23导数与数列-原卷版

第23讲导数与数列知识与方法导数是研究函数问题的利器，而数列可看成一类不连续的函数，数列项的序数相当于函数的自变量，数列的值相当于函数值，而数列的通项公式则相当于函数的解析式，数列的增减性相当于函数的单调性等等．因此，有些数列问题可通过转化为函数问题进行研究，而这类问题通常又与导数有着千丝万缕的联系．导数与数列结合的问题，综合性较强，难度较大，在近几年的高考试题和模拟试卷中也有所体现，比如课后练习15题为2020年山东省新高考统一模拟考试的压轴题，也反映了今后高考导数问题的新方向．一般来说，有关数列的不等式问题，在放缩的过程中，可利用数列的通项公式或者递推关系建立相应的函数关系，再利用导数研究函数的性质．比如在研究数列的增减性时，可通过研究函数的单调性进行研究，如例5，通过建立函数关系将数列问题问题完全转化为函数问题．典型例题【例1】2020年12月17日，嫦娥五号返回器在内蒙古安全着陆，激动人心！“切线数列”在航空航天中应用广泛，若数列满足，则数列为函数的“切线数列”．若函数的“切线数列“为，其中，数列满足，上，数列的前n项和为，则（）A． B．C． D．【例2】设函数（m，a为常数）的导数为，则数列的前n项和为（）A． B．C． D．【例3】已知数列满足：，，证明：当时（1）；（2）；（3）．【例4】已知函数，其中．（1）证明：；（2）设为方程的最大根，证明：．【例5】设数列满足,,证明:.强化训练1.已知函数的图象如图所示.（1）求函数的解析式;（2）已知是函数的导函数.若数列的通项,求其前项和;若在其定义域内为增函数,求实数的取值范围.2.已知函数的导数为,且数列满足).（1）若数列是等差数列,求的值:（2）若对任意,都有成立,求的取值范围.3.奇函数,且当时,有最小值,又.（1）求的表达式;（2）正整数列中,,求数列的通项公式;（3）对（2）中的数列,若,求函数在处的导数,并比较与的大小.4.已知函数是函数的导函数,数列满足条件:（1）猜想与的大小关系,并用数学归纳法证明你的结论;（2）证明:.5.某财团欲投资一新型产品的批量生产,预计该产品的每日生产总成本价格(单位:万元)是每日产量(单位:吨)的函数:.（1）求当日产量为3吨时的边际成本(即生产过程中一段时间的总成本对该段时间产量的导数);（2）记每日生产平均成本为,求证:;（3）若财团每日注人资金可按数列(单位:亿元)递减,连续注人60天,求证:这60天的总投人资金大于亿元.6.设为函数的导数,对任意,都有且.（1）求证:函数有唯一零点;（2）若数列满足且,证明:且数列为单调递减数列.7.已知函数在处取得极值.（1）求实数的值及的最大值;（2）若是单调函数,数列满足:,试证明数列为递增数列;（3）设,证明:.8.已知数列满足:,设数列的前项和为.证明:（1）;（2）;（3）.9.已知数列满足（1）判断数列的单调性;（2）证明:;（3）证明:.10.已知数列满足.记,设数列的前项和为,证明:当时,（1）;（2）;（3）.11.数列中,为数列的前项和,且满足).（1）求的通项公式;（2）求证:;（3）令,证明:.12.已知数列满足:.（1）,求证:;（2）,试确定一个首项,使得数列为单调数列,并证明你的结论;（3）,若对一切,都有,求的取值范围.13.已知函数在其定义域内有两个不同的极值点.（1）求的取值范围;（2）证明:.14