微积分各章习题及详细

第一章函数极限与连续一、填空题1、已知f(sinx)1cosx，则f(cosx)。2(43x)22、lim2)。xx(1x3、x0时，tanxsinx是x的阶无量小。4、limxksin10建立的k为。x0x5、limexarctanxx6、f(x)ex1,xb,7、limln(3x1)x06x

。x0在x0处连续，则b。x0。8、设f(x)的定义域是[0,1]，则f(lnx)的定义域是__________。9、函数y1ln(x2)的反函数为_________。10、设a是非零常数，则lim(xa)x________。xa111、已知当x0时，(1ax2)31与cosx1是等价无量小，则常数a________。12、函数f(x)arcsin3x的定义域是__________。1x13、lim(x22x22)____________。x14、设lim(x2a)x8，则a________。xa15、lim(nn1)(n2n)=____________。n二、选择题1、设f(x),g(x)是[l,l]上的偶函数，h(x)是[l,l]上的奇函数，则中所给的函数必为奇函数。（Ａ）f(x)g(x)；（Ｂ）f(x)h(x)；（C）f(x)[g(x)h(x)]；（D）f(x)g(x)h(x)。2、1x3x(x)，(x)1x，则当时有。1x1（Ａ）是比高阶的无量小；（Ｂ）是比低阶的无量小；（C）与是同阶无量小；（D）~。3、函数f(x)1x1,x0(x1)在x0处连续，则k31x1。kx0（Ａ）3；（Ｂ）2；（C）1；（D）0。234、数列极限limn[ln(n1)lnn]。n（Ａ）1；（Ｂ）1；（C）；（D）不存在但非。xsinx0xx5、f(x)x0，则x0是f(x)的0。xcos1x0x（Ａ）连续点；（Ｂ）可去中断点；（C）跳跃中断点；（D）振荡中断点。6、以下各项中f(x)和g(x)同样的是（）（Ａ）f(x)lgx2，g(x)2lgx；（Ｂ），g(x)x2；（C）f(x)3x4x3322，g(x)xx1；（）1，g(x)secxtanx。Df(x)7、limsinx=（）0|x|（Ａ）1；（Ｂ）-1；（C）0；（D）不存在。18、lim(1x)x（）x0（Ａ）1；（Ｂ）-1；（Ｃ）e；（Ｄ）e1。9、f(x)在x0的某一去心邻域内有界是limf(x)存在的（）xx0（Ａ）充分必需条件；（Ｂ）充分条件；（C）必需条件；（D）既不充分也不用要条件.10、limx(x21x)（）x（Ａ）1；（Ｂ）2；（C）1；（D）0。11、设{an},{bn},{cn}均为非负数列，且2liman0,limbn1,limcn，则必有（）nnn（A）anbn对随意n建立；Bbncn对随意n建立；（）（C）极限limancn不存在；（D）极限limbncn不存在。nnx1e112、当x1的极限（）时，函数x21x1（Ａ）等于２；（Ｂ）等于０；（Ｃ）为；（Ｄ）不存在但不为。三、计算解答1、计算以下极限（1）lim2nsinx；（2）limcscxcotx；2n1xnx013x（3）lim(x1)；（4）lim2x1；x2x1x（5）lim8cos2x2cosx1；（6）lim1xsinxcosx；2cos2xcosx1xtanxxx03（7）lim1111；（8）limln(132x)。n223n(n1)x2arctan34x2３、试确立a,b之值，使limx21axb1。xx12４、利用极限存在准则求极限11111(1)lim231nn1。n11123n（2）设x1a0，且xn1axn(n1,2,)，证明limxn存在，并求此极限值。n5、议论函数f(x)limnxnx的连续性，如有中断点，指出其种类。nxnxn6、设f(x)在[a,b]上连续，且af(x)b，证明在(a,b)内起码有一点，使f( )。第一单元函数极限与连续习题解答一、填空题1、2sin2x。f(sinx)1(12sin2x)22sin2x，222f(x)22x2f(cosx)22cos2x2sin2x。、。lim(43x)29x224x160。20x(12)limx3xxxx3、高阶。limtanxxsinxlimtanx(1xcosx)lim(1cosx)0，x0x0x04、k0tanxsinx是x的高阶无量小。。sin1为有界函数，所以要使limxksin10，只需limxk0，即k0。xx0xx05、0。limexarctanx0(limex0,arctanx(,))。xx226、b2。limf(x)lim(xb)b，limf(x)lim(ex1)2，x0x0x0x0f(0)b,b2。7、1limln(3x1)lim3x1。2x06xx06x28、1xe依据题意要求0lnx1，所以1xe。9、yex12y1ln(x2),(y1)ln(x2)，x2ey1，xey12，y1ln(x2)的反函数为yex12。10、e2a原式=lim(1xax2ae2a。2a)2axaxxa311~1ax2（利用教材P58(11x2，以11、a由(1ax2)3x)a1:ax）与cosx1~23211ax2及lim(123ax)1lim312a1，x0cosx1x0x2323可得a。11212、x由反三角函数的定义域要求可得4213x1解不等式组可得1x1f(x)的定义域为1x11x42，4。1x0x1213、0limx22x22lim(x22x22)(x22x22)xxx22x22x2(x2lim22)0。22xx2x214、ln2lim(x2a)xlim(13a)x,令t=xa，所以x=3ataxxaxxa3a即：lim(x2a)xlim[(11)t]3ag(11)a=e3a8xxattt3aln8a1ln23ln8ln2。3315、2lim(nn1)(n2n)(nn1)2lim(n2n)nn2(111)lim2n2。n11n二、选择题1、选（Ｄ）令F(x)f(x)g(x)h(x)，由f(x),g(x)是[l,l]上的偶函数，h(x)是[l,l]上的奇函数，F(x)f(x)g(x)h(x)f(x)g(x)h(x)F(x)。2、选（Ｃ）lim(x)lim1xlim1x(x)x)(13x)x)[131(1x)]x1x1(1x1(1lim1x3（利用教材P58(1x)a1:ax）x112(1x)(1x)31x1x133、选（A）limf(x)limlim2（利用教材P58(1x)a1:ax）x0x031x1x01x2314、选（Ｂ）limn[ln(n1)lnn]limln(1)n1nnnf(0)15、选（Ｃ），f(0)0，f(0)06、选（Ｃ）在（A）中f(x)lnx2的定义域为x0，而g(x)2lnx的定义域为x0，f(x)g(x)故不正确在（B）f(x)x的值域为(,)，g(x)x2的值域为x0，故错在（D）中f(x)1的定义域为R，g(x)sec2xtanx的定义域为{xR,xk2}，f(x)g(x)，故错sinxsinx1，limsinxlimsinx7、选（Ｄ）limlim1x0|x|x0xx0|x|x0xlimsinx不存在x0|x|lim(11lim[1(1(1)e1，8、选（Ｄ）x)xx)]xx0x09、选（Ｃ）由函数极限的局部有界性定理知，limf(x)存在，则必有x0的某一去心邻域使f(x)有界，xx0而f(x)在x0的某一去心邻域有界不必定有limf(x)存在，比如limsin1，函数1sin11有界，xx0x0xx但在x0点极限不存在10、选（Ｃ）（Qlimx(x21x)limx(x21x)(x21x)lim2xxxx21xxx1xlim1112x11x211、选（D）（A）、（Ｂ）明显不对，因为有数列极限的不等式性质只好得出数列“当n充分大时”的情况，不行能得出“对随意n建立”的性质。（Ｃ）也明显不对，因为“无量小·无量大”是不决型，极限可能存在也可能不存在。x21112、选（D）lim1ex1lim(x1)ex1200x1x1x1x211lim1ex1lim(x1)ex1x1x1x1当x1。时函数没有极限，也不是三、计算解答1、计算以下极限：（1）解：lim2nsinxlim2nx2x。n1n1n2n2x2cscxcotx1cosx1cosx1（2）解：limlimsinxsinxlim2xlimxsinx。x01x0xx0x0x221（3）解：limx(ex1)limx1。xxx（4）解：lim(2x1)3xlim(12)3xlim[(11x11)22]3。x2x1x2x1xx1211[lim(11x[lim(11e3)2]3)2]3xx1xx122（5）解：lim8cos2x2cosx1lim(2cosx1)(4cosx1)x32cos2xcosx1x(2cosx1)(cosx1)3lim4cosx141122。1xcosx1132（6）解：lim1xsinxcosxlim1xsinxcosxxtanxxtanx(1xsinxcosx)x0x0limxsinx1cosxlimxsinxlim1cosx11322x22。x02xx0x02x244Qlim(1xsinxcosx)2x0（7）解：lim[111]x1223n(n1)lim[(11)(11)(1n1)]x223n1lim(11)1。xn11ln(132x)32x11（8）解：limlimlim()33。x2x2x2arctan34x234x22x4３、解：lim(x21axb)limx21ax2(ab)xbxx1xx1(1a)x2(ab)x(1b)1limx12x1a0a1(ab)132b21111n11４、（1）123n11111n1n2111111而lim11lim23nn11。xn1x111123n（2）先证有界（数学概括法）n1时，x2ax1aaa设nk时，xka，则xk1axka2a数列{xn}有下界，再证{xn}单一减，xn1axna且xn0xnxn1xnxn1xn即{xn}单一减，limxn存在，设limxnA，nn则有AaAA0（舍）或Aa，limxnanlimn2x11x0５、解：先求极限得f(x)2x0x0nn11x0而limf()1limf()1f(0)0x0xx0xf(x)的连续区间为(,0)(0,)0为跳跃中断点.。６、解：令F而F(a)F(b)f

(x)f(x)x，则F(x)在[a,b]上连续f(a)a0(b)b0由零点定理，(a,b)使F( )0即f( )0，亦即f( )。第二章导数与微分一、填空题1、已知f(3)2，则limf(3h)f(3)=。h02hf(x)=2、f(0)存在，有f(0)0，则lim。x0xarctan1，则yx3、yxx1=。4、f(x)二阶可导，yf(1sinx)，则y=；y=。5、曲线yex在点处切线与连结曲线上两点(0,1),(1,e)的弦平行。6、yln[arctan(1x)]，则dy=。7、ysin2x4，则dy=，dy=。dxdx28、若f(t)limt(11)2tx，则f(t)=。xxx29、曲线y1于点_________处的切线斜率为2。10、设yxex，则y(0)_______。11、设函数yy(x)由方程exycos(xy)0确立，则dy________。dx12、设x1t2则d2y________。ycostdx2二、单项选择1、设曲线y1和yx2在它们交点处两切线的夹角为，则tan=（）。1；x（Ｂ）1；（C）2；（Ｄ）3。（Ａ）3、函数f(x)etankx，且f()e，则k（）。41；（Ａ）1；（Ｂ）1；（C）（Ｄ）2。24、已知f(x)为可导的偶函数，且limf(1x)f(1)2，则曲线yf(x)在(1,2)处切线的方程x02x是。（Ａ）y4x6；（Ｂ）y4x2；（C）yx3；（Ｄ）yx1。5、设f(x)可导，则limf2(xx)f2(x)=。x0x0（Ａ）；（Ｂ）2f(x)；（C）2f(x)；（Ｄ）2f(x)f(x)。6、函数f(x)有随意阶导数，且f(x)[f(x)]2，则f(n)(x)=。（Ａ）n[f(x)]n1；（Ｂ）n![f(x)]n1；（C）(n1)[f(x)]n1；（Ｄ）(n1)![f(x)]2。7、若f(x)x2，则lim0f(x02x)f(x0)=（）xx2x0；（Ｂ）x0；4x0；4x（Ａ）（C）（Ｄ）。8、设函数f(x)在点x0处存在f(x0)和f(x0)，则f(x0)f(x0)是导数f(x0)存在的（）（Ａ）必需非充分条件；（Ｂ）充分非必需条件；（C）充分必需条件；（Ｄ）既非充分又非必需条件。9、设f(x)x(x1)(x2)(x99)则f(0)（）（Ａ）99；（Ｂ）99；（C）99!；（Ｄ）99!。10、若f(u)可导，且yf(x2)，则有dy（）（Ａ）xf(x2)dx；（Ｂ）2xf(x2)dx；（C）2f(x2)dx；（Ｄ）2xf(x2)dx。11、设函数f(x)连续，且f'(0)0，则存在0，使得（）（A）f(x)在(0,)内单一增添；（B）f(x)在(,0)内单一减少；（C）对随意的x(0,)有f(x)f(0)；（D）对随意的x(,0)有f(x)f(0)。210在x0处可导，则（12、设f(x)xsinxx）axbx0A）a1,b0C）a0,b0三、计算解答1、计算以下各题

；（B）a0,b为随意常数；；（C）a1,b为随意常数。sin21xlnt2x，求dy；，求dyt1；（1）ye（2）yt3dx2（3）xarctanyy，d2y；（4）ysinxcosx，求y(50)；dx2（5）y(x)x，求y；1x（6）f(x)x(x1)(x2)(x2005)，求f(0)；（7）f(x)(xa)(x)，(x)在xa处有连续的一阶导数，求f(a)、f(a)；（8）设f(x)在x1处有连续的一阶导数，且f(1)2，求limdf(cosx1)。x1dx2、试确立常数a,b之值，使函数f(x)b(1sinx)a2x0到处可导。eax1x03、证明曲线x2y2a与xyb（a,b为常数）在交点处切线互相垂直。4、一气球从距离察看员500米处离地匀速铅直上涨，其速率为140米/分，当此气球上涨到500米空中时，问察看员视角的倾角增添率为多少。5、若函数f(x)对随意实数x1,x2有f(x1x2)f(x1)f(x2)，且f(0)1，证明f(x)f(x)。6、求曲线yx3325上过点(1,3)处的切线方程和法线方程。x第二章导数与微分习题解答一、填空题1、1limf(3h)f(3)limf(3h)f(3)(1)1f(3)1h02hh0h222、f(0)limf(x)limf(x)f(0)f(0)x0xx0x03、lnxyxlnx1y|x1lnx4、f(1sinx)cosx，f(1sinx)cos2xf(1sinx)sinxyf(1sinx)cosx，yf(1sinx)cos2xf(1sinx)sinx5、(ln(e1),e1)弦的斜率ke1e110y(ex)exe1xln(e1)，当xln(e1)时，ye1。6、dxarctan(1x)[1(1x)2]dy1x)d[arctan(1x)]11x)2d(1x)arctan(1arctan(1x)1(1dxarctan(1x)[1(1x)2]7、4x3sin2x4，2x2sin2x4dy2sinx4cosx44x34x3sin2x4dydydx2x2sin2x4dx22xdx18、e2t2te2tf(t)limt(1)2txte2tf(t)e2t2te2txx9、(1,2)，由2x02x01，y01212x21在点(1,2)处的切线斜率为210、2yexxex，yexexxexy(0)e0e0211、exyysin(xy)方程两边对x求导得exy(1y')sin(xy)(yxy')0exyxsin(xy)解得y'exyysin(xy)。exyxsin(xy)12、sinttcost由参数式求导公式得dyyt'sint，4t3dxxt'2t再对x求导，由复合函数求导法得d2yd(yx')(yx')t'1tcostsint1sinttcost。dx2dxxt'2t22t4t3二、选择题y1交点为(1,1)，k1(1)|x11，k2(x2)|x121、选（Ｄ）由xyx2xtan|tan(21)||k2k1|31k1k23、选（Ｃ）tankxk12f(xektanxsecx)由f( )e得ek2ek124f(1x)f(1)f(1x)f(1)4、选（A）由limlimx02xx02xlimf(1x)f(1)(1)f(1)(1)2f(1)4x0x22切线方程为：y24(x1)即y4x65、选（Ｄ）limf2(xx)f2(x)[f2()]2f(x)f(x)xx06、选（Ｂ）f(x){[f(x)]2}2f(x)f(x)2f3(x)f(x)[2f3(x)]23f2(x)f(x)23f4(x)设f(n)(x)n!fn1(x)，则f(n1)(x)(n1)!fn(x)f(x)(n1)!fn2(x)f(n)(x)n!fn1(x)7、选（Ｃ）limf(x02x)f(x0)lim2f(x02x)f(x0)(x0)x2x2fx0x0又f(x)(x2)2x，2f(x0)4x08、选（Ｃ）f(x)在x0处可导的充分必需条件是f(x)在x0点的左导数f(x0)和右导数f(x0)都存在且相等。9、选（Ｄ）f(x)(x1)(x2)(x99)x(x2)(x99)x(x1)(x3)(x99)x(x1)(x2)(x98)f(0)(01)(02)(099)(1)9999!99!另解：由定义，f(0)limf(x)f(0)lim(x1)(x2)(x99)x0x0x0(1)9999!99!10、选（Ｂ）[f(x2)]f(x2)(x2)2f(x2)dy2xf(x2)dx11、由导数定义知f(x)f(0)0，f'(0)limxx0)时f(x)f(0)再由极限的保号性知0,当x(,x0，进而当x(,0)(x(0,))时，f(x)f(0)0(0)，所以C建立，应选C。12、由函数f(x)在x0处可导，知函数在x0处连续limf(x)limx2sin10,limf(x)lim(axb)b，所以b0。x0x0xx0x0f(x)f(0)x2sin1f(x)f(0)ax又flimx0,f(0)lima，(0)limx0xx0xx0x0x0所以a0。应选C。三、计算解答1、计算以下各题sin211)sin211cos12)dx12sin21（1）dyexd(sin2ex2sin1(sin2exdxxxxxxx（2）dy3t23t3，d2y9t29t3，d2ydx1dx21dx2|t19t1t（3）两边对x求导：1yyyy211y2y2y3y2y3(y21)23(121)yy（4）ysinxcosx1sin2x2ycos2xsin(2x)y2cos(2x2)2sin(2x2)22设y(n)2n1sin(2xn)2则y(n1)2ncos(2xn)2nsin(2x(n1)2)2y(50)249sin(2x50)249sin2x2（5）两边取对数：lnyx[lnxln(1x)]两边求导：1ylnxln(1x)1xy1xy(x)x[lnxln(1x)1x]1x1x（6）利用定义：f(0)limf(x)f(0)lim(x1)(x2)(x3)(x2005)2005!xx0x0（7）f(x)(x)(xa)(x)f(a)(a)又f(a)limf(x)f(a)lim(x)(xa)a(x)(a)xaxaxax(x)(a)(x)](a)(a)2(a)lim[xaxa[注：因(x)在xa处能否二阶可导不知，故只好用定义求。]（8）limdf(cosx1)lim[f(cosx1)(sinx1)21]x1dxx1x1limf(cosx1)limsinx1f(1)(1)1x1x12x122、易知当x0时，f(x)均可导，要使f(x)在x0处可导则f(0)f(0)，且f(x)在x0处连续。即limf(x)limf(x)f(0)x0x0limf(x)ba2ab20而x00limf(x)x0又f(0)limf(x)f(0)lim(1sinx)a2ba2bx0x0x0xf(0)limeax1ba2limeax1limaxax0xx0xx0x由aba1ab20b13、证明：设交点坐标为(x0,y0)，则x02y02ax0y0b对x2y2a两边求导：2x2yy0yxy曲线x2y2a在(x0,y0)处切线斜率k1y|xx0x0y0又由xybybybxx2b曲线xyb在(x0,y0)处切线斜率k2y|xx02x0又k1k2x0(b)b1y0x02x0y0两切线互相垂直。4、设t分钟后气球上涨了x米，则tanx500两边对t求导：sec2d1dx1407d7dt500dt50025cos2dt25当x500m时，4d717（弧度/分）当x500m时，dt252505、证明：f(x)limf(xh)f(x)limf(x)f(h)f(x0)h0hh0hf(x)f(h)f(x)f(0)f(h)f(0)limhlimf(x)hh0h0f(x)f(0)f(x)6、解：因为y3x26x，于是所求切线斜率为k3x26x|13，1x进而所求切线方程为y33(x1)，即3xy60又法线斜率为k211k13所以所求法线方程为y31(x1)，即3第三章中值定理与导数应用一、填空题1、limxlnx__________。x02、函数fx2xcosx在区间______________单一增。3、函数fx48x33x4的极大值是____________。4、曲线yx46x23x在区间__________是凸的。5、函数fxcosx在x0处的2m1阶泰勒多项式是_________。6、曲线yxe3x的拐点坐标是_________。7、若fx在含x0的a,b（此中ab）内恒有二阶负的导数，且_______,则fx0是fx在a,b上的最大值。8、yx32x1在,内有__________个零点。9、limcotx(11)________。x0sinxx10、lim(11)_________。x0x2xtanx11、曲线yex2的上凸区间是___________。12、函数yexx1的单一增区间是___________。二、单项选择1、函数f(x)有连续二阶导数且f(0)0,f(0)1,f(0)2,则limf(x)x（）x2x0（Ａ）不存在；（Ｂ）0；（Ｃ）-1（Ｄ）-2。；2、设f(x)(x1)(2x1),x(,),则在(1,1)内曲线f(x)（）2（Ａ）单一增凹的；（Ｂ）单一减凹的；（Ｃ）单一增凸的；（Ｄ）单一减凸的。3、f(x)在(a,b)内连续，x0(a,b),f(x0)f(x0)0，则f(x)在xx0处（）（Ａ）获得极大值；（Ｂ）获得极小值；（Ｃ）必定有拐点(x0,f(x0))；（Ｄ）可能获得极值，也可能有拐点。4、设f(x)在a,b上连续，在(a,b)内可导，则Ⅰ：在(a,b)内f(x)0与Ⅱ：在(a,b)上f(x)f(a)之间关系是（）（Ａ）Ⅰ是Ⅱ的充分但非必需条件；（Ｂ）Ⅰ是Ⅱ的必需但非充分条件；（Ｃ）Ⅰ是Ⅱ的充分必需条件；（Ｄ）Ⅰ不是Ⅱ的充分条件，也不是必需条件。5、设f(x)、g(x)在a,b连续可导，f(x)g(x)0，且f(x)g(x)f(x)g(x)，则当axb时，则有（）（Ａ）f(x)g(x)f(a)g(a)；（Ｂ）f(x)g(x)f(b)g(b)；（Ｃ）f(x)f(a)；（Ｄ）g(x)g(a)。g(x)g(a)f(x)f(a)6、方程x33x10在区间(,)内（）（Ａ）无实根；（Ｂ）有独一实根；（Ｃ）有两个实根；（Ｄ）有三个实根。7、已知f(x)在x0的某个邻域内连续，且f(0)0，limf(x)2，则在点x0处f(x)（）cosxx01（Ａ）不行导；（Ｂ）可导，且f'(0)0；（C）获得极大值；（Ｄ）获得极小值。８、设f(x)有二阶连续导数，且f'(0)0，limf"(x)1，则（）x0|x|（Ａ）f(0)是f(x)的极大值；（Ｂ）f(0)是f(x)的极小值；（Ｃ）(0,f(0))是曲线yf(x)的拐点；（Ｄ）f(0)不是f(x)的极值点。9、设a,b为方程f(x)0的二根，f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，则f'(x)在(a,b)内（）（A）只有一实根；（B）起码有一实根；（C）没有实根；（D）起码有2个实根。10、在区间[1,1]上知足罗尔定理条件的函数是（）（A）f(x)1（B）f(x)|x|；x2；22（C）f(x)1x；（D）f(x)。x2x111、函数f(x)在区间(a,b)内可导，则在(a,b)内f'(x)0是函数f(x)在(a,b)内单一增添的（）（A）必需但非充分条件；（B）充分但非必需条件；（C）充分必需条件；（C）没关条件。12、设yf(x)是知足微分方程y"y'esinx0的解，且f'(x0)0，则f(x)在（）（A）x0的某个邻域单一增添；（B）x0的某个邻域单一减少；（Ｃ）x0处获得极小值；（Ｄ）x0处获得极大值。三、计算解答1、计算以下极限(1)limarccosx；(2)limlncotx；x1x1x0lnx(3)exesinx(4)lim11ln(1x)lim2ln(1；xx2；x0xx)x0(5)xarctanx；(6)limlntan(ax)。limx3lntan(bx)x0x02、证明以下不等式(1)、设bae，证明abba。(2)、当0x2时，有不等式tanx2sinx3x。3、已知yx3sinx，利用泰勒公式求y(6)(0)。、试确立常数a与n的一组数，使适当x0时，axn33为等价无量小。4与ln(1x)x5、设f(x)在a,b上可导，试证存在(ab)，使1b3a323f( )f()。baf(a)f(b)6、作半径为r的球的外切正圆锥，问此圆锥的高为什么值时，其体积V最小，并求出该体积最小值。7、若f(x)在[0,1]上有三阶导数，且f(0)f(1)0，设F(x)x3f(x)，试证：在(0,1)内起码存在一个，使F"'( )0。第三章中值定理与导数应用习题解答一、填空题lnx11、0limxlnxlimlimxlim()011x0x0x0x0xx22、(,)f(x)2sinx0f(x)在(,)上单一增3、20f(x)24x212x312x2(x2)令f(x)0x10,x22当x2时，f(x)0；当x2时，f(x)0极大值为f(2)204、(1,1)y4x312x3，y12x21212(x1)(x1)当x1时，y0.当x(1,1)时，y0；当x(1,)时，y0曲线在(1,1)上是凸的5、11x21x4(1)m1x2m（赐教材P13页，泰勒公式）2!4!(2m)!6、(2,2e2)ye3x3xe3xe3x(13x)，33y3e3x(13x)3e3xe3x(9x6)9e3x(x2)2223令y0x0；当x时y0，当x时，y333而当x2时，y2e2拐点为(2,2e2)33337、f(x0)0,f"(x0)limf(x)f(x0)limf(x)0f(x)0xx0xx0xx0xx0xx0当xx0时，f(x0)0,f(x)单一增添；当xx0时，f(x)0,f(x)单一减少8、1y3x220，y在(,)上单一增添又limylimy.在(,)内有1个零点。xx9、1原式cosx(xsinx)limcosxlimxsinx1cosx1。6limxsin2xx3lim3x26x0x0x0x010、1原式=limtanxxlimtanxxlimsec2x11limtan2x1。3x0x2tanxx0x3x03x23x0x2311、(2,2)y'2xex2,y"[2(2x)2]ex2令y"0x2，当x(2,2)时，22222y"0，上凸，其余区间y"0，上凹，故应填入(2,2)。ex22ex12、(0,)函数yx1的定义区间为(,)，在定义区间内连续、可导，且y'1，因为在(0,)内y'0，所以函数yexx1在(0,)上单一增添。二、选择题1、选（Ｃ）f(x)xlimf(x)1f(x)1limx22xlim2x0x0x02、选（Ｂ）当x(1,1)时，f(x)0，又f(x)4x14(x1)0x(1,1)242(x)在(1,1)上单一减且为凹的。23、选（Ｄ）f(x)x3，则f'(0)f"(0)0，x0是f(x)x3的拐点；设f(x)x4，则f'(0)f"(0)0，而x0是f(x)x4的极值点。(a,b)内f(x)C（C为常数），又因为f(x)、选（Ｃ）由f(x)在(a,b)内f(x)0的充分必需条件是在4在[a,b]内连续，所以Cf(a)，即在(a,b)上f(x)f(a)。5、选（Ｃ）由f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)0[f(x)]0f(x)单一减少，x(a,b)g(x)g(x)f(x)f(a)g(x).f(b)6、选（Ｄ）令f(x)x33x1，则f(x)3x233(x1)(x1)；当x1时，f(x)0，f(x)单一增添，当x(1,1)时，f(x)0，f(x)单一减少当x(1,)时，f(x)0，f(x)单一增添.而f(1)3，f(1)1limf(x)，limf(x)xxf(x)在(,1)上有一实根，在[1,1]上有一实根，在(1,)上有一实根。７、选（Ｄ）利用极限的保号性能够判断f(x)的正负号：limf(x)20f(x)0（在x0的某空心邻域）；cosx1cosxx01由1cosx0，有f(x)0f(0)，即f(x)在x0取极小值。8、选（Ｂ）由极限的保号性：f"(x)10f"(x)（在x的某空心邻域）；由此f"(x)（在x0的某空心邻域），|x||x|x0f'(x)单一增，又由f'(0)0，f'(x)在x0由负变正，由极值第一充分条件，x0是f(x)的极小点。9、选（B）由罗尔定理保证起码存在一点(a,b)使f'()0。10、选（C），A选项f(x)在x0不连续，B选项f(x)在x0处不行导，D选项f(1)f(1)。11、选（B），如yx3在(,)单增，但f'(0)0，故非必需条件。12、选（Ｃ），由f'(x0)0有y"(x0)esinx0y'(x0)esinx00，所以f(x)在x0处获得极小值。三、计算解答1、计算极限（1）解：limarccosxx1x111lim2arccosx1x2lim1111arccosx1x2x1x12x1lncotx1(csc2x)xsinx(2)解：limlimcotxlim1。lnx1xx0x0x0cosxsin2x(3)解：limexesinxlimesinx(exsinx1)limxsinxlim1cosx1x0x2ln(1x)x0x3x0x3x03x26(4)解：lim[11ln(1limxln(1x)11111xlim[x)]limx)]x0xx2x0x2x02xx02(12xarctanx11x21(5)解：limlim1x2lim。3222x0xx03xx03x(1x)31sec2(ax)atan(bx)sec2(ax)a(6)解：limlntan(ax)limtan(ax)limx0lntan(bx)x012bx0tan(ax)sec2(bx)btan(bx)sec(bx)limbxcos2(bx)a1x0axcos2(ax)b2、(1)证明：abbablnaalnb令f(x)xlnaalnx，则f(x)在[a,b]上连续f(x)lnaa0x[a,b]xf(x)在[a,b]上单一增添，f(b)f(a)得blnaalnbalnaalna0，即abba(2)令f(x)tanx2sinx3x在x(0,)时2f(x)sec2x2cosx31cosxcosx3331cosxcosx30cos2xcos2xf(x)0，f(x)在(0,)上单一增，又Qlimf(x)lim(tanx2sinx3x)02x0x0x(0,2),f(x)limf(x)0，即tanx2sinx3xx03、解：麦克劳林公式f(x)f(0)f(0)xf(0)x2f(n)(0)xno(xn)2!n!而sinxxx3x5(1)m1x2m1(x2m)3!5!(2m1)!oyx3sinxx4对照x6的系数有：4、解：limaxnx3)x3x0ln(1n6，an135、即证：b3f(b)a3f(a)ba

x6x83!5!f(6)(0)1f6!3!limanxn13x23x2x031xa122[3f()f(

(6)(0)6!1203!lim[anxn6(1x3)]1x03)]令F(x)3f( )xx，则F(x)在[a,b]上知足拉格朗日定理的条件F(b)F(a)F( )(a,b)，使ba即b3f(b)a3f(a)32f( )3f( )ba即1b3a32[3f( )f( )]af(a)f(b)b6、解：设圆锥的高为h，底面圆半径为R，则有比率关系hrrR2hr2h2R2Rh2rV1R2h1h2r2(h33h2rdV12hr2(h2r)h2r213dh3(h2r)2令dV0独一驻点h4rdh所以，当h4r时，体积最小，此时

2r)2hr(2h4rh)V116r2r28r334r2r37、解：由题设可知F(x),F'(x),F"(x),F"'(x)在[0,1]上存在，又F(0)F(1)，由罗尔定理，1(0,1)使F'(1)0，又F'(0)[3x2f(x)x3f'(x)]|00，可知F'(x)在[0,1]上知足罗尔定理，于是x2(0,1)，使F"(2)0，又F"(0)[6xf(x)6x2f'(x)x3f"(x)]|x00，对F''(x)在[0,2]上再次利用罗尔定理，故有(0,2)(0,1)(0,1)，使得F"'( )0。第四章不定积分一、填空题1、2、3、4、5、6、

xdx=___________。dxx2=_____________。x(x23x2)dx=_____________。cos2xdx=___________。cosxsinxdx1=____________。cos2xsintdt=___________。t7、xsinxdx=___________。8、arctanxdx=__________。9、sin2xdx____________。1sin2x10、xf(x)dx____________。11、1dx________________。(x3)x112、dx__________。x22x5二、单项选择1、对于不定积分fxdx，以下等式中（）是正确的.（A）dfxdxfx；（B）fxdxfx；（C）dfxfx；（D）dfxdxfx。dx2、函数fx在,上连续，则dfxdx等于（）（A）fx；（B）fxdx；（C）fxC；（D）fxdx。3、若Fx和Gx都是fx的原函数，则（）（A）FxGx0；（B）FxGx0；（C）FxGxC(常数)；（D）Fx＋GxC(常数)。4、若f(x3)dxx3c，则f(x)（）（A）6x35c；（B）9x35c；（C）x3c；（D）xc。555、设f(x)的一个原函数为xlnx，则xf(x)dx（）（A）x2(11lnx)c；（B）x2(11lnx)c；2442（C）x2(11lnx)c；（D）x2(11lnx)c。42246、设f(x)dxx2c，则xf(1x2)dx（）（A）2(1x2)2c；（B）2(1x2)2c；（C）1(1x2)2c；（D）1(1x2)2c。22７、ex1dx（）ex1（A）ln|ex1|c；（C）x2ln|ex1|８、若f(x)的导函数为

（B）ln|ex1|c；c；（D）2ln|ex1|xc。sinx，则f(x)的一个原函数是（）（A）1sinx；（B）1sinx；（C）1cosx；（D）1cosx。９、F'(x)f(x),f(x)为可导函数，且f(0)1，又F(x)xf(x)x2，则f(x)=（）（A）2x1；（B）x21；C2x1；Dx21。（）（）10、32x23xdx（）2x（A）3x2ln3(3)xC；（B）3x2x(3)x1C；222（C）3ln32(3)xC；（D）3xln32ln2(3)xC。ln22211、3xexdx=（）（A）13xexC；（B）113xexC；（Ｃ）13xex；（D）113xex。ln3ln3ln3ln312、12sec21dx=（）xx（Ａ）tan1C；（Ｂ）tan1C；（Ｃ）cot1C；（Ｄ）cot1C。xxxx三、计算解答1、计算以下各题(1)xdx；(2)x1dx；a2x2x24x13(3)xarccosxdx；(4)xexdx；1x2ex1(5)xsin2xdx；(6)ln1exdx。sin2xtan2x，当0ex2、设fcos2xx1时求fx。3、设Fx为fx的原函数，当x0时有fxFxsin22x，且F01,Fx0，求fx。4、确立A、B使下式建立dxAsinxdx12cosx21B12cosx2cosx5、设fx的导数fx的图像为过原点和点2,0的抛物线，张口向下，且fx的极小值为2，极大值为6，求fx。第四章不定积分习题解答一、填空题5351、2x2Cxxdxx2dx2x2C。553532、2x2Cdxx2dx2x2C。3x2x33、1x33x22xC(x23x2)dx1x33x22xC。32324、sinxcosxCcos2xdxcos2xsin2xdxcosxsinxcosxsinx(cosxsinx)dxsinxcosxC。5、1tanxC1dx1dx11sec2xdx1tanxC。2cos2x2cos2x226、2costCsintdt2sintdt2costC。t7、xcosxsinxCxsinxdxxdcosxxcosxcosxdxxcosxsinxC。8、xarctanxarctanxCarctanxdxxarctanxdarctanxxarctanxarctanxC。9、ln(1sin2x)C1sin2xdx2sinxcosxdxsin2x1sin2xdsin2xln(1sin2x)C。1sin2x10、xf(x)f(x)Cxf(x)dxxdf(x)xf(x)f(x)dxxf(x)df(x)xf(x)f(x)C11、2arctan(x1)C令x1t，则xt212原式(t21d(t21)2dt2)tt2221d(t)2arctan(t)C2arctan(x1)C121222()212、1arctanx21Cdxdx1arctanx1C。2x22x5(x1)2422二、选择题1、选（Ｄ）。由dfxdxfxdx，fxdxfxC，dfxfxC知（A）、（B）、（Ｃ）选项是错的，故应选Ｄ。2、选（Ｂ）。由微分的定义知d[f(x)dx]f(x)dx。3、选（Ｃ）。函数f(x)的随意两个原函数之间相差一个常数。4、选（B）两边对f(x3)dxx3C微分得2f(x3)3x2,f(t)3t325f(x)f(x)dx3x3dx9x3C55、选（B）原式xdF(x)xd(xlnx)x2lnxxlnxdxx2x2lnxxdxx2(1lnx1)C212241(1x2)C6、选（C）xf(1x2)dxf(1x2)d(1x2)22７、选（D）ex1dxex1212ex1exdxexdx11ex1xx2(ex1)exdxx2ex(ex1)dex2(1xex1)dexx2x2ln|ex1|Ce1x2ln|ex1|C8、选（B）由题意知f'(x)sinx，f(x)cosxC1，f(x)2的原函数为f(x)dxsinxC1xC，取C10,C21，应选B。9、选（C）由F(x)F'(x)f(x)所以f(x)

xf(x)x2两边求导得xf'(x)2x，又F'(x)f(x)，所以f'(x)2，2dx2xC，又因为f(0)1，所以C1,f(x)2x1。10、选（Ｄ）

32x

23xdx[32(3)x]dx3x21(3)xC2x232ln23x21ln2(3)xC。ln3211、选（B）3xexdx(3e)xdx1(3e)x13xex。ln3e1ln312、选（Ｂ）12sec21dx(12)sec21dxsec21d1tan1C。xxxxxxx三、计算解答1、计算以下各题x11(1)解：dx(a2x2)2d(a2x2)a2x2C；a2x22d(x2(2)解：x2x1dx12x42dx14x13)d(x2)4x132x24x132x24x13(x2)2321ln(x24x13)1arctanx2C；233(3)解：xarccosx21x2dxarccosxd(1x)1x2arccosx1x2(11)dxx21x2arccosxxC；(4)解：xexdx令ex1t，则xln(t21)ex1得ln(t21)(t21)2tdttt212t22ln(t21)dt2tln(t21)2dt2tln(t2t211)4(tarctant)C2ex1x4ex14arctanex1C；(5)解：xsin2xdxx1x21xdsin2x44(6)解：ln(1ex)dxex

1cos2xdx1xdx1xcos2xdx2221x21xsin2x1cos2xC；448ln(1ex)d(ex)exln(1ex)exxxedx1eexln(1ex)1exexdxexln(1ex)1exex)xln(1C。2、解：f(sin2x)cos2xtan2x12sin2xsin2x1sin2xx1f(x)12xx2x0xsin211x1f(x)f(x)dx(2xx1)dxx2ln|x1|Cx21ln(1x)C3、解：对f(x)F(x)sin22x两边积分：f(x)F(x)dxsin22xdxF(x)dF(x)1cos4xdx1F2(x)x1sin4x2C228由F(0)1知C1又F(x)0得F(x)x1sin4x141(x1sin4x1f(x)F(x)1)2(1cos4x)244、解：由dxAsinx(12cosx)212cosx1(1B2Bcos2xdx1Asinx2cosx)2cosx由不定积分的定义：有(Asinx12cosx即Acosx(12cosx)2Asin2x(12cosx)2对此导数：A2B22A1BA35、解：设fxax2bxc(a( )

Bdx整理得12cosxC1B2Bcosx)(12cosx)2Acosx2A1B2Bcosx(12cosx)2(12cosx)2，B1（也可直接两边求导求解）30)由f(0)0，c0.由f(2)04a2b0b2af(x)ax22ax令f(x)0驻点x10，x22又f(x)2ax2af(0)2a0，x0为极小值点，f(0)2f(2)2a0，x2为极大值点，f(2)6而f(x)f(x)dx(ax22ax)dxax3ax2c3a84acba3由3c2c2f(x)x33x22第五章定积分一、填空题5sin21、4(1x)dx=__________。442、1xdx=___________。13、4sin3xdx_________。01arcsinx________。4、dx01x21xdx________。5、10x221x2dx________。6、07、设fx,dsinx2tdt在上连续，则fx2dx3x8、设fx2tdtx3，则f2在0,4上连续，且f1e3dx9、。x1lnx110、dx。xx21111、2sinxx43x21。1x2cosxdxf'(x)dxb12、___________，f(2x)dx_____________。a13、1sinxdx__________。0二、单项选择1、lim111（）n1n2nnn（A）0；（B）e；（C）ln2；（D）1。2、若fxdxx等于（）。sintxdt，则fdx0（A）sinx；（B）1cosx；（C）sinx；

。。（D）0。3、定积分2xxexdx的值是（）。2（A）0；（B）2；（C）2e2+2；（D）6。12e24、设fu连续，已知n2xdxtftdt，则n=（xf0）0（A）1/4；（B）1；（C）2；（D）4。5、若连续函数fx知足关系式fx2xftdtln2，则fx0等于（）。2（A）exln2；（B）e2xln2；（C）exln2；（D）e2xln2。6、设M2sinx222x4cosxdx，N2(sinxcosx)dx，212P2(x4sin5xcos2x)dx则有（）2（A）NPM；（B）MpN；（C）NMP；（D）PMN。7、设f(x)x2x2sin10x则当x0时，f(x)是g(x)的cos(t2)dt,g(x)0（A）等价无量小；（B）同阶但非等价无量小；（C）高阶无量小；（D）低阶无量小。x8、设f(x)是连续函数，且F(x)x2（A）exf(ex)2xf(x2)；（B）（C）exf(ex)2xf(x2)；（D）

f(t)dt，则F(x)等于（）exf(ex)f(x2)；exf(ex)f(x2)。9、设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，且f(xxx10)，则方程f(t)dtdt0在开区间(a,b)内abf(t)的根有（）（A）0个；（B）1个；（C）2个；（D）无量多个。10、设f(x)连续，则dxt2)dttf(x2（）dx0（A）xf(x2)；（B）xf(x2)；（C）2xf(x2)；（D）2xf(x2)。11、设f(x)是连续函数，且f(x)x21f(t)dt，则f(x)=（0）（A）x1；（B）x1；（Ｃ）x1；（D）x1。x12、limcost2dt0x=（）x01（Ａ）１；（Ｂ）０；（Ｃ）（Ｄ）。；三、计算解答1、计算以下各题2x34x2dx；4xdx；(1)0(2)x1(3)21xarcsinxdx；(4)2x2211x2cosxdx；22xxt)dtsin2tdtln(1(5)lim0x3；(6)lim0x2。x0x02、已知fx在x12的邻域内可导，且limfx0,limfx997，求x12x12x12ududt12tflimt。12x3x123、设fxxlnt0，求fx1。11dt此中xftx4、证明方程lnxx1cos2xdx在区间0,内有且仅有两个不一样实根。e02aMa5、已知fx在0,a上连续，且f0fxdx0，证明2，此中0Mmaxfx。axb6、已知fx在0,1上连续，定义gxxtdt,hxxtftdt,x0,1，证明hxxfxgudu，000并求hx。第五单元定积分习题解答一、填空题1、35sin2x)dx5(11cos2x)dx35154(144dx4cos2xdx24422424531sin2x|43。2442334413332、2(5222)1xdx(1x)2d(1x)1(1x)2|142(5222)。31111323、5224sin3xdx4(1cos2x)dcosx1cos3x|04cosx|04522。1230031232111(arcsinx)2|101()224、8arcsinxdxarcsinxd(arcsinx)。01x202122811x111115、dxdx221|。ln20x2120x2ln|xln2212026、221x2dx2x22x1dx1x3x222x3003037、1两边求导：2xf(x22)1，令x2得f(2)144e3dxe318、2x(1lnx)2d(1lnx)21lnx1e3211lnx19、1ln2210、011、f(x)

dx1x121)121(2)dxlnxln(xx(x1)xx121lim(lnxlnx21)01ln21ln2x22[2sinx(x43x221)cosx]dx2cosxdx2sinx001x0C，1[f(2b)f(2a)]2f'(x)dxf(x)Cb2x2bf(u)1du1f(u)|22ab1[f(2b)f(2a)]f(2x)dx令u2aa22212、4(21)原式(sinxcosx)2dx|sinxcosx|dx0220222(cosxx(sinxcosx0sin)dx2)dx22222[(sinxcosx)|02(cosxsinx)|2]22224(21)二、选择题1、选（Ｃ）lim(11)nn1nnlim1(1111dxln(1x)1ln2n11121)1x0nn0nnn2、选（A）dxdtxxxf(x)sin(tx)dt)sindx0dx2(|x|x)e|x|dx00dx22xex|022ex|022e23、选（Ｃ）2xexdx222012xt得n2t1n24、选（Ｄ）nxf(2x)dx令(t)dt(t)dtf24tfn40020f(x)2f(x)5、选（Ｂ）两边求导因为M0,N02cos2xdx0，P02206、选（D）2cos2xdx00f(x)0x2x2cos(t2)dt22cosx4x810lim27、选（B）lim0limx1010x85x810x0g(x)x0x08、选（A）F'(x)f(ex)(ex)'f(x2)(x2)'exf(ex)2xf(x2)。9、选（B）因为F(x)xx1dt，则有f(t)dtabf(t)F(a)a1dtbf(t)dt0f(t)0，F(b)ba又F(x)f(x)10.可知F(x)是严格增的，由介值定理知存在独一的一个，使F( )0。f(x)10、选（A）第一经过积分换元，把被积函数中的参变量x“解脱”出来：x221x2222x2t2u10)dt)d(xt)tf(xt2f(xt2x2f(u)du00由此，原式=1dx2f(u)duxf(x2)。12dx01a，则有恒等式f(x)x2f(t)dt。为求常数11、选（A）设f(t)dt00

1x2f(u)du20，两边取由０到１的积分得111axdx2a，解得axdx。由此，f(x)x1。002x22costdt12、选（A）lim10limcosxx0xx01三、计算解答1、计算以下各题24x2dx令x2sint(1)解：x3得028sin3t2cost2costdt322(cos2x1)cos2tdcost0032(1cos5x1cos3t)02645315(2)解：x|x|dxx|x|dx351462144111551111(3)解：2xarcsinxdx2arcsinxd122arcsinx2x211x21x1x112222316(4)解：2(xcos2x)2dx2(x22xcos2xcos4x)dx22(x2cos4x)dx220231cos2x2312x222)dx2(12cos2x300(21220cos2x)dx31x|021sin2x|021x|021sin4x|0233121222488xsin2tdt2limsin1。(5)解：lim0x3xx0xx03x23ln(1t)dt1。(6)解：lim0x2limln(1x)lim1x0x02xx02(1x)2x1212xx2、解：lim[tf(u)du]dtxf(u)duf(u)du12tx)3limxx)2lim12x)2x12(12x123(12x123(12xxf(x)limf(u)dulimf(x)f(x)xf(x)12x126(12x)x1261299719946f(1)1lntdt13、解：xtx11tu

x1

ln1(1)du1u2uxlnuxlnuduxlntu2duu(u1)t(t1)1u11f(x)f(1xlntdtxlnt)1tt(tdtx111)xlntdt1ln2x1ln2xt2t|1124、解：01cos2xdx02sin2xdx

dtx[lntlnt]dt11tt(t1)2sinxdx2cosx|0220令f(x)lnxx2211exe则f(x)eexx令f(x)0驻点xe在(0,e)内，f(x)0，f(x)单一增添.在(e,)内f(x)0，f(x)单一减少又limf(x)lim(lnxx)x0x0e而f(e)220f(x)在(0,e)内有且仅有一个零点，在(e,)内有且仅有一个零点即方程lnxx1cos2xdx在(0,)内有且仅有两个不一样实根e0aaf(x)dx|[f(0)f( )x]dx|此中(0,x)5、解：证：||00|6、解：

f( )xdx||x2f()|0a||a2f( )|Ma2a0222xf(t)dtxh(x)xtf(t)dt00xh(x)f(t)dtxf(x)xf(x)g(x)0xxh(x)dxg(x)dx00即h(x)|0xxg(u)duxg(u)du0h(x)h(0)0而h(0)0h(x)xh(x)g(x)f(x)g(u)du0第六章定积分的应用一、填空题1、由曲线2、由曲线

yex,ye及y轴所围成平面地区的面积是______________。y3x2及直线y2x所围成平面地区的面积是____________。3、由曲线yx1x2,y1,x1,x1所围成平面地区的面积是_______。4、由曲线yex,yex与直线x1所围成平面地区的面积是_________。5、连续曲线yf(x),直线xa，xb及x轴所围图形绕x轴旋转一周而成的立体的体积v__________，绕y轴旋转一周而成的立体的体积v____________。6、抛物线y24ax及直线xx0(x00)所围成的图形绕x轴旋转而成的立体的体积______。7、渐伸线xa(costtsint)，ya(sinttcost)上相应于t从0变到的一段弧长为______。8、曲线yx3x22x与x轴所围成的图形的面积A_______。。、界于x0,x之间由曲线ysinx,ycosx所围图形的面积S_______910、对数螺线rea自0到的弧长l_________。11、心形线4(1cos)和直线0,围成图形绕极轴旋转所得旋转体的体积为____________。二、选择题21、曲线ylnx,ylna,ylnb(0ab)及y轴所围图形的面积A（）。lnbeblnbeb（A）lnalnxdx；（B）eaexdx；（C）lnaeydy；（D）ealnxdx。2、曲线r2acos所围面积A（）。（A）21(2acos)2d；（B）1(2acos)2d；022（C）212d；（D）2212d。(2acos)(2acos)02023、曲线rae及,所围面积A（）。（A）1a2e2d2a22；（C）a2e2d；（D）a22。2；（B）2ed2ed004、曲线yln(1x2)上0x1一段弧长s（）。211211x2（A）212dx；（B）22dx；01x01x12x2dx；1x2)]2dx。（C）21（D）21[ln(101x05、双纽线(x2y2)2x2y2所围成的地区面积可用定积分表示为（）（A）24cos2d；（B）44cos2d；00（C）24cos2d；（D）14(cos2)2d。0206、yx2,xy2绕y轴所产生的旋转体的体积为（）（Ａ）3；（Ｂ）3；（Ｃ）2；（Ｄ）3。5104７、曲线y2x23上相应于x从a到b的一段弧的长度（）3（Ａ）22244(b3a3)；（Ｂ）2(b3a3)；33（Ｃ）233233[(1)2(1a)2]；b)2(1a)2]。398、曲线ysinx的一个周期的弧长等于椭圆2x2y22的周长的（）（Ａ）1倍；（Ｂ）2倍；（Ｃ）3倍；（Ｄ）4倍。三、计算解答1、求抛物线yx24x3及其在(0,3)和(3,0)处的切线所围成图形的面积。2、求双纽线r2a2sin2所围图形的面积。3、求由平面图形ycosxsinx,y0(0x)绕x轴旋转的旋转体体积。44、求摆线x5、求心形线6、求由曲线

a(tsint),ya(1cost)的一拱及y0绕x轴旋转的旋转体的体积。ra(1cos)的全长，此中a0是常数。yx1,x2,及y2所围图形的面积。x7、计算底面是半径R为的圆，而垂直于底面上一条固定直径的全部截面都是等边三角形的立体的体积。第六单元定积分的应用习题解答一、填空题1、1yex与ye及y轴交点为(1,e),(0,1)，取x微积分变量则1ex|101S(eex)dxex|1002、32y3x2与y2x交点为(3,6),(1,2)，取x微积分变量则3[(3x2)2x]dx[3x1x3x2]132S3。13333、2S121dx121122)(1x1x)dxx1xdx221xd(1x13111212(1x2)2|112。234、ee11ex)dx[exex]10ee12S(ex2。05、由旋转体体积公式知：bb2xf(x)dx。a[f(x)]2dx，a6、2ax02Vx0y2dxx04axdx2ax02。007、a2dxatcost,dyatsint,2dtdtS0(atcost)2(atsint)2dtatdta2。028、37yx(x1)(x2)，零点为x11,x20,x32,则12(x3x22x)dx(x3x22x)dx37A0。210129、42A2|sinxcosx|dx0524(cosxsinx)dx4(sinxcosx)dx(cosxsinx)dx42504410、1a2(ea1)由极坐标弧长公式得所求的弧长aS0r2( )r'2( )d0(ea)2(aea)2d1a2ead1a2a1)0a(e11、1600时由4(1cos)得x4(1cos)cos,y4(1cos)sin，8，由元素法Vy2dx016(124(sin2sincos)dcos)sin202642(1cos)2sin2(12cos)d160。0二、选择题1、选（C）。以x为积分变量Sa(lnblna)b(lnblnx)dx，a以y为积分变量Slnbeydy。lna2、选（D）。由极坐标曲边扇形面积公式A1[( )]2d，知2A21(2acos)2d221(2acos)2d。22023、选（D）。dA1(ae)21a2e2,A1a2e2d。2221x2)]'2dx12x211x2dx。4、选（B）。S21[ln(121dx2001x201x25、选（A）。由方程能够看到双纽线对于x轴、y轴都对称，只需计算所围图形在第一象限部分的面积；双纽线的直角坐标方程比较复杂而极坐标方程较为简单：2cos2。其在第一象限部分的变化范围是：[0,]。再由对称性得4S4S14

12

42d24cos2d。006、选（B）。绕轴旋转所得旋转体的体积11111V2)2dy(y2y5)ydy(y0025011

3。107、选（C）。y'x2,进而弧长元素ds1(x2)2dx1xdx，所求弧长为bxdx[2(132[(133x)2]abb)2a)2]。s1(1a33L2为椭圆2x2y28、选（A）。设L1为曲线ysinx的一个周期的弧长，2的周长，明显L12y'2dx21cos2xdx，将椭圆化成参数方程100xcos(02)y2sin则L22(sin)2(2sin)2dx21cos2xdx进而有L1=L2。00三、计算解答1、解：切线方程分别为y4x3和y2x6，其交点坐标是(3,3)，3233x29S2(4x3)dx2x6)dx4x3)dx3((。02042、解：由对称性S221r2d2a2sin2da2。0202sinx)2dx3、解：V4(cosx4(12sinxcosx)dx。0042224、解：Va2(1cost)2d[a(tsint)]a3(1cost)3dt00a32(13cost3cos2tcos3t)dt52a3。05、解：由极坐标系下的弧微分公式得dsr()2r'( )2da(1cos)2sin2d2a|cos|d，22因为rr()a(1cos)以为周期，因此的范围是[0,2]。又因为r( )r( )，心形线对于极轴对称。由对称性，s2ds( )4acosd8a。0026、解：因为yx1在x1处取极小值x所以可得yx1,x1,x2所围图形面积为A(x1xlnx2x)|12ln21。121x227、解：取固定直径为x轴，x为积分变量且x[R,R]，过点x且垂直于x轴的立体截面面积为A(x)3(R2x2)于是VRA(x)dxRRx2)dx43R3。R3(R2x2)dx23(R2R03第七八章多元函数微积分（以课件例题为主）第九章微分方程一、填空题1、方程xy2x2y2x3yx41是阶微分方程。2、以函数yC1exC2e2x为通解的微分方程是。3、设曲线上随意一点(x,y)的切线垂直于此点与原点的连线，则该曲线所知足的微分方程为。4、连续函数f(x)知足关系式f(x)2xt)ln2，则f(x)=。02yy2y0的通解y5、微分方程。6、以r1r22为特点根的二阶常系数线性齐次微分方程是。7、判断对错：（填“正确”或“错误”）1）全部微分方程都存在通解。2）微分方程的通解包括了全部的解。（3）设yc1exc2为某二阶微分方程的解，此中c1,c2为随意常数，则此解是该方程的通解。（4）若函数y1,y2是一阶线性微分方程yP(x)yQ(x)两个不同样的特解，则yc(y1y2)y2就是该方程的通解。8、若P(x,y)dxQ(x,y)dy0是全微分方程，则函数P,Q应知足。9、已知y1,yx,yx2是某二阶非齐次线性微分方程的三个解，则该方程的通解为。10、微分方程y2xy2知足初始条件yx01,yx03的特解y。1x11、求方程yy(y)20的通解时可令yp，则y。12、微分方程yy的通解为。二、选择题1、以下方程中（）是常微分方程(A)x2y2a2；(B)yd(earctanx)0；(C)2u2u0；(D)yx2y2。dxx2y22、以下方程中（）二阶微分方程(A)(y)3x2yxyx20；(B)(y)23x2yx3；(C)y3y3yy0；(D)yy2sinx。3、微分方程d2y2y0的通解是（），此中c,c1,c2均为常数dx2(A)ycosx；(B)ycsinx；(C)yc1cosxc2sinx；(D)yccosxcsinx。4、一曲线在其上随意一点(x,y)处的切线斜率等于2x），这曲线是（y(A)直线；(B)抛物线；(C)圆；(D)椭圆。5、以下微分方程：（1）dy(xy)(xy)，（2）dycosyx，（3）y2dx(y22xyy)dy0中，线性微分方程是dxdx（）(A)（1）；(B)（2）；(C)（3）；(D)（1）、（2）、（3）均不是。6、曲线yy(x)经过点(0,1)，且知足微分方程y2y4x，则当x1时，y（）(A)0；(B)1；(C)2；(D)4。7、已知微分方程yp(x)yxsinx有一特解yxcosx，则此方程通解为（）(A)ycxcosx；(B)ycxcosx；(C)ycxxcosx；(D)yxcoscx。8、设yf(x)是方程y2y4y0的解，若f(x0)0，且f(x0)0，则f(x)在x0点（）(A)获得极大值；(B)获得极小值；(C)某邻域内单一增；(D)某邻域内单一减。9、若y1和y2是二阶齐次线性方程yP(x)yQ(x)y0的两个特解，c1、c2为随意常数，则yc1y1c2y2（）是该方程的通解；(B)是该方程的特解；(C)是该方程的解；(D)不必定是该方程的解。10、曲线yy(x)经过原点，且在原点处切线与直线2xy60平行，而yy(x)知足方程y2y5y0，则曲线方程是（）(A)yexcos2x1；(B)yexsin2x；(C)yexcos2x1；(D)yexsin2x。11、微分方程y2yx的特解y的形式为（）(A)ax；(B)axb；(C)ax2；(D)ax2bx。12、微分方程y4ycos2x的特解y的形式为（）(A)acos2x；(B)axcos2x；(C)x(acos2xbsin2x)；(D)acos2xbsin2x。三、计算解答1、考证由方程x2xyy2c所确立的函数yf(x)是微分方程(x2y)y2xy的通解。2、求解以下微分方程：（1）(xy2x)dx(yx2y)dy（2）xdyy(lnylnx)；dxxex；（3）xyy（4）xlnxdy(ylnx)dx0，（5）y1yx2y6；x

；yxe1；（6）(x2y)dx(xy)dy（7）11x2；y（8）yyx；（9）yy(y)2y；（10）y2yyxex。3、设f(x)xxf(u)du，0

；f(x)为可微函数，求f(x)。4、已知f()1，曲线积分Bf(x)]ydxf(x)dy与路径没关，求函数f(x)。[sinxAxy1y2不恒等于常数，证明5、设y1(x),y2(x),y3()P(x)yQ(x)yx都是方程yf(x)的特解，且y3y2y(1c1)y1(c2c1)y2c2y3为方程的通解（此中c1,c2为随意常数）。6、一质量为m的质点作直线运动，赶快度等于零时刻起，有一个和时间成正比（比率系数为k1）的力作用在它上边，别的质点又遇到阻力，阻力和速度成正比（比率系数为k2），试求此质点的速度和时间的关系。第九章微分方习题解答一、填空题1、微分方程的阶是指微分方程中含有未知函数最高阶导数的阶数，所以该方程是三阶微分方程。2、该通解中含有两个随意常数，可见其所对应的方程应是二阶的，对yC1exC2e2x分别求一阶和二阶导数得：yC1ex2C2e2x，yC1ex4C2e2x，三个式子连立消去C1,C2得，y3y2y0即为所求。另解，直观看出yC