二元二次多项式的因式分解

形如Ax1IBxy-1Cy?'vDx-^Ey-iF的二元二次多项式的因式分解分解形如Ax1IBxy\Cy?'vDx-^Ev^-F的多项式，常用的方法有：求根法、待定系数法、双十字相乘法和双零分解法。当然结合多项式的特点可以采用灵活的方法，如若已知它的一个因式，可用分析二次项和常数项的方法，较容易的求得。现举例说明：方法一、求根法利用求根法因式分解，形如Ax1IBxy\Cy?'vDx-^Ey^-F的二元二次多项式可看成关于x（或y）的一元二次多项式。用求根公式求出两根1]q'z，则原式=』（工一而《工一明）。在实数范围内，原多项式分解成两个一次因式，必须是关于尤的方程的判别式是y的一次式的完全平方式，为此这个判别式的判别式必须是0。例1、a为何值时，6x2-xv-2v'\ay-6能分解成两个一次式的乘积，并进行分解。分析：把上面的多项式看成的一元二次式，令这个一元二次式为0,解出

的两个值，则原式=6（X-叫廊―叼），这里只须研究何值时，的一次式即可。解：设6/-xy-2的两个值，则原式=6（X-叫廊―叼），这里只须研究何值时，的一次式即可。解：设6/-xy-2v'\ay-b=0,把此式看成关于的一元二次方程，则该方程的判别式：A二尸一24（-2y2+瑚一6）二49j2-24时■+144要使方程的解为的一次式，必须为完全平方式A那么判别式的判别式必须是零。A1(24i?y-4x24x144-2.42(ct2-49)—0

a=±7（1）、当时，由6jc2-xy-2y2t邛-6=0解得则原式=（3x-2y-3）（2x+y+2）（2）、当时，由6.y?_xy— _7y『6=0解得则原式=（3x-2j，-3）（2x+j：+2）练习：把x?-8xy-i15y2-6x+22y十8分解因式答案：原式=（x-3y-2）（工一5/-4）方法二：待定系数法用待定系数法因式分解的一般步骤：1、根据多项式的特点，确定所能分解成的形式。要尽量减少待定系数的个数，以利求解。2、利用多项式恒等定理，列出以待定系数为未知数的方程或方程组。3、解方程组，如方程或方程组有解，则原式可以分解为所设的形式；如果无解，则原方程组不能分解为所设的形式。如果方程组有解，把解得的待定系数的数值代入所设的分解式中。例2、为何值时，多项式2x2"轲I3y2-5y-2可分解为两个一次因式的积。分析：先设可分解成两个一次式，原式中的XV的项未知系数。为使待定系数尽量少，可先考虑3v?—5v-2=（y_2工3,+1），所以可设：原式=，也可以先考虑，所以可设：原式=（2xt咐十2）（工十叫一1），这里只解前者。解：设abx?f(3qI&肉I力'Iabx?t(XIi-3y2I(g2b)x-5y-2由两边对应项系数相等得：

ab=243b+丁一k

a-2b=0，解此方程组得a—2M=]k-1V>V>=—Ik=-7.••当时，原式可分解为k=n2x2.••当时，原式可分解为k=n2x2卜hy-i3y2-Sy—2(2x+j-2Xx+3y+l)当时，原式可分解为k——72x2卜kxy-i3y*-q(一2jc十*一2，一却十3F卜1)练习:为何值时，能分解成两个一次式的乘积6x能分解成两个一次式的乘积6x7 \ay-b并进行分解。答案：解得w=-3〈性=2口=一7・•・原式可分解为6x7—9—2尸\ay-b（3厂2p-3）（2"j：+2）说明：上面方法是常用的两种方法，特别是求待定系数很有效；不含待定系数的也可用双十字相乘法。方法三、双十字相乘法双十字相乘法即运用两次十字相乘法，第一次运用十字相乘法将多项式中的二次齐次式分解因式，然后再运用一次十字相乘法。其理论依据：若Ax1IBxy\Cy?'vDx-^Ey^-F可分解为鼻+如+《）（次+即+/），则当 时，Ax1\Bxy\Cy?'vDx-^Ey^-F+ty-（ox+切）（击上勺^）例3、把x'I2决一3］厂—7y+6分解因式。解：可先用十字相乘法，把x2t2xy-3y2分解，a 3yx -y，然后再用十字相乘法XxI3y-2x-y-3，于是原式=（x+3y-2）（x-F-3）O练习：分解因式2x2-I i-5y+6答案：原式=（2"3¥+2廊-2川3）方法四、双零分解法理论依据：若Ax1Cy?vDxa£y+F可分解为｛心十颜+c）（祈卜《？*/），则当 ’’TTJ时有Ax''+阮+（：y?+f）x+Av+F二.孜'+I）x+打二（ar+以义+f）；当x=0时有Ax2+Bxy++LU+Ey+F=（：y-4-Ey+F=（妣+ +/）。因此在分解上述二元二次多项式时，可令TTJ。因此在分解上述二元二次多项式时，可令TTJ得关于X的二次三项式Ax1Dx\F分解为（吹+c）（£ir+/）；再令x一0得关于y的二次三项式Cy7\Ey-\F并分解为伽"炀+/）；注意这里两分解式中的常数项应相同，如果不同就要变形使其相同。这时有Ax?IBxyTCy?'IDx+£yFF鼻+如+2（次+即+/）例4、分解因式6jc2+13xy+5y7+7x+7j+2解：令.P=Q6jc3+13xy+5y7+7x+7j+26j^+7jc+2—（2e+1）（3jt+2）6jc2十13xy+5y7+7x+7j+25"斗7p+2—（y+l）（5y+2）所以有6jc3+13xy+5y7+7x+7j+2(2x¥y+\)(3x+Sy+2)练习：分解因式jc2十打一6『十2工十11u-3答案：原式=(r-2y+3)(x+3y-1)方法五：分析二次项、常数项法若已知它的一个因式，可用分析二次项和常数项的方法，较容易的求得。例5、若多项式『十2彩一8『I2工十14y-3有一个因式jc-2v+3，则另一个因式为。解：由于多项式虹+2*-8,/卜2工+14}'-3有一个因式x—2y+3，且原式二次项中含有和，所以另一个因式中必有一