估算法和假设法

第五节假设法（虚设法）和估算法一、 方法介绍：假设法在解物理题时，我们常常用到一种虚拟的思维方法，即从给定的物理条件出发，假设与想像某种虚拟的东西，达到迅速、地解决问题的目的，我们把这种访求称为虚设法，也称假设法。假设法是对于待求解的问题，在与原题所给条件不相违的前提下，人为的加上或减去某些条件，以使原题方便求解。求解物理试题常用的有假设物理情景，假设物理过程，假设物理量等，利用假设法处理某些物理问题，往往能突破思维障碍，找出新的解题途径，化难为易，化繁为简。假设法的几种情形是：虚设条件、虚设过程，虚设状态、虚设结论等。虚设是一种物理的想像和创造的过程，物理学的不少发现是通过这一途径而的。无疑，在解物理题时能掌握和熟练运动用虚设法，对培养我们的创造能力是十分有意义的。估算法有些物理问题本身的结果，并不一定需要有一个非常准确的答案，但是往往需要我们对事物有一个预测的估计值；有些物理问题的提出，由于本身条件的限制，或者实验中尚未观察到必要的结果，使我们解决问题缺乏必要的已知条件，无法用常规的方法来求出物理问题的准确答案，采用“估算”的方法就能忽略次要因素，抓住问题的主要本质，充分应用物理知识进行快速数量级的计算。估算法就是对某些物理的数量级进行大致推算或精确度要求不太高的挖计算方法。估算题与一般的计算题相比较，它虽然是不精确、不严密的计算，但确是合理的挖，它可以避免繁的计算而着重于简捷的思维能力的培养。二、假设法的应用虚设条件根据牛顿第二定律根据牛顿第二定律求解过程较麻烦。例1:如图10-1所示，一根轻质弹簧上端固定，下端挂一质量为m0的平盘，盘中有一物体，质量为m。当盘静止时，弹簧的长度比其自然长度伸长了1。今向下拉盘使弹簧再伸长AL后停止，然后松手放开。设弹簧总处在弹性限度以内，则刚松开手时盘对物体的支持力等于（ ）根据牛顿第二定律根据牛顿第二定律求解过程较麻烦。B、(1+半)(m+m0)gA、（1+B、(1+半)(m+m0)gLD、△L AD、C、了mg D、厂（m+m°）gLL解析：此题可以盘内物体为研究对象受力分析列出一个式子，然后再以整体为研究对象受力分析再列一个式子和根据平衡位置的平衡条件联立求解若采用假设法，本题将变得非常简单。其意义是没有将盘往下拉，则松手放开，假设题中所给条件AL=0其意义是没有将盘往下拉，则松手放开，弹簧长度不会变化，盘仍静止，盘对物体的支持力的大小应为mg。以AL=0代入四个选项中，只有答案A能得到mg。由上述分析可知，此题答案应为A。虚设过程例2：如图10-2所示，甲、乙两物体质量分别为m1=2kg，m2=3kg，叠放在水平桌面上。已知甲、乙间的动摩擦因数为也=0.6，物体乙与平面间的动摩因数为p2=0.5，现用水平拉力F作用于物体乙上，使两物体一起沿水平方向向右做匀速直线运动，如果运动中F突然变为零，则物体甲在水平方向上的受力情况（g取10m/s2）A、大小为12N，方向向右B、大小为12N，方向向左

C、大小为10N，方向向右 D、大小为10N，方向向左TOC\o"1-5"\h\z解析：当F突变为零时，可假设甲、乙两物体一起沿水平方运动， 七则它们运动的加速度可由牛顿第二定律求出。由此可以求出甲所受的摩 r-kifi擦力，若此摩擦力小于它所受的滑动摩擦力，则假设成立。反之不成立。 十L如图10-2甲所示。假设甲、乙两物体一起沿水平方向运动，则由牛顿第二定律得： ,c 图10—f2=(m1+m2)a ①f2=pN2=g2(m1+m2)g ②由①、②得：a=5m/s2可得甲受的摩擦力为f1=m1a=10N因为f=g1m1g=12Nf1<f所以假设成立，甲受的摩擦力为10N，方向向左。应选D。虚设状态例12：0.2L的氧气瓶内，装有4g氧气，在室温为0°C时，瓶内氧气的压强是多少？解析：本题乍一看似乎缺少已知量，更无法利用理想气体状态方程，但当我们假设这些氧气的标准状态为初态时，则问题就可以解决了。假设这些氧气的初态为标准状态，则有：V、—X22.4L，p=1atm，T=273K132 1 1由已知该氧气的末状态为V]=0.2L，T2=273K，p2未知，由于T]=T2，所以根据玻意耳定律p1V1=p2V2解得：p2=1.4atm虚设结论例8：如图10-8所示，一根全长为L、粗细均匀的铁链，对称地挂在轻小光滑的定滑轮上，当受到轻微的扰动，铁链开始滑动，当铁链下降L1(0W匕)的瞬间，铁链的速度多大？解析：在铁链下降时，只有重力做功，机械能守恒。当铁链下降L1时，如图10-8甲所示，假设此位置是把左侧铁链下端AB=L1段剪下来再接到右侧铁链的下端CD处实现的。设铁链的总质量为m，铁链下降到L]时，L1段中心下降L1高，所以重力做功：根据机械能守恒定律:mgL

mv2=—L图10—8 图10—8*1'根据机械能守恒定律:mgL

mv2=—L图10—8 图10—8*1'解得铁链的速度：v=片^例9：如图10-9所示，大小不等的两个容器被一根细玻璃管连通，玻璃管中有一段水银柱将容器内气体隔开(温度相同)，当玻璃管竖直放置时，大容器在上，小容器在下，水银柱刚好在玻璃管的正中间，现将两容器同时降低同样的温度，若不考虑容器的变化，则细管中水银柱的移动情况是（ ）A、不动 B、上升C、下降 D、先上升后下降解析：只要假设水银柱不动，分析气体压强随温度的变化情况，就可判定水银柱怎样移动。假设水银柱不移动，则两部气体的体积都不变，根据查理定律，有：p=土朋，化简为：Ap=四pTT-AT TAT —AT一有：ApA=〒pA，ApB=〒PB由于pA<pB，所以：ApA<ApB，水银柱向下移动。答案：C虚功原理虚功原理是在全国中学生物理竞赛当中解决静力学问题时经常应用的一种比较简单的解题方法。例6、如图中所示的框架，它是由四根重量和长度都相同的杆子光滑铰接而成的四边形框架，中间B、D两端又光滑铰接一轻杆，A端是挂在天花板上的， "乩二已知框架上每一根秆子的重量为p，长度为入，试求平衡时 "盘、此轻杆所受之力？解：可见这个例子要我们求的是轻杆两头所受的力。为此我们可以把B、D撤消，撤消杆子也就等于撤消约束。（在框架的B、D两）将约束去掉而代之的是作用在框架B、D两处 、/向外的作用力T（如下图所示）并使系统仍处于原来的平衡状态，这里的系统自然是指这个平行四边形框架。此时我们就可以将去掉的约束而代之的两个作用力T看作为系统所受的主动力，而其他的约束仍然是理想的。于是就可应用虚功原理求出这两个力。这两个力其实就是杆子对框架的约束压力，求出了它当然也就求出了杆子所受的力。现在我们对所讨论的问题和系统都已明确，于是就可着手找出系统的主动力。对框架这个系统除了受到T这两个主动力之外，还有作用于各杆上的四个重力，这四个重力的合力可用作用在框架对称中心E点的4P代替。在这里坐标就取垂直对称轴向下为Y轴的正向，A为坐标原点，水平向右为x轴的正方向。根据对称性可以直接写出系统的虚功方程为：2盛七+4尸8七=0，由图可得：1血，yE=1cosa，...&疽IcosaSx,呢=-1sin仙.代入虚功方程中去，得:（2TIcosa-4Plsina）诚=0，.・.T=2Ptga。这种把约束去掉，代之以力而求约束力的方法是一种重要的方法，我们必须要掌握。上面我们所举的两个例子，所考虑的系统都是刚性系统，如果我们碰到要考虑的系统不是刚性时，不要忘了计算主动内力所作的虚功。例如：将一弹簧圈放在光滑的球面上，求弹簧圈静止时的位置，此时弹簧圈就不是一个刚体，它内力的虚功不等于零。此时必须要把内主动力的虚功计算进去［如果把弹簧圈割开使内力暴露出来而转化为外力，割开后的弹簧圈可看作刚体处理。综上所述，应用虚功原理解题的步骤一般是：第一步先找出所要考虑的质点组或者刚体，1、找出所要研究的系统。

2、 找出系统所受的主动力。3、 列出虚功方程。列出的虚功方程中的虚位移里的坐标不一定要独立，虚功的正负号很重要，要正确判断。我们还是以所选坐标的正方向为标准，也就是上面解题时所采用的方法。另外还得注意：计算虚功的参考系必须是静止的。4、 虚功方程列出之后，要把方程中的虚位移化成独立的变量。其方法有两种：一种是先找出坐标间的关系，再微分得出，这种方法就叫分析法，我们上面的例子采用的就是这种方法。另外一种是观察法，根据观察直接找出虚位移之间的关系。这种方法只在某些简单的情况下可行。5、 最后就是将找出的虚位移之间的关系代入虚功方程求解出最后的结果。应用虚功原理解题的步骤一般来说大致是这样的。当然对具体的题目要作具体的处理，并不一定要这样呆板，可灵活地去做，对我们初学者来说，有据可依总是有益处的。当然这个例子也可以用牛顿力学中的静力平衡方程很容易地解出……。二、 估算法的应用1.热学物理量的的估算估算法求解固体和液体分子大小和数目可近似把固体、液体分子看作一个紧挨着一个的小球或立方体来估算分子的大小和分子的数目。学会计算微观世界的物理量(如分子数目、分子质量、分子直径等)的一般方法。由于微观量是不能直接测量的，人们可以测定宏观物理量，用阿伏伽德罗常数作为桥梁，间接计算出微观量来。如分子质量m，可通过物质摩尔质量M和阿伏伽德罗常数NA，得到m=M/NA。通过物质摩尔质量M、密度P、阿伏伽德罗常数NA，计算出分子直径对固体或液体来说，分子间隙数量级远小于分子大小的数量级，所以可以近似认为分子紧密排列。U MV—mol—molNA pNA如果把分子简化成球体，可进一步求出分子的直径dd=(6V/n)1/3=(6M/PNAn)1/3估算法求气体分子间的距离：气体分子间的间隙不能忽略，设想气体分子平均分布，且每个气体分子平均占有的空间设想成一个小立方体，据这一微观模型，气体分子间的距离就等于小立方体的边长。取V体积所给状态的空气，求出其中的空气分子数n，由平衡状态下n个空气分子均匀分布在体积V中，则可求出每个空气分子平均占有的空间体积。如果再把每个空气分子平均占有中，则可求出每个空气分子平均占有的空间体积。如果再把每个空气分子平均占有的体积设想成一个小立方体，并认为空气分子均匀分布。相当于任一瞬间所有的空气分子都处于各个小立方体的中心，那么根据这一理想化的气体微观构成模型，空气分子间的平均距离d，即可看作等于每个空气分子平均占有的小立方体的边长1。即d—1—3''匕对于气体来说，V1不再等于气体分子体积，而是分子所占空间的体积。D不是指气体分子

线度大小，而是相邻两气体分子的间距。物质分子所含分子数的估算：关 MVM 键为求出分子的摩尔数，便可以利用 "分=nmoNA=M—Na="Na=pVNa阿佛加德罗常数求出含有的分子数mol mol mol例6-1已知金刚石的密度P=3.5X103kg/m3,碳的摩尔质量为12X10-3kg/mol。现有一块体积V=5.7X10-8m3的金刚石，它含有多少个碳原子？如果认为碳原子是紧密地排列在一起的，试求碳原子的直径。M V —mol点拨：在计算金刚石含有的碳原子数时，也可先由Vmol=p求出Vmol，再由V0=Nav求出一个碳原子的体积V0，然后由n=V0求出金刚石含有的碳原子数n。解析：第一问很常规，属于化学知识复习。M PVN 3.5x103x5.7x10-8N=nNA=MmolNA=Mmol A= 12x10-3 X6.02X1023=1.00X1022解第二问，可以先求每个碳原子所占据的空间VVVpVNM mol12x10-3v-N=v= =nNA=M a_mol =pNA=3.5x103x6.02x1023=5.70X10-30m3f如果认为碳原子呈立方体排列，碳原子的直径d=3v=1.79X10-10m4d 6v— — 3'如果认为碳原子呈球形排列，则v=3n(2)3，故，碳原子的直径d=\兀=2.22X10-10m答案：1.00X1022，2.22X10-10m例6-2在标准状况下，水蒸气的摩尔体积是22.4x10-3m3/mo1，则水蒸气分子的平均间距约是水分子直径的()倍。A.1倍 B.10倍C.100倍D.1000倍点拨：水蒸气是气体，在标准状况下的摩尔体积是22.4x10-3m3/mo1，每个水蒸汽分子点拨：水蒸气是气体，所占体积(包括水分子和它的周围空间的体积)为V 224x103m3/mol 小N 6.02x1Q3mo-1V——mol =N 6.02x1Q3mo-1把每个分子和它所占空间看成一个小立