电磁场与电磁波例题详解

电磁场与电磁波例题详解电磁场与电磁波例题详解电磁场与电磁波例题详解实用标准第1章矢量解析例1.1求标量场(xy)2z经过点M(1,0,1)的等值面方程。解：点M的坐标是x01,y00,z01，则该点的标量场值为(x0y0)2z00。其等值面方程为：(xy)2z0或z(xy)2例1.2求矢量场Aaxxy2ayx2yazzy2的矢量线方程。解：矢量线应知足的微分方程为：dxdydzxy2x2yy2zdxdy进而有xy2x2ydxdzxy2y2z解之即得矢量方程zc1x，c1和c2是积分常数。x2y2c2例1.3求函数xy2z2xyz在点（1，1，2）处沿方向角3,4,的方向导数。3解：由于M(1,1,2)y2yzM(1,1,2)1,xyM(1,1,2)2xyxzM(1,1,2)0,zM(1,1,2)2zxyM(1,1,2)3,cos1,cos2,cos1222文档所以l

M

实用标准coscoscos1xyz例1.4求函数xyz在点(5,1,2)处沿着点(5,1,2)到点(9,4,19)的方向导数。解：点(5,1,2)到点(9,4,19)的方向矢量为lax(95)ay(41)az(192)ax4ay3az17其单位矢量laxcosaycosazcos437axayaz314314314x(5,1,2)yz(5,1,2)2,y(5,1,2)xz(5,1,2)10,z(5,1,2)xy(5,1,2)5所求方向导数l

M

coscoscos123lxyz314例1.5已知x22y23z2xy3x2y6z，求在点(0,0,0)和点(1,1,1)处的梯度。解：由于ax(2xy3)ay(4yx2)az(6z6)所以(0,0,0)ax3ay2az6，(1,1,1)ax6ay3例1.6运用散度定理计算下列积分：I[axxz2ay(x2yz3)az(2xyy2z)]dSSS是z0和za2x2y2所围成的半球地区的外表面。2解：设：Aaxxz2ay(x2yz3)az(2xyy2z)文档实用标准则由散度定理AdAdSs可得IAdSAd(z2x2y2)dr2ds22a4rsindrdd0002d2sinda4dr0r00a5例1.7试求A和A:(1)Aaxxy2z3ayx3zazx2y2(2)A(r,,z)arr2cosazr2sin(3)A(r,,)arrsina1sina12cosrr解：(1)AAxAyAzy2300y2z3xyzzaxayazaxayazAxyzxyzAxAyAzxy2z3x3zx2y2ax(2x2yx3)ay(3xy2z22xy2)az(3x2z2xyz3)(2)A11AAz1(r3cos)0(r2sin)3rcosr(rAr)zrrrrzarraazarraaz11ArzrrzrArrAAzr2cos0r2sin1[ar(r2cos0)ra(02rsin)az(0r2sin)]rarrcosa2rsinazrsin]文档实用标准(3)A1(r2Ar)1(sinA)1Ar2rrsinrsin1(r3sin112)1(1r2r)(sinrsinr2cos)rsinr3sin22cosrarrarsinaarrarsinaA11r2sinrr2sinrArrArsinArsinsin1cossinrr21[ar(1cos20)ra(012sin2)rsina(0rcos)]sinr2rarcos21acosr3ar3cossin例1.8在球坐标中，已知pecos2，其中pe、0为常数，试求此标量场的负40r梯度组成的矢量场，即E。解：在球坐标戏中，arra1a1rrsinEar(pecos)a140r2rrpecos(2)a1pe(sinar0r3r40r24arpecosapesin20r340r3pe(ar2cosasin)40r3

pecos)a1pecos)(2(40r240rrsin)0例1.9在由r5，z0和z4围成的圆柱形地区上，对矢量Aarr2az2z验证高斯散度定理。文档实用标准解：因为要求考证高斯散度定理，即需要根据给出条件分别计算Ad和dS，获得二者结果相同的结论。s在柱坐标系下，有1(rAr)1AAz13)0(2r)3r2Arz(rrrrrz在由r5，z0和z4围成的圆柱形地区内取一个小体积元d，可知drdrddz，其中0r5、02、0z4，故5242)rdrddz52)rdr2441200Ad0(3r(3rddz150200000而r5，z0和z4围成的圆柱形地区的闭合外表面由三部分组成：圆柱上表面S1（面元矢量dS1azrdrd，0r5、02、z4）、圆柱下表面S2（面元矢量dS2azrdrd，0r5、02、z0）和圆柱侧表面S3（面元矢量dS3arrddz，02、0z4、r5），故有：AdSAdS1AdS2AdS3SS1S2S352(arr252200az2z)azrdrdz40(arraz2z)(azrdrd)z00420(arr2az2z)arrddzr50528rdrd024125ddz00004252125241200AdAdS1200，即证。s例1.10现有三个矢量场A、B、C,分别为：Aarsincosacoscosasin，Barz2sinaz2cosaz2rzsin，Cax(3y22x)ayx2az2z。文档实用标准哪些矢量能够由一个标量函数的梯度表示？哪些矢量能够由一个矢量的旋度表示？解：此题考察的是矢量场的场源关系，即：标量函数的梯度是一个有散无旋的场，并根据发散场旋度为零，旋涡场散度为零进行反推。故先分别求出矢量的散度和旋度：A1(r2Ar)1(sinA1A)r2rrsinrsin1(r2sincos)1(sincoscos)1(sin)r2rrsinrsin0arrarsinaA1r2sinrArrArsinAarrarsina1r2sinrsincosrcoscosrsinsin0B1(rBr)1BBzrrrz1r(rz2sin)1(z2cos)(2rzsin)rrz2rsinarraazarraazB110rrzrrzBrrBBzz2sinrz2cos2rzsinCCxCyCz2020xyzaxayazaxayazCxyzxyzaz(2x6y)CxCyCz3y22xx22z文档实用标准故B能够由一个标量函数的梯度表示，C能够由一个矢量的旋度表示。文档实用标准第2章静电场与恒定电场例2.1已知半径为a的球内、外的电场强度为下式所示，求电荷散布。EarE0a2(ra)r2EarE0rr3(ra)5332a2a解：由高斯定理的微分形式E，得电荷密度为0E0用球坐标中的散度公式A1(r2Ar)1(sinA)1Ar2rrsinrsin可得：1(r2E0a20(ra)Ar2rr2)1rr3152E0(53)]oE0(a2r2)(ra)r2r[r32a32a2a例2.2一个半径为a的平均极化介质球，极化强度是azP0，求极化电荷散布。解：成立球坐标系，让球心位于坐标原点。极化电荷体密度为pPazP00极化电荷面密度为psPnazP0arP0cos例2.3一个半径为a的导体球，带电量为Q，在导体球外套有外半径为b的同心介质球壳，壳外是空气，如图2.1所示。求空间任一点的D、E、P以及束缚电荷密度。文档实用标准图2.1解：由介质中的高斯定律可知，在ra地区内：DdSDr4r2Q，故DarQ2s4r由本构方程D0EPr0EE得：介质内(a<r<b)：E1Dar4Q,PD0Earr1Qr2r4r2介质外(b<r)：E1Dar4Q2,P000r介质内表面束缚电荷面密度分别为：psraPnParr1Q2，r4a

r1QpsrbPnParr4b2例2.4若真空中电荷q平均散布在半径为a的球体内，计算球内，外的电场强度以及电场能量。解：由电荷散布可知，电场强度是球对称的，在距离球心为r的球面上，电场强度大小相等，方向沿半径方向。在球外(ra)，取半径为r的球面作为高斯面，利用高斯定理计算：DdSDr4r2qs故有Drq，Er1Drq4r2040r2对球内(ra)，也取球面作为高斯面，同样利用高斯定理计算：文档实用标准DdSDr4r24r3qr3q34a3sa33故有Drrq，Er1Drrq4a3040a311q2r213q2电场能量0E2da4r2dr4r2We200a3r4dr2V40a200a例2.5计算图2.2所示深埋地下半径为a的导体球的接地电阻。已知土壤的电导率为。图2.2解：导体球的电导率一般老是远大于土壤的电导率，可将导体球看作等位体。用静电比较法，位于电介质中的半径为a的导体球的电容为C4a所以导体球的接地电导为G4所以导体球的接地电阻为11RG4a例2.6半径分别为a,b(ab)，球心距为c(cab)的两球面之间有密度为的平均体电荷散布，如图2.3所示，求半径为b的球面内任一点的电场强度。文档实用标准图2.3解：为了使用高斯定理，在半径为b的空腔内分别加上密度为+和的体电荷，这样，任一点的电场就相当于带正电的大球体和一个带负电的小球体共同产生，正负带电体所产生的场分别由高斯定理计算。正电荷在空腔内产生的电场为E1r1ar1，30E2r2负电荷在空腔内产生的电场为ar2，30其中单位向量ar1，ar2分别以大、小球体的球心为球面坐标的原点。考虑到r1ar1r2ar2cax，最后获得空腔内的电场为：cax30例2.7一个半径为a的平均带电圆柱体（无限长）的电荷密度是ρ，求圆柱体内、外的电场强度。解：因为电荷散布是柱对称的，因而采用圆柱坐标系求解。在半径为r的柱面上，电场强度大小相等，方向沿半径方向。计算柱内电场时，取半径为r，高文档实用标准度为1的圆柱面为高斯面。在此柱面上，使用高斯定理，有DdS0Er2rlq,qr2l,Errs20计算柱外电场时，取经过柱外待计算点的半径为r，高度为1的圆柱面为高斯面。对此柱面使用高斯定理，有DdS0E2rlq,qa2l,Era2sr2r0例2.8一个半径为a的平均带电圆盘，电荷面密度是s0，如图2.4所示。求轴线上任一点的电场强度。图2.4解：由电荷的电荷强度计算公式1s(r)(rr')E(r)s3dS40rr'及其电荷的对称关系，可知电场仅有z的分量。x代入场点源点rzar'axr'cosayr'sindSr'dr'd电场的z向分量为文档实用标准Ez02azr'dr's0z4sd1(a2000(z2r'2)3/220z2)1/2上述结果合用于场点位于z>0时。但场点位于z<0时，电场的z向量为Ezs0[1z1/2]2022)(az例2.9已知半径为a的球内,外电场散布为a2E0arrarEr2E0arraa求电荷密度。解：从电场散布计算计算电荷散布,应使用高斯定理的微分形式:D用球坐标中的散度公式,并注意电场只是有半径方向的分量,得出ra时:1r23E00r2rrara时:01r2r0r2r例2.10电荷散布如图2.5所示。试证明，在r>>l处的电场为Er3ql220r4证明：用点电荷电场强度的公式及叠加原理，有Er1[q2qq2]4l)2r2(rl)0(r当r>>l时,文档实用标准(r1111(12l3l2)l)2r2l2r2rr2(1)r(r1111(12l3l2)l)2r2l2r2rr2(1)r将以上结果带入电场强度表达式并忽略高阶小量，得出3ql2Er420r图2.5例2.11真空中有两个点电荷，一个电荷q位于原点，另一个电荷q/2位于(a,0,0)处，求电位为零的等位面方程。解：由点电荷产生的电位公式得电位为零的等位面为qq2040r40r1其中11r(x2y2z2)2，r1[(xa)2y2z2]2等位面方程简化为2r1r即4[(xa)2y2z2]x2y2z2文档实用标准此方程能够改写为22x4ay2z22a33这是球心在(4a,0,0),半径为2a的球面。33例2.12如图2.6所示，一个圆柱形极化介质的极化强度沿其轴方向，介质柱的高度为L，半径为a，且平均极化，求束缚体电荷散布及束缚面电荷散布。图2.6解：采用圆柱坐标系计算，并假定极化强度沿其轴向方向，PP0ax如图示，由于平均极化，束缚体电荷为P0。在圆柱的侧面，注意介质的外法向沿半径方向nr，极化强度在z方向，故aPar0在顶面，外法向为nax，故spPaxP0在底面，外法向为nax，故spP(ax)P0文档实用标准例2.13假定x<0的地区为空气，x>0的地区为电解质，电解质的介电常数为30，如果空气中的电场强度E1ax4ay5az（V/m），求电介质中的电场强度E2。解：在电介质与空气的界面上没有自由电荷，因而电场强度的切向分量连续，电位移矢量的法向分量连续。在空气中，由电场强度的切向分量E1t4ay5ax，能够得出介质中电场强度的切向分量E2t4ay5ax；关于法向分量，用D1nD2n，即0E1xE2x，并注意E1x3,30，得出E2x1。将所获得的切向分量相叠加，得介质中的电场为E2ax4ay5az(V/m)例2.14一个半径为a的导体球面套一层厚度为b-a的电解质，电解质的介电常数为ε，假定导体球带电q，求随意点的电位。解：在导体球的内部，电场强度为0。关于电介质和空气中的电场散布，用高斯定理计算。在电介质或空气中的电场取球面为高斯面，由DdS4r2Drq得出Drqs4r2电场为：q2在介质中（a<r<b）；Erq在空气中（r>b）。Er40r24rq(11电位为Edrqdrbqdrq)rb40r2r4r240b4rb（a<r<b）Edrqdrq(r>b)rr40r240r例2.15真空中有两个导体球的半径都为a，两球心之间距离为d，且d>>a,文档实用标准试计算两个导体之间的电容。解：因为球心间距远大于导体的球的半径，球面的电荷能够看作是平均散布。由电位系数的定义，可得p12p221，p12140ap2140d让第一个导体带电q,第二个导体带电-q，则1p11qp12qqq，2qq40a40dp21qp22q0a40d4由CqqU12化简得C20ada例2.16球形电容器内，外极板的半径分别为a,b，其间媒质的电导率为，当外加电压为U0时，计算功率损耗并求电阻。解：设内,外极板之间的总电流为I0，由对称性，能够获得极板间的电流密度为Iar2rEIarr24aU0=

Edr=

I11b

4ab进而I=4U0，JU0ar11(11)r2abab文档实用标准2单位体积内功率损耗为J2U0p==11r2ab4U02总功率消耗为b2bdr4U02P=p4rdr=22=a11ar11abab2由P=U0，得RI11R=ab4例2.17一个半径为a的导体球作为作为电极深埋地下，土壤的电导率为。略去地面的影响，求电极的接地电阻。解：当不考虑地面影响时，这个问题就相当于计算位于无限大平均点媒质中的导体球的恒定电流问题。设导体球的电流为I,则随意点的电流密度为IIJ4r2ar，E4r2ar导体球面的电位为（去无穷远处为电位零点）U=Idr=I424aa接地电阻为R=U=II4a例2.18如图2.7所示，平板电容器间由两种媒质完全填充，厚度分别为d1和d2，介电常数分别为1和2，电导率分别为1和2，当外加电压U0时，求分界面上的自由电荷面密度。文档实用标准解：设电容器极板之间的电流密度为J，则J1E12E2E1J,E2J12于是Jd1Jd2U012即U0Jd1d212分界面上的自由面电荷密度为sD2nD1n2E21E121J21U02121d1d212d11,1U0d22,2图2.7例2.19在电场强度Eaxyayx的电场中把带电量为2q(C)的点电荷从点文档实用标准(2,1,1)移到点(8,2,1)，试计算电场沿下列路径移动电荷所做的功。沿曲线x2y2；(2)沿连结该两点的直线。解：此题要求电场力移动电荷所做的功，最直接的办法就是根据功=作使劲×作用距离，由给出的电场强度确定电荷所受电场力，再在对应的移动路径C上进行线积分，即WFdl2qEdl。但注意到题目给出的场强为静电场的CC电场强度，则可根据静电场为保守场，由静电力所做的功与电荷移动路径无关，至于电荷运动起止点的电位差相关这一特点进行计算。方法一：E0，此电场为静电场，电场力所做的功与电荷移动路径无关。由Eaxyayx可得，电位(x,y,z)xyC，其中C为常数。点(2,1,1)到点(8,2,1)之间的电位差U(2,1,1)(8,2,1)14故不论是沿曲线x2y2仍是沿连结该两点的直线，电场力移动电荷2q(C)所做的功W2qU28q(J)。方法二：电场力F2qEax(2qy)ay(2qx)，点(2,1,1)移到点(8,2,1)变化的只是x和y，故有dlaxdxaydy，Fdl2qydx2qxdy(1)曲线C：x2y2有dx4ydyWFdl2(2qy4ydy2qdy2y2)22dy28q(J)112qyC1(2)曲线C：y11，即x6y4，有dx6dyx26WFdl2[2qy6dy2qdy(6y4)]28q)dy28q(J)1(24qyC1例2.20球形电容器内外导体球半径分别为a和b，如果保持内外导体间电位差U不变，试证明当内外导体球半径知足关系a=b/2时，内导体球表面的电场最文档实用标准小，并求此最小电场强度。解：要求得内导体球表面的最小电场强度，需先求出空间各点电场强度的分布，再根据高等数学中函数最小值出现在函数一阶导数零点的知识，求出内导体球表面的电场强度最小值，并获得此时内外导体球半径之间的关系。由于内外导体球间存在电位差，故内导体球表面存在电荷，可设在内导体球面上平均散布有总量为Q的电荷，因此以导体球球心为坐标原点成立球坐标系，内导体球面为ra，外导体球面为rb。在arb的区间包围原点做一个半径为r的闭合球面S，由于电荷和电场的散布知足球对称，在S上应用高斯定理，有222QEdSErrsindd4rErS000ErQ,EarQ0r240r24设外导体电位为0，则内导体电位为U，将点电荷从内导体表面搬到外导体上所需要的电场力所做功为：UEdlbQdrQ(11)Qbabaa40r240ab40ab40abarabUrb)故可反解出QaU，Ebar2(ab在内导体球表面ra，有ErbUa2Er(a,b)abErbU(2ab)，Er0，即b2a0，ab/2时有Er的最值。a(ab2)2aa又ab/2时，Er0；ab/2时，Er0；故ab/2时Er有最小值。aa当内外导体球半径知足关系a=b/2时，内导体球表面的电场最小。文档实用标准2U4U此最小值为Eminaraarb。例2.21电场中一半径为a的介质球，已知球内、外的电位函数散布为：1E0rcos0a3E0cos,ra20r2230E0rcos,ra20考证球表面的边界条件，并计算球表面的束缚电荷密度。解：题目给出的边界面，是介于介质和空气之间的球面，其法向为球的径向ar，切向则为a和a方向。要考证分界面上的边界条件，能够从电场矢量方面下手，根据题目给出电位散布，求出电场强度的散布，获得在边界面ra上E1tE2t；也能够直接根据电位的边界条件，在ra的分界面上，获得12的结论。而要计算球面的束缚电荷密度，可根据psPn来计算。1）考证边界条件：方法一：直接利用电位的边界条件，有：ra时，1E0acos0aE0cos30E0rcos220202，边界条件成立。方法二：EE11ar(E0cos032cos)a(E0sin03E0sin),ra20aE0r320ar3E2230(arE0cosaE0sin),ra20分界面ra上，nar文档实用标准E1ta(E0sin0E0sin)a30E0sinE2t2020E1tE2t，边界条件成立。2）计算球表面的束缚电荷密度：由上面可得E1ar(E0cos0a3E02cos)a(E0sin0a3E0sin),ra20r320r3E230(arE0cosaE0sin),ra20D0EPEP(0)E02a30a3P1(0)E1(0)[ar(120r3)E0cosa(120r3)E0sin],raP2(00)E20,ra例2.22有一半径为a，带电荷量为q的导体球，其球心位于两种介质的分界面上，此两种介质的介电常数分别为1和2，分界面可视为无限大的平面，求：球的电容量；(2)积蓄的总静电能。Q解：此导体球为单导体系统，选无穷远点为零电位点，球的电容量可由C求出，其中Q为导体球所带电荷量，即q；为导体球表面电位与零电位点的电位差。故求球的电容量，就需求导体球外电场强度的散布。同样，静电场的能量也可由电场强度求出，故此题的核心在于求电场强度的空间散布。文档实用标准图2.8由图2.8所示，以导体球的球心为坐标原点成立球坐标系，电荷和电场散布拥有球对称特性。在ra处做同心的高斯闭合球面，有DdSDr12r2Dr22r2qS在1和2的介质分界面上，有E1tE2t，即E1rE2rEr，故有D1r1E1r1Er，D2r2E2r2Er，Dr12r2Dr22r2(1Er2Er)2r2qErq2)r22(1(1)Erdrqdrqq2(12)raaa2(12)r22a(12)Cqqq2a(12)2a(12)(2)We1q4q22)2a(1（注：也可计算为：文档实用标准We1E2d211/221E2r2sindrdd22E2r2sindrdd）a002a/202q24a(12)文档实用标准第4章恒定磁场例4.1半径为a、高为L的磁化介质柱，如图4.1所示，磁化强度为M0(M0为常矢量，且与圆柱的轴线平行)，求磁化电流Jm和磁化面电流Jms。图4.1解：取圆柱坐标系的z轴和磁介质柱的中轴线重合，磁介质的下底面位于z=0处，上底面位于z=L处。此时，MazM0，磁化电流为JmM(M0az)0在界面z=0上，naz，JmSMnM0az(az)0在界面z=L上，naz，JmSMnM0azaz0在界面r=a上，nar，JmSMnM0azarM0a例4.2内、外半径分别为a、b的无限长空心圆柱中平均散布着轴向电流I，求柱内、外的磁感觉强度。解：使用圆柱坐标系。电流密度沿轴线方向为0,IraJaz,arb(b2a2)0,rb文档实用标准由电流的对称性，能够知道磁场只有圆周分量。用安培环路定律计算不同区域的磁场。当r<a时，磁场为0。当a<r<b时，采用安培回路为半径等于r且与导电圆柱的轴线同心的圆。该回路包围的电流为I'=Jr2a2Ir2a2=a2b2由Bdl2rBoIr2a20I'，得B=22c2rba当r<b时，回路内包围的总电流为I，于是B=0I。2r例4.3半径为a的长圆柱面上有密度为Js0的面电流，电流方向分别为沿圆周方向和沿轴线方向，分别求两种情况下柱内、外的B。解：(1)当面电流沿圆周方向时，由问题的对称性能够知道，磁感觉强度只是是半径r的函数，而且只有轴向方向的分量，即BazBz(r)由于电流只是散布在圆柱面上，所以在柱内或柱外B0。将BazBz(r)代入BaBz0，即磁场是与r无关的常量。在离面无穷远处的察看点，由于电流能够看作是一系列流向相反而强度相同的电流元之和，所以磁场为零。由于B与r无关，所以，在柱外的任一点处，磁场恒为0。为了计算柱内的磁场，采用安培回路为图4.2所示的矩形回路。文档实用标准图4.2有BdlhBzh0Js0因而柱内任一点处，Baz0Js0。c当面电流沿轴线方向时候，由对称性可知，空间的磁场只是有圆分量，且只是半径的函数。在柱内，采用安培回路为圆心在轴线并且为于圆周方向的圆。可以得出，柱内任一点的磁场为零。在柱外，采用圆形回路，cBdl0I，与该回路交链的电流为2aJs0，Bdl2rB，所以Ba0Js0a。cr例4.4如图4.3所示，一对无限长平行导线，相距2a，线上载有大小相等，方向相反的电流I，求磁矢位A，并求B。解：将两根导线产生的磁矢位看作是单个导线产生的磁矢位的叠加。对单个导线，先计算有限长度产生的磁矢位。设导线的长度为1，导线1的磁矢位为（场点选在xoy平面）l2212A1az0I2dzaz0Ilnl2[(l2)r1]l2142222r1(r1z)当l时，有A1az0Illnr12同理，导线2产生的磁矢位为A2az0Ilnl2r2由两个导线产生的磁矢位为文档实用标准AazA1A2az0Ilnllnlaz0Ilnr2az40Ilnxa2r1r22r1xa

y2y2相应的磁场为B＝AAzayAzaxxy0Iyyy2]ay0Ixaxaax2[xa2y2xa22[xa2y2xa2y2图4.3例4.5已知内，外半径分别为a,b的无限长铁质圆柱壳（磁道率为）沿轴向有恒定的传导电流I，求磁感觉强度和磁化电流。解：考虑到问题的对称性，用安培环路定律能够得出各个地区的磁感觉强度。当ra时，B0当arb时，I(r2a2)B2rb2a2a当rb时，B0Ia2r当arb时，文档实用标准1I(r2a2)M(r1)H(r1)B(r1)2r(b2a2)aJmMaz1rM(r1)Irraza2)(b2当rb时，Jm0在ra处，磁化强度M0，所以JmSMnM(ar)0在r(r1)Ia，所以b处，磁化强度M2bJmSMnMar(r1)Iaz2b例4.6已知在半径为a的无限长圆柱导体内有恒定电流I沿轴方向。设导体的磁导率为1，其外充满磁导率为2的平均磁介质，求导体内外的磁场强度、磁感觉强度、磁化电流散布。解：考虑到问题的对称性，在导体内外分别采用与导体圆柱同轴的圆环作为安培回路，并注意电流在导体内是平均散布的。能够求出磁场强度如下：ra时，HaIr；r>a时，HaI2a22r磁感觉强度如下：ra时，Ba1Ir2；r>a时，Ba2I2a2r为了计算磁化电流，要求磁化强度：ra时，Ma(r>a时，Ma(

11)Ir2，JmMaz(11)I202a0a2I，JmM01)02r文档实用标准在ra的界面上计算磁化面电流时，能够理解为在两个磁介质之间有一个很薄的真空层。这样，其磁化面电流就是两个磁介质的磁化面电流之和，即JmsM1n1M2n2这里的n1和n2分别是从磁介质到真空中的单位法向。如果设从介质1到介质2的单位法向是n，则有JmsM1nM2n代入界面两侧的磁化强度，并注意nar，得Jmsaz(10

1)Iaz(22a0

1)Iaz(21)I2a002a例4.7空气绝缘的同轴线，内导体的半径为a，外导体的半径为b，经过的电流为I。设外导体壳的厚度很薄，因而其积蓄的能量能够忽略不计。计算同轴线单位长度的储能，并有此求单位长度的自感。解：设内导体的电流平均散布，用安培环路定律可求出磁场。ra时，Ir2；arb时，IHaHa2a2r单位长度的磁场能量为a10H22rdr+b10H22rdr=0I20I2bWm=a2+4ln0216a故得单位长度的自感为L=0+0lnb，其中的第一项为哪一项内导体的内自感。82a例4.8一个长直导线和一个圆环（半径为a）在同一平面内，圆心与导线的距离是d，证明它们之间互感为M0(dd2a2)。证明：设直导线位于z轴上，由其产生的磁场B0I0I2x2(drcos)文档实用标准其中各量的含义如图4.4所示。a20I磁通量为Bdsrdrd002(drcos)上式先对积分，并用公式2d20dacosd2a2得0Irdr0I(dd2a2)a0d2r2所以互感为M0(dd2a2)Ird图4.4例4.9一根通有电流I的长直导线埋在不导电的平均磁性介质中。求出H，B，M及磁化电流散布；(2)若将导线埋在介质分界面间，电流I沿z方向流动，在z0的半无穷空间中充满导磁率为的平均介质，在z0的半无穷空间为真空，求出H，B，M及磁化电流散布；文档实用标准(3)若将导线埋在介质分界面间，电流I沿z方向流动，在x0的半无穷空间中充满导磁率为的平均介质，在x0的半无穷空间为真空，求出H，B，M及磁化电流散布。解：(1)由安培环路定律，以导线为中心做闭合积分曲线，有：HdlH2rICHI，即HaIr2r2故：BHaI，MBH(1)Ha(r1)I，JmM0。2r002r如图4.5(a)所示，以导线为中心做闭合积分曲线C，由安培环路定律有：HdlH2rICHI，即HaI，则有：2r2rz0:B1HaI，M1B1H(1)Ha(r1)I，2r002rJmM0，JmsMnMaraz(r1)I；0I，M22rz0:B20Ha0，Jm0，Jms0。r如图4.5(b)所示，以导线为中心做闭合积分曲线C，由安培环路定律有：HdlH1rH2rIC关于分界面，x0处a为法向，根据边界条件B1nB2n，有B1B2B，即：H1B，H2B0代入安培环路定律，有BrBrI，解得B0Ir00Ba0I，H1Ba0I，H2BaI0r0r00r文档实用标准x0：M1BH1(r1)H1a0I，00rJmM0，JmsMnMa0；x0：M2BH20，Jm0，Jms0。0图4.5(a)图4.5(b)例4.10半径为a的无限长直圆柱形导线沿轴向经过电流I。如图4.6所示，取图中2处为参照点，用拉普拉斯方程求导线外部的标量磁位。图4.6文档实用标准解：对磁标位来讲，它是和磁力线垂直的，而通电长直导线的磁力线是以电流为圆心的同心圆，因此磁标位就应当是r方向的射线，所以m应当与r和z无关，拉普拉斯方程应当是：122mm0r22解出来mCD代入已知条件2为参照点，有m2CD再以导线为轴心在导线外做一个近似闭合的回路l，起点A和终点B在2的两侧，由于Hm，比较静电场中电场强度和电位之间的关系，B0，mB2CD，则2CDI有mAmBHdlI，mAA这样始终有两个未知量不能确定。于是又考虑2和0是同一点，那么参照点也能够看作是2，代入mCD中，2时mD0，故mC，这就只有一个未知量了。B再做参照积分回路，则mAmB02CHdlIA解得CI，故mCI22例4.11一横截面为正方形的环形铁心上开有一空气隙，长度1mm，铁心内半径a8cm，横截面边长b2cm，相对磁导率r500。铁心上均有紧密绕有线圈1000匝，如图4.6所示。忽略气隙周边的漏磁通，求此线圈的自感。文档实用标准图4.6解：由于0，忽略气隙周边的漏磁通，根据磁通连续性方程，可视将磁感觉线只在磁环内流动，且垂直磁环截面，磁感觉线穿过空气隙时仍平均散布在截面上。设磁环上磁感觉强度为B，磁场强度为H；气隙中磁感觉强度为B0，磁场强度为H0，由安培环路定律有：HdlH(2r)H0NI，其中rab9cm2C关于空气与铁心的分界面，a为法向，根据边界条件B1nB2n，有B1B2B，可得HBB，H00故有B)BNI，解得BNI(2r2r00经过铁心截面的磁通量BdSBSrNIb2S20线圈的自感LNb22rI0代入数据103m，b0.02m，r0.09m5000，N1000，得文档实用标准LNb200.251(mH)200I2r0文档实用标准第5章时变电磁场例5.1证明平均导电媒质内部，不会有永远的自由电荷散布。解：将JE代入电流连续性方程，考虑到媒质平均，有(E)(E)0tt由于：D,(E),Et所以：0，(t)0et例5.2设z=0的平面为空气与理想导体的分界面，z<0一侧为理想导体，分界面处的磁场强度为H(x,y,0,t)axH0sinaxcos(tay)，试求理想导体表面上的电流散布、电荷散布以及分界面处的电场强度。解：JSnHazaH0sinaxcos(tayaH0sinaxcos(tayx)y)S[H0sinaxcos(tay)]aH0sinaxsin(tay)tySaH0sinaxcos(tay)c(x,y)假定t=0时，s0，由边界条件nDs以及n的方向可得D(x,y,0,t)azaH0sinaxcos(tay)E(x,y,0,t)azaH0sinaxcos(tay)例5.3试求一段半径为b，电导率为，载有直流电流I的长直导线表面的坡印廷矢量，并考证坡印廷定理。文档实用标准图5.1解：如图5.1，一段长度为l的长直导线，其轴线与圆柱坐标系的z轴重合，直流电流将平均散布在导线的横截面上，于是有：1JIJaz2,Eaz2bbI在导线表面Ha2bI2因此，导线表面的坡印廷矢量SEHar22b3它的方向处处指向导线的表面。将坡印廷矢量沿导线段表面积分，有I2lSdSSSardS232blI22I2RS2bb例5.4在两导体平板（z0和zd）之间的空气中流传的电磁波，其电场强度矢量EaE0sin[(/dztkx)，其中k为常数。试求：y)]cos(x磁场强度矢量H；两导体表面上的面电流密度Js。解:(1)由麦克斯韦方程组得Eax(Ey/z)az(Ey/x)B/t，对上式积分得BaxE0cos(z)sin(tkxx)azE0kxsin(z)cos(tkxx)，ddd文档实用标准即HaxE0cos(z)sin(tkxx)azE0kxsin(z)cos(tkxx)。d0d0d导体表面上得电流存在于两导体相向的一面，故z0面上，法线naz，面电流密度JsazHz0E0sin(tkxx)；ayd0zd面上，法线naz，面电流密度JsazHzdE0sin(tkxx)。ayd0例5.5一段由理想导体组成的同轴线，内导体半径为a，外导体半径为b，长度为L，同轴线两头用理想导体板短路。已知在arb,0zL地区内的电磁场AB为Earrsinkz,Harcoskz（1）确定A,B之间的关系。（2）确定k。（3）求ra及rb面上的s,Js。解：由题意可知，电磁场在同轴线内形成驻波状态。（1）A,B之间的关系。因为EaEraAkjHzcoskzr所以AjBk（2）因为H1rHrH]Bk[arzazarsinkzjErrr所以AkBjjk，kkj文档实用标准（3）因为是理想导体组成的同轴线，所以边界条件为nHJs，nDs在ra的导体面上，法线nar，所以JsanHraazBcoskzraazBcoskzrasanDraAsinkzraAsinkzra在rb的导体面上，法线nar，所以JsbnHrBBkzbazrcoskzrbazbcossbnDrbAsinkzrbAsinkzrb例5.6已知真空中电场强度EaxE0cosk0(zct)ayE0sink0(zct)，式中k020c。试求：1）磁场强度和坡印廷矢量的刹时值。2）关于给定的z值（比方z＝0），试确定E随时间变化的轨迹。3）磁场能量密度，电场能量密度和坡印廷矢量的时间平均值。解：（1）由麦克斯韦方程可得EyExEaxayzzaxE0k0cosk0(zct)ayE0k0sink0(zct)H0t对上式积分，得磁场强度刹时值为HaxE0sink0(zct)ayE0cosk0(zct)0c0c故坡印廷矢量的刹时值文档实用标准SEHaz

E0

20c（2）因为E的模和幅角分别为E22，E0sink0(zct)(zct)ExEyE0tank0E0cosk0(zct)所以，E随时间变化的轨迹是圆。（3）磁场能量密度，电场能量密度和坡印廷矢量的时间平均值分别为1D]av,eRe[E41[(axE0ejk0zayE0e2)(ax0E0ejk0zay0E0e2)]j(k0z)j(k0z)410E02212av,m0E02Sav1EH]azE02Re[20c2例5.7试将麦克斯韦方程组写成8个标量方程。解：已知麦克斯韦方程组的积分形式为：HdlJDdS,EdlBdS,BdS0,DdSqlStlStSS微分形式为：HJD,EB,B0,DttAyaxayaz又因为直角坐标系中AAxAz，AxyzyzxAxAyAz文档实用标准Aarraaz柱坐标系中A1(rAr1Az，1rr)zAzrrrArrAAz球坐标系中A1(r2Ar)1(sinA)1A，r2rrsinrsinarrarsinaA12sinrrArrArsinA直角坐标系中，麦克斯韦的积分方程可写为：H(aydyazdz)JxDxdydzSxtlxH(axdxazdz)JyDydxdz，SytlyH(aydyaxdx)JzDzdxdySztlzE(aydyazdz)SxBxdydzlxtE(axdxazdz)BydxdzlySytE(aydyaxdx)SzBzdxdylztBxdydzBydxdzSzBzdxdy0SxSyDxdydzDydxdzDzdxdyqSxSySz麦克斯韦的微分方程可写为：HzHyJxDxEzEyBxBxByBz0yztyztxyzHxHzDyExEzByJy，zx，zxttDxDyDzHyHxJzDzEyExBzxytxytxyz柱坐标系中，麦克斯韦的积分方程可写为：文档实用标准H(ardazdz)DrrddzSrJrlrtH(ardrazdz)DdrdzJt，lSH(ardrard)DzrdrdSzJzlztE(ardazdz)BrrddzlrSrtE(ardrazdz)BdrdzlStE(ardrard)SzBzrdrdlztBrrddzSBdrdzSzBzrdrd0SrDrrddzSDdrdzSzDzrdrdqSr麦克斯韦的微分方程可写为：1HzHJrDr1EzEBrrztrztHrHzJD，ErEzB，zrtzrt1(rH1HrJzDz1(rE1ErBzr)tr)trrrr11BBz1(rDr1DDzr(rBr)z0，r)zrrrr球坐标系中，麦克斯韦的积分方程可写为：H(ardarsind)JrDrr2sinddlrSrtH(ardrarsind)JDrsindrd，tlSH(ardrard)JDSrdrdlt文档实用标准E(ardarsind)SrBrr2sinddlrtE(ardrarsind)BdrdSrsinltBE(ardrard)SrdrdltBrr2sinddBrsindrdBrdrd0SrSSDrr2sinddDrsindrdDrdrdqSrSS麦克斯韦的微分方程可写为：1[(sinH)HJrDr1[]trsinrsin11Hr(rH)]JD11[sin，[sinrrDtr1[(rH)Hr]J1[rtrrr

(sinEEBr)]tEr(rE)]Br，t(rE)Er]Bt121(sinB1Br2(rBr)rsin)rsin0，r1(r21(sinD1Dr2Dr))rrsinrsin例5.8已知在空气中Eay0.1sin(10x)cos(6109tz)(V/m)，求H和。解：由于电场强度E应知足空气中的波动方程2E002E0t2由于Eay0.1sin(10x)cos(6109tz)ayEy，有2Ey2Ey000t22Ey2Ey2Ey2Eyx2y2z20.1(10)2sin(10x)cos(6109tz)00.12sin(10x)cos(6109tz)且2Ey0.1(6109)2sin(10x)cos(6109tz)t2代入2Ey02Ey0中，有(10)2200(6109)2002t文档实用标准解得10354.41(rad/m)又由麦克斯韦方程有EBtaxayazEyEyBEaxaztxyzxz0Ey(x,z)0ax0.1sin(10x)sin(6109tz)azcos(10x)cos(6109tz)BtBdtax0.1sin(10x)cos(6109tz)azcos(10x)sin(6109tz)t6109HBax0.1sin(10x)cos(6109tz)azcos(10x)sin(6109tz)6109010354.41rad/m，04107Hax2.3104sin(10x)cos(6109t54.41z)az1.3104cos(10x)sin(6109t54.41z)(A/m)例5.9设电场强度和磁场强度分别为EE0cos(te)和HH0cos(tm)，证明其坡印廷矢量的平均值为：Sav1E0H0cos(em)2证明：EE0cos(te)，HH0cos(tm)，由坡印廷定理有SEHE0H0cos(te)cos(tm)1E0H0[cos(tetm)cos(tetm)]21E0H0[cos(2tem)cos(em)]2Sav1TSdt1T1tm)cos(em)]dtTTE0H0[cos(2e002E0H0[Tm)dtcos(Tcos(2teem)dt]2T001H0cos(m)E0e2文档实用标准例5.10在r1和r50的平均地区中，有Eax20ej(tz)(V/m)，Bay0Hmej(tz)(T)如果波长为1.78(m)，求和Hm。解：介质中相速度1C3.01084.247/)vp10(150msrr2f2vp24.241071.5108(rad/s)1.78vp1.51083.54(rad/m)vp4.24107由题可知，H1Hmej(tz)(T)，由麦克斯韦方程EBBay有rtaxayazBExyzayExayj20ej(tz)tzEx(z)00BBdttayj20ej(tz)dtay20ej(tz)ttHBay20ej(tz)0020Hm，故有0r20r20Hm0

r20r201.18(A/m)vp4.24107410700文档实用标准第6章正弦平面电磁波在无界空间中的流传例6.1电磁波在真空中流传，其电场强度矢量的复数表达式为Etaxjay104ej20z(Vm)试求：（1）工作频次f。（2）磁场强度矢量的复数表达式。（3）坡印廷矢量的刹时值和时间平均值。解：（1）由题意可得k2000,6109(rad/s)c所以工作频次3109(Hz)2）磁场强度矢量的复数表达式为H1ayE1(ayjax)104ej20z(A/m)0其中波阻抗0120()。（3）坡印廷矢量的刹时值和时间平均值。电磁波的刹时值为E(t)Re[Eejt](axjay)104cos(t20z)（V/m）H(t)Re[Hejt]1(ayjax)104cos(t20z)（A/m）0所以，坡印廷矢量的刹时值文档实用标准S(t)E(t)H(t)1108cos2(t20z)(axjay)(ayjax)0(W/m2)0同理可得坡印廷矢量的时间平均值SavRe[1EH]0(W/m2)2例6.2理想介质中，有一平均平面电场波沿z方向流传，2109(rad/s)。当t0时，在z0处，电场强度的振幅E02(mV/m)，介质的r4,r1。求当t1(s)时，在z＝62(m)处的电场强度矢量，磁场强度矢量和坡印廷矢量。解：根据题意，设平均平面电场为E(t)axE0cos(tkz)(mV/m)式中，2109(rad/s),k40rad/m03所以E(t)ax2cos(2109t40z)（mV/m）3当t1s，z＝62m时，电场强度矢量，磁场强度矢量和坡印廷矢量为E(t)ax2cos(21091064062)ax2cos2ax(mV/m)33H(t)ayExayExay1ay1(mA/m)0r120160r4SEHaz1(W/m2)60例6.3已知空气中一平均平面电磁波的磁场强度复矢量为H(axAay26az4)ej(4x3z)(A/m)试求：文档实用标准（1）波长、转播方向单位矢量及转播方向与z轴的夹角2）常数A3）电场强度复矢量。解：1）波长、转播方向与z轴的夹角分别为kkx2kz2(4)2(3)25(rad/m)，20.4(m)kakaxkxazkzax4az3ax0.8az0.6，k5zarccos0.653（2）HxHyHzj4Aj120Hyzx解得A3。（3）电场强度矢量EHak0(ax3ay26az4)ej(4x3z)(ax0.8az0.6)0(ax66ay5az86)ej(4x3z)(V/m)55例6.4设无界理想媒质，有电场强度复矢量：E1azE01ejkz,E2azE02ejkz(1)E1,E2是否知足2Ek2E0。（2）由E1,E2求磁场强度复矢量，并说明E1,E2是否表示电磁波。解：采用直角坐标系。考虑到文档实用标准2E1ax222222222x2y2z2E1xayx2y2z2E1yazx2y2z2E1z00az(00k2E01ejkz)k2E12E1k2E10同理，可得2E2k2E20根据题意可知，E1,E2波阵面均为平均平面，流传介质为理想媒质，故有H11azE10,H21azE20所以S1S20，E1,E2所形成的场在空间均无能量流传，即E1,E2均不能表示电磁波。例6.5假定真空中一平均平面电磁波的电场强度复矢量为j(2x2y3z)E3(ax2ay)e6(V/m)1）电场强度的振幅、波矢量和波长。2）电场强度矢量和磁场强度矢量的刹时表达式。解：1）依题意知，电场强度的振幅E0E02xE02y33(V/m)而kkx2ky2kz2，故波长24(m)2k所以波矢量kakkax3ay2az366（2）电场强度的刹时表达式为文档实用标准E(t)Re[Eejt]3(ax2ay)cos[t(2x2y3z)](V/m)6磁场强度矢量的刹时表达式为H(t)1akE(t)1kE(t)0120kaxay2316az363(ax2ay)cos[t(2x2y3z)]120/261(ax6ay3az32)cos[t(2x2y3z)](A/m)1206其中2C23.01081.5108(rad/m)4例6.6为了抑制无线电搅乱室内电子设施，平时采用厚度为5个趋肤深度的一层铜皮（0,0,5.8107(S/m)）包裹该室。若要求障蔽的频次是10kHz~100MHz，铜皮的厚度应是多少。解：因为工作频次越高，趋肤深度越小，故铜皮的最小厚度应不低于障蔽10kHz时所对应的厚度。因为趋肤深度21f1

0.00066(m)所以，铜皮的最小厚度h50.0033(m)。例6.7如果要求电子仪器的铝外壳（3.54107(Sm1）最少为5个趋/),r肤深度，为防备20kHz~200MHz的无线电搅乱，铝外壳应取多厚。解：因为工作频次越高，趋肤深度越小，故铝壳的最小厚度应不低于障蔽20kHz时所对应的厚度。2100.000598(m)f1文档实用标准因为铝壳为5个趋肤深度，故铝壳的厚度应为h500.003(m)例6.8已知平面波的电场强度E[ax(2j3)ay4az3)]ej(1.8y2.4z)(V/m)试确定其流传方向和极化状态，并判断它是否为横电磁波。aykyazkz3ay4解：流传方向上的单位矢量akazky2kz255akE0，即E的所有分量均与其流传方向垂直，所以此波为横电磁波。jarctan343)]ej3(3ay4az)rjarctan35ay]ej3akrE[ax13e25(ayaz55[ax13e255显然ax,ay均与ak垂直。又因为上式中两个分量的振幅并不相等，所以此电磁波为右旋椭圆极化波。例6.9假定真空中一平面电磁波的波矢量kaxay，22其电场强度的振幅Em33(V/m)，极化于z轴方向。试求：1）电场强度的刹时表达式。2）对应的磁场强度矢量。解：（1）电场强度的刹时表达式为Er,taz33cos[txy](V/m)22其中kc3108(rad/s)2（2）对应的磁场强度矢量为文档实用标准1kE(t)1H(t)kakE(t)00403(ayax)cos[t(xy)](A/m)222例6.10真空中一平面电磁波的电场强度矢量为jzE2(axjay)e2(V/m)1）此电磁波是何种极化？旋向怎样？2）写出对应的磁场强度矢量。解：此电磁波的x分量的相位滞后于y分量的相位/2，且两分量的振幅相等，故此波为左旋圆极化波。其对应的磁场强度矢量为1azE2jzH(ayjax)e2(A/m)00例6.11证明随意方向极化的线极化波能够分解为振幅相同的左旋极化波和右旋极化波的迭加。证明：设线极化波的流传方向为z，取电场强度E的方向平行于x轴，有EaxE0ejkzaxE0ejkz1ayjE0ejkz1ayjE0ejkz221(axjay)E0ejkz1(axjay)E0ejkz22E1E2其中E1为左旋极化波，E2为右旋极化波，二者振幅相等。例6.12已知在自由空间中流传的电磁波电场强度为Eay10sin(6108t2z)，文档实用标准试问：(1)该波是不是平均平面波？试求波的频次、波长和相速；试求磁场强度的表达式；指出波的流传方向。解：要判断电磁波是不是平均平面波，首先需要确定该电磁波的波阵面，如果垂直于波流传方向的波阵面为平面，则波为平面波；若平面波的电磁场在波阵面上的散布不随坐标变化，则波为平均平面波。由给出的电场强度可知，电磁波的转播空间为直角坐标系，电磁波的等相位面（波阵面）为6108t2z，随着时间的增加，等相位面向z方向流传，EyEy0，故此电磁波波阵面为XOY平面，在XOY平面上，EayEy且yx为平均平面电磁波。(2)自由空间即指无源的真空地区，真空中的光速C3.0108(m/s)，故此电磁波的相速度vpC3.0108(m/s)；由Eay10sin(6108t2z)可知，波的角频次6108(rad/s)，波数k