固体物理学例题课件

补充例题03

试做出简单立方晶格、面心立方晶格和体心立方晶格的维格纳—塞茨原胞(Wingner-Seitz)

WS原胞——由某一个格点为中心做出最近各点和次近各点连线的中垂面——这些包围的空间为维格纳—塞茨原胞补充例题03试做出简单立方晶格、面心立方晶格和补充例题03试做出简单立方晶格、面心立方晶格和补充例题01

做出石墨烯Graphene的原胞Graphene(石墨烯)的两种原胞取法，每个原胞有2个碳原子Graphene补充例题01做出石墨烯Graphene的原胞Gr补充例题01做出石墨烯Graphene的原胞Gr补充例题02

做出石墨Graphite的原胞

石墨原胞取法，每层2个原子，取两层原胞有4个碳原子GraphiteA层B层补充例题02做出石墨Graphite的原胞石墨补充例题02做出石墨Graphite的原胞石墨简单立方的WS原胞——原点和6个近邻格点连线的垂直平分面围成的立方体简单立方的WS原胞——原点和6个近邻格点连线的垂直平分面围成简单立方的WS原胞——原点和6个近邻格点连线的垂直平分面围成面心立方晶格的WS原胞——为原点和12个近邻格点连线的垂直平分面围成的正十二面体

面心立方晶格的WS原胞——为原点和12个近邻格点连线的垂直面心立方晶格的WS原胞——为原点和12个近邻格点连线的垂直体心立方的WS原胞——为原点和8个近邻格点连线的垂直平分面围成的正八面体，和沿立方轴的6个次近邻格点连线的垂直平分面割去八面体的六个角，形成的14面体（截角八面体）其中八个面是正六边形，六个面是正四边形

体心立方的WS原胞——为原点和8个近邻格点连线的垂直平分面围体心立方的WS原胞——为原点和8个近邻格点连线的垂直平分面围习题1.2习题1.1习题1.3晶格常数为a的简立方晶格，与正格矢R正交的晶面族指数是什么？晶面间距d是？习题1.4绘画石墨烯的普通原胞和WS原胞习题1.2习题1.1习题1.3晶格常数为a的简立方晶格，习题1.2习题1.1习题1.3晶格常数为a的简立方晶格，a1a2a3-a3-a2-a1四指数晶向指数，取与坐标轴的垂直截距，而非平行四边形截距。[1,0,-1,0]a1a2-a2-a1[1,1/2,0]

[2,1,0]三指数晶向指数取与坐标轴的平行四边形截距(坐标)。（为取指数方便，例子中红色的晶向的表示矢量可以任意伸缩）六角晶格特殊的晶面指数表示

a1a2a3-a3-a2-a1四指数晶向指数，取与坐标a1a2a3-a3-a2-a1四指数晶向指数，取与坐标习题1.7证明：体心立方晶格的倒格子是面心立方；面心立方晶格的倒格子是体心立方。习题1.8

证明：倒格子矢量垂直于密勒指数为(h1h2h3)的晶面系。习题1.6(试用倒格矢关系证明)习题1.5计算二维六角的倒格子基矢，画出其1BZ习题1.7证明：体心立方晶格的倒格子是面心立习题1.7证明：体心立方晶格的倒格子是面心立习题二提示1)：提示2)：习题二提示1)：提示2)：习题二提示1)：提示2)：习题二提示1)：提示2)：双原子链：M=m:得到等质量一维双原子链：

双原子链：M=m:得到等质量一维双原子链：双原子链：M=m:得到等质量一维双原子链：等质量一维双原子链：

一维单原子链：

等价性？等质量一维双原子链相当于取单原子链原胞两倍为晶胞，对应1BZ大小减半，单原子链超出部分的色散曲线折叠入1BZ成为光学支，保持1BZ总格波模式为“N=原子数”-----------这也是为什么使用原胞概念.等质量一维双原子链：一维单原子链：等价性？等质量一维等质量一维双原子链：一维单原子链：等价性？等质量一维练习3.1解释概念格波色散关系声子练习3.1解释概念练习3.1解释概念练习3.1解释概念几种简单情况下振动模式密度的表示

例1：计算一维单原子链的振动模式密度。—最大频率振动模式密度定义：一维情况下每个波矢占据宽度单位长度里的波矢密度：dq长度里的波矢数：几种简单情况下振动模式密度的表示例1：计算一维单原子几种简单情况下振动模式密度的表示例1：计算一维单原子考虑到一个频率可以有两个值振动模式密度考虑到一个频率可以有两个值振动模式密度考虑到一个频率可以有两个值振动模式密度考虑到一维单原子链的振动模式密度一维单原子链的振动模式密度一维单原子链的振动模式密度一维单原子链的振动模式密度类似的，一维双原子链的振动模式密度类似的，一维双原子链的振动模式密度类似的，一维双原子链的振动模式密度类似的，一维双几种简单情况下振动模式密度的表示

例2：计算三维长声学波在弹性波近似下的振动模式密度。其中弹性波色散关系，由于波速(色散关系)与传播方向q无关，故在q空间等频面为球面，球壳体积：弹性波态密度呈现抛物线形。10/36直接由态密度定义，dn=密度*体积1.几种简单情况下振动模式密度的表示例2：计算三维长声学几种简单情况下振动模式密度的表示例2：计算三维长声学由于波速(色散关系)与传播方向q无关，故在q空间等频面为球面，ds积分即该球面面积：于是：方法2.直接利用公式：由于波速(色散关系)与传播方向q无关，故在q空间等频面为球面由于波速(色散关系)与传播方向q无关，故在q空间等频面为球面固体物理教程--王矜奉习题3.10习题3.1固体物理教程--王矜奉习题3.10习题3.1固体物理教程--王矜奉习题3.10习题3.1固体物理教程色散关系没有方向性(qx,qy

无区分),等频率面在二维情况下为圆环，圆环周长为：

例3：

N个相同原子组成二维简单晶格，面积为S，用徳拜模型计算比热,证明其低温下与T2正比。证：徳拜模型使用弹性波近似，色散关系为w=vq。qxqyq二维晶格有两支格波，一支横波、一支纵波，速度分别为vL,vT。令色散关系没有方向性(qx,qy无区分),等频率面在二维情色散关系没有方向性(qx,qy无区分),等频率面在二维情先确定德拜频率wD：热容表示为，二维格波总模式数2N,把态密度和德拜频率wD带入热容公式：做变量代换,先确定德拜频率wD：热容表示为，二维格波总模式数2N先确定德拜频率wD：热容表示为，二维格波总模式数2N热容表示为，高温时

，对积分内只保留x的一阶小量,

与经典热容理论一致.低温时

，热容与温度平方成正比.热容表示为，高温时，对积分内只保留x的一阶小量,热容表示为，高温时，对积分内只保留x的一阶小量,固体物理教程--王矜奉习题3.10习题3.2其中ds为该支格波的等频面，由于题中色散关系没有方向性，故为球面：推广可以证明：如果色散关系提示：二维三维一维固体物理教程--王矜奉习题3.10习题3.2其中ds为固体物理教程--王矜奉习题3.10习题3.2其中ds为习题3.3对一维简单晶格(一维单原子链)，按照徳拜模型，求晶格热容；并证明高温热容为常数NkB,低温热容正比于T。固体物理教程--王矜奉习题3.13注：徳拜模型即使用弹性波近似，色散关系为w=vq。习题3.3对一维简单晶格(一维单原子链)，按照徳拜习题3.3对一维简单晶格(一维单原子链)，按照徳拜色散关系没有方向性(qx,qy

无区分),等频率面在二维情况下为圆环，圆环周长为：

例3：

N个相同原子组成二维简单晶格，面积为S，用徳拜模型计算比热,证明其低温下与T2正比。证2：徳拜模型使用弹性波近似，色散关系为w=vq。qxqyq色散关系没有方向性(qx,qy无区分),等频率面在二维情色散关系没有方向性(qx,qy无区分),等频率面在二维情二维简单晶格共有2支格波：二维简单晶格共有2支格波：二维简单晶格共有2支格波：二维简单晶格共有2支格波：

例1：分别以定义和态密度计算自由电子的0K费米能。

方法1电子浓度例1：分别以定义和态密度计算自由电子的0K费米能。例1：分别以定义和态密度计算自由电子的0K费米能。方法2E到E+dE间电子数总电子数方法2E到E+dE间电子数总电子数方法2E到E+dE间电子数总电子数习题：证明二维自由电子的态密度(除以单位面积)为常数;一维自由电子的态密度(除以单位长度)~E-1/2；（并求出各自费米面处态密度）习题：证明习题：证明习题：证明自由电子模型，温度T下电子满足:TESTtest

例1：分别以定义和态密度计算自由电子的0K费米能。

TEST自由电子模型，温度T下电子满足:TEST例1：分别自由电子模型，温度T下电子满足:TEST例1：分别

例题1计算一维单原子链的紧束缚能带

(L=na)对于中心原子，只考虑左右近邻，Rs=±a利用具有相同的值例题1计算一维单原子链的紧束缚能带(L=na例题1计算一维单原子链的紧束缚能带(L=nak=0k=0k=0k=0

例题2计算简单立方晶格中由原子s态形成的能带

s态的波函数是球对称的，在各个方向重叠积分相同,

对于不同方向的近邻，有相同的值具有相同的值s态波函数为偶宇称能量本征值例题2计算简单立方晶格中由原子s态形成的能带例题2计算简单立方晶格中由原子s态形成的能带补充例题03

试做出简单立方晶格、面心立方晶格和体心立方晶格的维格纳—塞茨原胞(Wingner-Seitz)

WS原胞——由某一个格点为中心做出最近各点和次近各点连线的中垂面——这些包围的空间为维格纳—塞茨原胞补充例题03试做出简单立方晶格、面心立方晶格和补充例题03试做出简单立方晶格、面心立方晶格和补充例题01

做出石墨烯Graphene的原胞Graphene(石墨烯)的两种原胞取法，每个原胞有2个碳原子Graphene补充例题01做出石墨烯Graphene的原胞Gr补充例题01做出石墨烯Graphene的原胞Gr补充例题02

做出石墨Graphite的原胞

石墨原胞取法，每层2个原子，取两层原胞有4个碳原子GraphiteA层B层补充例题02做出石墨Graphite的原胞石墨补充例题02做出石墨Graphite的原胞石墨简单立方的WS原胞——原点和6个近邻格点连线的垂直平分面围成的立方体简单立方的WS原胞——原点和6个近邻格点连线的垂直平分面围成简单立方的WS原胞——原点和6个近邻格点连线的垂直平分面围成面心立方晶格的WS原胞——为原点和12个近邻格点连线的垂直平分面围成的正十二面体

面心立方晶格的WS原胞——为原点和12个近邻格点连线的垂直面心立方晶格的WS原胞——为原点和12个近邻格点连线的垂直体心立方的WS原胞——为原点和8个近邻格点连线的垂直平分面围成的正八面体，和沿立方轴的6个次近邻格点连线的垂直平分面割去八面体的六个角，形成的14面体（截角八面体）其中八个面是正六边形，六个面是正四边形

体心立方的WS原胞——为原点和8个近邻格点连线的垂直平分面围体心立方的WS原胞——为原点和8个近邻格点连线的垂直平分面围习题1.2习题1.1习题1.3晶格常数为a的简立方晶格，与正格矢R正交的晶面族指数是什么？晶面间距d是？习题1.4绘画石墨烯的普通原胞和WS原胞习题1.2习题1.1习题1.3晶格常数为a的简立方晶格，习题1.2习题1.1习题1.3晶格常数为a的简立方晶格，a1a2a3-a3-a2-a1四指数晶向指数，取与坐标轴的垂直截距，而非平行四边形截距。[1,0,-1,0]a1a2-a2-a1[1,1/2,0]

[2,1,0]三指数晶向指数取与坐标轴的平行四边形截距(坐标)。（为取指数方便，例子中红色的晶向的表示矢量可以任意伸缩）六角晶格特殊的晶面指数表示

a1a2a3-a3-a2-a1四指数晶向指数，取与坐标a1a2a3-a3-a2-a1四指数晶向指数，取与坐标习题1.7证明：体心立方晶格的倒格子是面心立方；面心立方晶格的倒格子是体心立方。习题1.8

证明：倒格子矢量垂直于密勒指数为(h1h2h3)的晶面系。习题1.6(试用倒格矢关系证明)习题1.5计算二维六角的倒格子基矢，画出其1BZ习题1.7证明：体心立方晶格的倒格子是面心立习题1.7证明：体心立方晶格的倒格子是面心立习题二提示1)：提示2)：习题二提示1)：提示2)：习题二提示1)：提示2)：习题二提示1)：提示2)：双原子链：M=m:得到等质量一维双原子链：

双原子链：M=m:得到等质量一维双原子链：双原子链：M=m:得到等质量一维双原子链：等质量一维双原子链：

一维单原子链：

等价性？等质量一维双原子链相当于取单原子链原胞两倍为晶胞，对应1BZ大小减半，单原子链超出部分的色散曲线折叠入1BZ成为光学支，保持1BZ总格波模式为“N=原子数”-----------这也是为什么使用原胞概念.等质量一维双原子链：一维单原子链：等价性？等质量一维等质量一维双原子链：一维单原子链：等价性？等质量一维练习3.1解释概念格波色散关系声子练习3.1解释概念练习3.1解释概念练习3.1解释概念几种简单情况下振动模式密度的表示

例1：计算一维单原子链的振动模式密度。—最大频率振动模式密度定义：一维情况下每个波矢占据宽度单位长度里的波矢密度：dq长度里的波矢数：几种简单情况下振动模式密度的表示例1：计算一维单原子几种简单情况下振动模式密度的表示例1：计算一维单原子考虑到一个频率可以有两个值振动模式密度考虑到一个频率可以有两个值振动模式密度考虑到一个频率可以有两个值振动模式密度考虑到一维单原子链的振动模式密度一维单原子链的振动模式密度一维单原子链的振动模式密度一维单原子链的振动模式密度类似的，一维双原子链的振动模式密度类似的，一维双原子链的振动模式密度类似的，一维双原子链的振动模式密度类似的，一维双几种简单情况下振动模式密度的表示

例2：计算三维长声学波在弹性波近似下的振动模式密度。其中弹性波色散关系，由于波速(色散关系)与传播方向q无关，故在q空间等频面为球面，球壳体积：弹性波态密度呈现抛物线形。10/36直接由态密度定义，dn=密度*体积1.几种简单情况下振动模式密度的表示例2：计算三维长声学几种简单情况下振动模式密度的表示例2：计算三维长声学由于波速(色散关系)与传播方向q无关，故在q空间等频面为球面，ds积分即该球面面积：于是：方法2.直接利用公式：由于波速(色散关系)与传播方向q无关，故在q空间等频面为球面由于波速(色散关系)与传播方向q无关，故在q空间等频面为球面固体物理教程--王矜奉习题3.10习题3.1固体物理教程--王矜奉习题3.10习题3.1固体物理教程--王矜奉习题3.10习题3.1固体物理教程色散关系没有方向性(qx,qy

无区分),等频率面在二维情况下为圆环，圆环周长为：

例3：

N个相同原子组成二维简单晶格，面积为S，用徳拜模型计算比热,证明其低温下与T2正比。证：徳拜模型使用弹性波近似，色散关系为w=vq。qxqyq二维晶格有两支格波，一支横波、一支纵波，速度分别为vL,vT。令色散关系没有方向性(qx,qy无区分),等频率面在二维情色散关系没有方向性(qx,qy无区分),等频率面在二维情先确定德拜频率wD：热容表示为，二维格波总模式数2N,把态密度和德拜频率wD带入热容公式：做变量代换,先确定德拜频率wD：热容表示为，二维格波总模式数2N先确定德拜频率wD：热容表示为，二维格波总模式数2N热容表示为，高温时

，对积分内只保留x的一阶小量,

与经典热容理论一致.低温时

，热容与温度平方成正比.热容表示为，高温时，对积分内只保留x的一阶小量,热容表示为，高温时，对积分内只保留x的一阶小量,固体物理教程--王矜奉习题3.10习题3.2其中ds为该支格波的等频面，由于题中色散关系没有方向性，故为球面：推广可以证明：如果色散关系提示：二维三维一维固体物理教程--王矜奉习题3.10习题3.2其中ds为固体物理教程--王矜奉习题3.10习题3.2其中ds为习题3.3对一维简单晶格(一维单原子链)，按照徳拜模型，求晶格热容；并证明高温热容为常数NkB,低温热容正比于T。固体物理教程--王矜奉习题3.13注：徳拜模型即使用弹性波近似，色散关系为w=vq。习题3.3对一维简单晶格(一维单原子链)，按照徳拜习题3.3对一维简单晶格(一维单原子链)，按照徳拜色散关系没有方向性(qx,qy

无区分),等频率面在二维情况下为圆环，圆环周长为：

例3：

N个相同原子组成二维简单晶格，面积为S，用徳拜模型计算比热,