也可以表示为，若，则（

）A．－4 B．－2 C．2 D．4【答案】B【详解】．故选：B．5．若，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】由，可得又，则故选：D6．若，则（

）A．B．C． D．【答案】C【详解】，因为所以，，因为，，所以，，则．故选：C二、多选题7．已知，，则（

）A． B． C． D．【答案】BD【详解】因为，所以，又，所以，，故A错误，B正确．，所以，，故C错误，D正确．故选：BD.8．下列各式的值为的是（

）.A．sinB．sincosC． D．【答案】AD【详解】A：，符合题意；B：，不符合题意；C：，不符合题意；D：，符合题意，故选：AD9．已知，其中为锐角，则以下命题正确的是（）A． B．C． D．【答案】AB【详解】因为，，所以，故A正确；因为，所以所以，故B正确；，，由得，，解得；故C不正确；由得，，解得；，故D不正确.故选：AB.三、填空题10．若，则__________，_________．【答案】

【详解】，∴，即，即，令，，则，∴，即，∴，则．故答案为：；．11．已知，则________.【答案】【详解】因为，，所以，所以，所以，，所以，则.故答案为：.12．已知，则_____________.【答案】【详解】因为所以..故答案为：13．__________.【答案】0【详解】.故答案为：0．四、解答题14．已知，．(1)求的值；(2)若，，求的值．【答案】(1)(2)【解析】(1)解：因为，，又，所以，所以.(2)解：因为，，又因为，所以，由（1）知，，所以．因为，，则，所以．15．已知角为锐角，，且满足，(1)证明：；(2