第七章-计数原理章末测试解析版

7.6章末测试一、单选题（每题5分，共60分）1．（2020·全国高三专题练习）的展开式中的系数为（）A．10 B．20 C．40 D．80【答案】C【解析】根据二项式定理展开式通项为则令解得则故选:C2．（2020·全国高三专题练习）已知的展开式的第项等于，则等于（）A． B． C． D．【答案】B【解析】根据二项式定理展开式通项为所以第4项为即解得故选:B3．（2020·北京高三期末）在的展开式中，常数项是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】的展开式的通项公式为，令，则，故常数项为，故选：C.4．（2020·浙江高三专题练习）3男2女共5名同学站成一排合影，则2名女生相邻且不站两端的概率为（）A． B． C． D．【答案】B【解析】：3男2女共5名同学站成一排合影，

基本事件总数，

2名女生相邻且不站两端包含的基本事件个数，

∴2名女生相邻且不站两端的概率为．

故选：B．5．（2020·浙江高三专题练习）已知，则（）A． B． C． D．【答案】D【解析】因为第三项为所以故选：D.6．（2020·浙江高三专题练习）若展开式的所有二项式系数之和为32，则该展开式的常数项为（）A．10 B．-10 C．5 D．-5【答案】A【解析】由二项式系数之和为32，即，可得，展开式的常数项：；令，可得．可得常数项为：，故选A．7．（2020·浙江高三专题练习）若二项式的展开式中各项的系数和为243，则该展开式中含x项的系数为（）A．1 B．5 C．10 D．20【答案】C【解析】对令得，解得.二项式展开式的通项公式为，令，解得，故展开式中含x项的系数为.故选：C.8．（2020·浙江高三专题练习）（1+2x2）（1+x）4的展开式中x3的系数为A．12 B．16 C．20 D．24【答案】A【解析】由题意得x3的系数为，故选A．9．（2020·浙江高三专题练习）元旦晚会期间，高三二班的学生准备了6个参赛节目，其中有2个舞蹈节目，2个小品节目，2个歌曲节目，要求歌曲节目一定排在首尾，另外2个舞蹈节目一定要排在一起，则这6个节目的不同编排种数为A．48 B．36 C．24 D．12【答案】C【解析】分步进行：①歌曲节目排在首尾，有种排法.②将个小品节目安排在歌曲节目的中间，有种排法.③排好后，个小品节目与个歌曲节目之间有3个空位，将个舞蹈节目全排列，安排在中间的个空位，有种排法.则这个节目出场的不同编排种数为种，故选C.10．（2020·浙江高三专题练习）用数字0，1，2，3，4，5可以组成没有重复数字的四位奇数的个数是（）A．72 B．144 C．150 D．180【答案】B【解析】根据题意，符合奇数的个位数字只能从1，3，5中选取，组成没有重复数字的四位奇数分三步；第一步，排个位，共有种方法；第二步，排千位，共有种方法；第三步，排百、十位，共有种方法；所以，可组成个四位奇数，故答案选B。11．（2020·浙江高三专题练习）为庆祝中国人民解放军建军90周年，南昌市某校打算组织高一6个班级参加红色旅游活动，旅游点选取了八一南昌起义纪念馆，南昌新四军军部旧址等5个红色旅游景点．若规定每个班级必须参加且只能游览1个景点，每个景点至多有两个班级游览，则这6个班级中没有班级游览新四军军部旧址的不同游览方法数为（）A．3600 B．1080 C．1440 D．2520【答案】C【解析】由于每个班级必须参加且只能游览个景点，且每个景点至多有两个班级游览，因此可以把问题看成是将个班级分配到除新四军军部旧址外的四个景点或三个景点，可以分两种情况：第一种，先将个班级分成四组，分别为再分配到四个景点，不同的参观方法数为：种第二种，将人平均分成三组，在分配到除新四军军部旧址外的四个景点的任意三个景点，不同的参观方法数为：种由上可知，不同的参观方法数共有种故选12．（2020·全国高三专题练习）某学校有5位教师参加某师范大学组织的暑期骨干教师培训，现有5个培训项目，每位教师可任意选择其中一个项目进行培训，则恰有两个培训项目没有被这5位教师中的任何一位教师选择的情况数为（）A．5400种 B．3000种 C．150种 D．1500种【答案】D【解析】分两步：第一步从5个培训项目中选取三个，共种情况；第二步5位教师分成两类：一类：1人，1人，3人，共种情况；一类：1人，2人，2人，共种情况；故情况数为：1500故选：D二、填空题（每题5分，共20分）13．（2019·吉林省实验高二期末（理））已知，则_____．【答案】【解析】令得：，令得：，.14．（2016·上海师大附中高三）设为的最大值，则二项式展开式中含项的系数是.【答案】【解析】由题意设为的最大值，则二项式展开式中含项的系数是.因为为的最大值所以代入到二项式中，得，其第项为含项，则其系数是15．（2017·上海高三）从单词“”中任意选取4个不同的字母排成一排，则其中含有“”的共有_____种排法．（用数字作答）【答案】【解析】根据题意从单词“”中任意选取4个不同的字母,必须在，因此从剩下的个字母中选个与一起排列，共有(种).故答案为：.16．（2020·全国高三专题练习）的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中含项的系数为________.【答案】－48【解析】令,代入可得因为展开式中各项系数的和为2则,则所以根据二项式定理展开式通项为则展开式的通项为因为的展开式中含项即为展开式中含或的项当展开式中含的项时,则,即,所以含的项的系数为当展开式中含的项时,则,即,所以含的项的系数为所以含项的系数为故答案为:三、解答题（17题10分，其余每题12分，共70分）17．（2020·全国高三专题练习）在某大型活动中，甲、乙等五名志愿者被随机地分到A，B，C，D四个不同的岗位服务，每个岗位至少有一名志愿者.(1)求甲、乙两人同时参加A岗位服务的概率；(2)求甲、乙两人不在同一个岗位服务的概率；(3)求五名志愿者中仅有一人参加A岗位服务的概率.【答案】(1)(2)(3)【解析】(1)记“甲、乙两人同时参加A岗位服务”为事件EA，那么，即甲、乙两人同时参加A岗位服务的概率是；(2)记“甲、乙两人同时参加同一岗位服务”为事件E，那么，所以甲、乙两人不在同一岗位服务的概率是P()＝1－P(E)＝；(3)因为有两人同时参加A岗位服务的概率，所以仅有一人参加A岗位服务的概率P1＝1－P2＝.18．（2018·上海市第二工业大学附属龚路中学高三月考）若，求（1）；（2）展开式中各项的二项式系数之和；（3）求a0+a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7的值；（4）a0+a2+a4+a6的值.【答案】(1);(2);(3);(4)【解析】(1)令则,故(2)二项式系数之和为(3)令有,故(4)令有,令有.即,相加除以2有19．（2019·湖南高二期中（理））用0，1，2，3，4这五个数字组成无重复数字的自然数．（Ⅰ）在组成的三位数中，求所有偶数的个数；（Ⅱ）在组成的三位数中，如果十位上的数字比百位上的数字和个位上的数字都小，则称这个数为“凹数”，如301，423等都是“凹数”，试求“凹数”的个数；（Ⅲ）在组成的五位数中，求恰有一个偶数数字夹在两个奇数数字之间的自然数的个数．【答案】（Ⅰ）共有30个符合题意的三位偶数。（Ⅱ）共有20个符合题意的“凹数（Ⅲ）共有28个符合题意的五位数【解析】（1）将所有的三位偶数分为两类：（i）若个位数为，则共有（个）；（ii）若个位数为或，则共有（个），所以，共有个符合题意的三位偶数．（2）将这些“凹数”分为三类：（i）若十位数字为，则共有（个）；（ii）若十位数字为，则共有（个）；（iii）若十位数字为，则共有（个），所以，共有个符合题意的“凹数”．（3）将符合题意的五位数分为三类：（i）若两个奇数数字在一、三位置，则共有（个）；（ii）若两个奇数数字在二、四位置，则共有（个）；（iii）若两个奇数数字在三、五位置，则共有（个），所以，共有个符合题意的五位数．20．（2019·山西高二月考（理））（请写出式子再写计算结果）有4个不同的小球，4个不同的盒子，现在要把球全部放入盒内：（1）共有多少种方法？（2）若每个盒子不空，共有多少种不同的方法？（3）恰有一个盒子不放球，共有多少种放法？【答案】（1）256（2）（3）【解析】（1）每个球都有4种方法，故有4×4×4×4＝256种，（2）每个盒子不空，共有不同的方法，（3）四个不同的小球放入编号为1，2，3，4的四个盒子中，恰有一个空盒，说明恰有一个盒子中有2个小球，从4个小球中选两个作为一个元素，同另外两个元素在三个位置全排列，故共有种不同的放法．21．（2019·无锡市第一中学高二期中（理））二项式．（1）当a=b=1，n=6时，求①a1+a2+a3+…+an的值；②a1+2a2+3a3+…+nan的值；（2）当时，求的值．【答案】（1）①63②192（2）256【解析】（1）若a=b=1，n=6时，二项式为（1+x）6．①令x=0，则a0=1，令x=1，则a0+a1+a2+a3+…+an=26=64．即a1+a2+a3+…+an=64-1=63．

②（1+x）6=a0+a1x+a2x2+a3x3+…+a6x6，对x求导数得6（1+x）5=a1+2a2x+3a3x2+…+6a6x5，令x=1得6×25=a1+2a2+3a3+…+6a6=192．（2）当时，（x-）8=a0+a1x+a2x2+a3x3+…+a8x8，令x=1得，（1-）8=a0+a1+a2+a3+…+a8，令x=-1得，（-1-）8=a0-a1+a2-a3+…+a8，则=（a0+a1+a2+a3+…