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第4讲导数与数列不等式知识与方法导数与数列型不等式的交汇问题,主要用到两个方面的知识点:第一,学生要学会找到不等式右边和的通项;第二,要学会运用放缩比较不等式左边的通项与右边的通项的大小.我们通过几道例题来给大家讲解.数列不等式常用通项求法有如下两种:为通项,为前项和为通项,为前项积导数常见放缩技巧: 典型例题【例1】设函数,其中是的导函数.(1),求的表达式;（2）若恒成立,求实数的取值范围;（3）设,比较与的大小,并加以证明.【解析】,.综上,.(2).令,易知,则.当时,在上恒成立,∴在上单调递增,,满足条件;当时,令,解得,令,解得.于是在上单调递减,在上单调递增,∴,与题设矛盾,综上可知.(3),证明:要证,只需证.在(2)中取,可得,令,则,故有,上述各式相加可得.【例2】已知函数.(1)若函数在上为增函数,求实数的取值范围;(2)当且时,证明:.【解析】(1)实数的取值范围为.(2)证明:由(1)知,令,则在上为增函数,,即,当且仅当时取等号.要证明,只需证.在中取,有,则;在中取,易知,则.综上可知成立,则原命题成立.【例3】已知函数.(1)求函数的单调区间;(2)求证:.【解析】(1)由于,①当时,易知,当时,,当时,;所以的单调递增区间为,递减区间为;②当时,同理可知的单调递减区间为,递增区间为;(2)证明:要证成立;只须证即证下面证明此式.令此时,所以,由(1)知在上单调递减,∴当时,即,∴对一切成立,∵.故结论成立.强化训练1.已知.(1)若,求在上的最大值与最小值;(2)当时,求证：;(3)当且时,求证:.【解析】∴在上单调递减,在上单调递增.∵,∴在上的最大值为,最小值为.（2）证明:函数的定义域为,构造函数,∴函数在上单调递增,在上单调递减,∴在处,函数取得极大值,也就是最大值,∴0.∵构造函数,∴函数在上单调递减,在上单调递增,∴在处,函数取得极小,也就是最小值,∴,∵.(3)证明:∵,由(2)知:,∴.叠加可得.2.已知函数.(1)求函数的单调区间;(2)若不等式在区间上恒成立,求实数的取值范围;(3)求证：.【解析】(1)∵,故其定义域为,∴,令,解得,令,解得.故函数的单调递增区间为,单调递减区间为.（2）∵,令,令,解得,当在(0,内变化时,的变化如下表：由表知,当时函数有最大值,且最大值为,所以实数的取值范围是.(3)证明:由(2)知 3.已知函数.(1)当时,求函数的单调区间;(2)当时,函数图象上的点都在所表示的平面区域内,求实数的取值范围;(3)求证:(其中,e是自然数的底数)【解析】(1)当时,,有,由解得,由解得:函数的单调递增区间是,单调递减区间是;(2)当时,函数的图象上的点都在所表示的平面区域内,即当,时,不等式恒成立,即恒成立,设,只需即可,.①当时,,当时,,函数在上单调递减,∴成立.②当时,由,因.若,即时,在区间上,,函数在上单调递增,函数在上无最大值,此时不满足;若,即时,函数在上单调递减,在区间上单调递增,同样函

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