甘肃省武威市2023年中考数学试卷

甘肃省武威市2023年中考数学试卷一、单选题1．9的算术平方根是（）A．±3 B．±9 C．3 D．−32．若a2=3A．6 B．32 C．1 D．3．计算：a(a+2)−2a=（）A．2 B．a2 C．a2+2a4．若直线y=kx（k是常数，k≠0）经过第一、第三象限，则k的值可为（）A．−2 B．−1 C．−125．如图，BD是等边△ABC的边AC上的高，以点D为圆心，DB长为半径作弧交BC的延长线于点E，则∠DEC=（）A．20° B．25° C．30° D．35° 第5题图 第6题图6．方程2xA．x=−2 B．x=2 C．x=−4 D．x=47．如图，将矩形ABCD对折，使边AB与DC，BC与AD分别重合，展开后得到四边形EFGH．若AB=2，BC=4，则四边形EFGH的面积为（）A．2 B．4 C．5 D．68．据统计，数学家群体是一个长寿群体，某研究小组随机抽取了收录约2200位数学家的《数学家传略辞典》中部分90岁及以上的长寿数学家的年龄为样本，对数据进行整理与分析，统计图表（部分数据）如下，下列结论错误的是（）年龄范围（岁）人数（人）90−912592−9394−9596−971198−9910100−101mA．该小组共统计了100名数学家的年龄B．统计表中m的值为5C．长寿数学家年龄在92−93岁的人数最多D．《数学家传略辞典》中收录的数学家年龄在96−97岁的人数估计有110人9．如图1，汉代初期的《淮南万毕术》是中国古代有关物理、化学的重要文献，书中记载了我国古代学者在科学领域做过的一些探索及成就．其中所记载的“取大镜高悬，置水盆于其下，则见四邻矣”，是古人利用光的反射定律改变光路的方法，即“反射光线与入射光线、法线在同一平面上；反射光线和入射光线位于法线的两侧；反射角等于入射角”．为了探清一口深井的底部情况，运用此原理，如图在井口放置一面平面镜可改变光路，当太阳光线AB与地面CD所成夹角∠ABC=50°时，要使太阳光线经反射后刚好垂直于地面射入深井底部，则需要调整平面镜EF与地面的夹角∠EBC=（）A．60° B．70° C．80° D．85°10．如图1，正方形ABCD的边长为4，E为CD边的中点．动点P从点A出发沿AB→BC匀速运动，运动到点C时停止．设点P的运动路程为x，线段PE的长为y，y与x的函数图象如图2所示，则点M的坐标为（） A．(4，23) B．(4，4) C．二、填空题11．因式分解：ax212．关于x的一元二次方程x2+2x+4c=0有两个不相等的实数根，则c=13．近年来，我国科技工作者践行“科技强国”使命，不断取得世界级的科技成果，如由我国研制的中国首台作业型全海深自主遥控潜水器“海斗一号”，最大下潜深度10907米，填补了中国水下万米作业型无人潜水器的空白；由我国自主研发的极目一号Ⅲ型浮空艇“大白鲸”，升空高度至海拔9050米，创造了浮空艇原位大气科学观测海拔最高的世界记录．如果把海平面以上9050米记作“+9050米”，那么海平面以下10907米记作“米”．14．如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，点D是⊙O上一点，∠CDB=55°，则∠ABC=°． 第14题图 第15题图15．如图，菱形ABCD中，∠DAB=60°，BE⊥AB，DF⊥CD，垂足分别为B，D，若AB=6cm，则EF=cm．16．如图1，我国是世界上最早制造使用水车的国家.1556年兰州人段续的第一架水车创制成功后，黄河两岸人民纷纷仿制，车水灌田，水渠纵横，沃土繁丰．而今，兰州水车博览园是百里黄河风情线上的标志性景观，是兰州“水车之都”的象征．如图2是水车舀水灌溉示意图，水车轮的辐条（圆的半径）OA长约为6米，辐条尽头装有刮板，刮板间安装有等距斜挂的长方体形状的水斗，当水流冲动水车轮刮板时，驱使水车徐徐转动，水斗依次舀满河水在点A处离开水面，逆时针旋转150°上升至轮子上方B处，斗口开始翻转向下，将水倾入木槽，由木槽导入水渠，进而灌溉，那么水斗从A处（舀水）转动到B处（倒水）所经过的路程是米．（结果保留π）三、解答题17．计算：27÷32×22−62．19．化简：a+2ba+b20．1672年，丹麦数学家莫尔在他的著作《欧几里得作图》中指出：只用圆规可以完成一切尺规作图.1797年，意大利数学家马斯凯罗尼又独立发现此结论，并写在他的著作《圆规的几何学》中．请你利用数学家们发现的结论，完成下面的作图题：如图，已知⊙O，A是⊙O上一点，只用圆规将⊙O的圆周四等分．（按如下步骤完成，保留作图痕迹）①以点A为圆心，OA长为半径，自点A起，在⊙O上逆时针方向顺次截取AB=②分别以点A，点D为圆心，AC长为半径作弧，两弧交于⊙O上方点E；③以点A为圆心，OE长为半径作弧交⊙O于G，H两点．即点A，G，D，H将⊙O的圆周四等分．21．为传承红色文化，激发革命精神，增强爱国主义情感，某校组织七年级学生开展“讲好红色故事，传承红色基因”为主题的研学之旅，策划了三条红色线路让学生选择：A．南梁精神红色记忆之旅（华池县）；B．长征会师胜利之旅（会宁县）；C．西路军红色征程之旅（高台县），且每人只能选择一条线路．小亮和小刚两人用抽卡片的方式确定一条自己要去的线路．他们准备了3张不透明的卡片，正面分别写上字母A，B，C，卡片除正面字母不同外其余均相同，将3张卡片正面向下洗匀，小亮先从中随机抽取一张卡片，记下字母后正面向下放回，洗匀后小刚再从中随机抽取一张卡片．（1）求小亮从中随机抽到卡片A的概率；（2）请用画树状图或列表的方法，求两人都抽到卡片C的概率．22．如图1，某人的一器官后面A处长了一个新生物，现需检测到皮肤的距离（图1）．为避免伤害器官，可利用一种新型检测技术，检测射线可避开器官从侧面测量．某医疗小组制定方案，通过医疗仪器的测量获得相关数据，并利用数据计算出新生物到皮肤的距离．方案如下：课题检测新生物到皮肤的距离工具医疗仪器等示意图说明如图2，新生物在A处，先在皮肤上选择最大限度地避开器官的B处照射新生物，检测射线与皮肤MN的夹角为∠DBN；再在皮肤上选择距离B处9cm的C处照射新生物，检测射线与皮肤MN的夹角为∠ECN．测量数据∠DBN=35°，∠ECN=22°，BC=9cm请你根据上表中的测量数据，计算新生物A处到皮肤的距离．（结果精确到0.1cm）（参考数据：sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，23．某校八年级共有200名学生，为了解八年级学生地理学科的学习情况，从中随机抽取40名学生的八年级上、下两个学期期末地理成绩进行整理和分析（两次测试试卷满分均为35分，难度系数相同；成绩用x表示，分成6个等级：A．x<10；B．10≤x<1.5；C．15≤x<20；D．20≤x<25；E．25≤x<30；F．a．八年级学生上、下两个学期期末地理成绩的统计图如下：b．八年级学生上学期期末地理成绩在C．15≤x<20这一组的成绩是：15，15，15，15，15，16，16，16，18，18c．八年级学生上、下两个学期期末地理成绩的平均数、众数、中位数如下：学期平均数众数中位数八年级上学期1715m八年级下学期181918根据以上信息，回答下列问题：（1）填空：m=；（2）若x≥25为优秀，则这200名学生八年级下学期期末地理成绩达到优秀的约有人；（3）你认为该校八年级学生的期末地理成绩下学期比上学期有没有提高？请说明理由．24．如图，一次函数y=mx+n的图象与y轴交于点A，与反比例函数y=6x(x>0)（1）求点B的坐标；（2）用m的代数式表示n；（3）当△OAB的面积为9时，求一次函数y=mx+n的表达式．25．如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，D是⊙O上的一点，CO平分∠BCD，CE⊥AD，垂足为E，AB与CD相交于点F．（1）求证：CE是⊙O的切线；（2）当⊙O的半径为5，sinB=3526．（1）【模型建立】如图1，△ABC和△BDE都是等边三角形，点C关于AD的对称点F在BD边上．①求证：AE=CD；②用等式写出线段AD，BD，DF的数量关系，并说明理由．（2）【模型应用】如图2，△ABC是直角三角形，AB=AC，CD⊥BD，垂足为D，点C关于AD的对称点F在BD边上．用等式写出线段AD，BD，DF的数量关系，并说明理由．（3）【模型迁移】在（2）的条件下，若AD=42，BD=3CD，求cos27．如图1，抛物线y=−x2+bx与x轴交于点A，与直线y=−x交于点B(4，−4)，点C(0，−4)在y轴上．点P（1）求抛物线y=−x（2）当BP=22时，请在图1中过点P作PD⊥OA交抛物线于点D，连接PC，OD，判断四边形OCPD（3）如图2，点P从点B开始运动时，点Q从点O同时出发，以与点P相同的速度沿x轴正方向匀速运动，点P停止运动时点Q也停止运动．连接BQ，PC，求CP+BQ的最小值．

答案解析部分1．【答案】C【解析】【解答】解：9的算术平方根是9=3；

故答案为：C.

【分析】如果一个正数x的平方等于a，那么这个正数x叫做a的算术平方根，据此解答即可.2．【答案】A【解析】【解答】解：∵a2=3b，

∴ab=2×3=6；3．【答案】B【解析】【解答】解：原式=a2+2a-2a=a2；

故答案为：B.

【分析】利用单项式乘多项式将原式展开，再合并即可.4．【答案】D【解析】【解答】解：∵直线y=kx（k是常数，k≠0）经过第一、第三象限，

∴k＞0，

∴k可以是2；

故答案为：D.

【分析】正比例函数y=kx（k是常数，k≠0），当k＞0时，图象过一、三象限，当k＜0时，图象过二、四象限，据此解答即可.5．【答案】C【解析】【解答】解：∵BD是等边△ABC的高，

∴∠DBC=12∠ABC=30°，

由作图知DB=DE，

∴∠DEC=∠DBC=30°；

故答案为：C.

【分析】由等边三角形的性质可得∠DBC=16．【答案】A【解析】【解答】解：2x=1x+1，

去分母得2（x+1）=x，

解得x=-2，

经检验，x=-2是分式方程的解；7．【答案】B【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，

∴AD=BC=4，AB=CD=2，∠A=∠B=∠C=∠D=90°，

由折叠得AF=FD=CH=BH，AG=BG=CE=DE，FH=AB=2，GE=BC=4，

∴△AGF≌△BGH≌△CEH≌△DEF（SAS）

∴FG=EF=EH=GH，

∴四边形EFGH为菱形，

∴四边形EFGH的面积为12GE·FH=12×4×2=4；

故答案为：B.8．【答案】D【解析】【解答】解：A、小组共统计了10÷10%=100名数学家的年龄，故此项正确；

B、m=100×5%=5，故此项正确；

C、由扇形统计图中知：年龄在92−93岁所占的扇形最大，所以此年龄断的人数最多，故此项正确；

D、年龄在96−97岁的人数为2200×11100=242人，故符合题意；

故答案为：D.

9．【答案】B【解析】【解答】解：如图，∵BM⊥CD，∠ABC=50°，

∴∠ABM=∠CBM+∠ABC=90°+50°=140°，

∴∠ABE+∠MBF=180°-∠ABM=40°，

由题意知∠ABE=∠MBF，

∴∠ABE=∠MBF=20°，

∴∠EBC=∠ABE+∠ABC=70°；

故答案为：B.

【分析】由垂直的定义及角的和差可得∠ABM=∠CBM+∠ABC=140°，从而求出∠ABE+∠MBF=180°-∠ABM=40°，根据“反射角等于入射角”可得∠ABE=∠MBF=20°，从而求出∠EBC=∠ABE+∠ABC=70°.10．【答案】C【解析】【解答】解：∵动点P从点A出发沿AB→BC匀速运动，

∴当点P在AB上时，y先变小后增大，当点P在BC上时，y时逐渐变小，

∴点M的横坐标为AB的长，纵坐标为BE的长，

∵正方形ABCD的边长为4，E为CD边的中点，

∴AB=BC=CD=4，CE=12CD=2，

∴BE=42+22=25，

∴C（4，25），

故答案为C.11．【答案】a【解析】【解答】解：ax2故答案为：a(x−1)【分析】先提出公因式a，然后利用完全平方公式法进行第二次分解可得答案.12．【答案】−2（答案不唯一，合理即可）【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2+2x+4c=0有两个不相等的实数根，

∴△=22-4×4c＞0，

解得：c＜14，

∴c可以是-2（答案不唯一）；

13．【答案】-10907【解析】【解答】解：∵海平面以上9050米记作"+9050米"，

∴海平面以下10907米记作"-10907"．

故答案为：-10907.

【分析】在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负数表示.14．【答案】35【解析】【解答】解：∵AB是⊙O的直径，

∴∠ACB=90°，

∵∠A=∠CDB=55°，

∴∠ABC=90°-∠A=35°，

故答案为：35.

【分析】由直径所对的圆周角相等可得∠ACB=90°，由同弧所对的圆周角相等可得∠A=∠CDB=55°，利用直角三角形两锐角互余即可求解.15．【答案】2【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∠DAB=60°，

∴∠BAE=12∠DAB=30°，∠ACB=30°，∠ABC=120°，AB=CD=6cm，

∵BE⊥AB，

∴∠ABE=90°，∠EBC=30°，

∴BE=23，AE=2AE=43，∠EBC=∠ECB=30°，

∴BE=CE=23，

同理求出CF=43，

∴EF=CF-CE=23；16．【答案】5π【解析】【解答】解：由题意得：弧AB的长为150π×6180=5π（米）；

故答案为：5π.

17．【答案】解：27=3=12=62【解析】【分析】先计算二次根式的乘除，再计算二次根式的加减即可.18．【答案】解：解不等式组：x>−6−2x①x≤解不等式①，得x>−2．解不等式②，得x≤1．因此，原不等式组的解集为−2<x≤1．【解析】【分析】先分别解出两个不等式的解集，然后根据“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无处找”的规律找出不等式组的解集即可.19．【答案】解：原式===4b【解析】【分析】先将除法转化为乘法进行约分，再利用同分母分式减法法则计算即可.20．【答案】解：如图，即点A，G，D，H把⊙O的圆周四等分．理由如下：如图，连接OB，由作图可得：AB=BC=∴△AOB为等边三角形，∠AOB=60°，同理可得：∠BOC=∠COD=60°，∴∠AOB+∠BOC+∠COD=180°，∴A，O，D三点共线，AD为直径，∴∠ACD=90°，设CD=x，而∠DAC=30°，∴AD=2x，AC=3由作图可得：DE=AE=AC=3x，而∴EO⊥AD，OE=D∴由作图可得AG=AH=2而OA=OH=x，∴OA∴∠AOH=90°，同理∠AOG=90°=∠DOG=∠DOH，∴点A，G，D，H把⊙O的圆周四等分．【解析】【分析】根据作图步骤作出图形即可.21．【答案】（1）解：P（小亮抽到卡片A）=1（2）解：列表如下：小刚小亮ABCA(A(A(AB(B(B(BC(C(C(C或画树状图如下：共有9种等可能的结果，两人都抽到卡片C的结果有1种，所以，P（两人都抽到卡片C）=1【解析】【分析】（1）利用概率公式计算即可；

（2）利用列表法或树状图列举出共有9种等可能的结果，两人都抽到卡片C的结果有1种，然后利用概率公式计算即可.22．【答案】解：过点A作AH⊥MN，垂足为H．由题意得，∠ABH=∠DBN=35∘，在Rt△AHB中，BH=AH在Rt△AHC中，CH=AH∵CH−BH=BC，∴AH0∴AH=8.答：新生物A处到皮肤的距离约为8.【解析】【分析】过点A作AH⊥MN，垂足为H，由题意得：∠ABH=∠DBN=35∘，∠ACH=∠ECN=22∘，利用解直角三角形可得23．【答案】（1）16（2）35（3）解：因为抽取的八年级学生的期末地理成绩的平均分（或中位数）下学期的比上学期的高，所以八年级学生下学期期末地理成绩更好．【解析】【解答】解：（1）将八年级学生上学期40名期末地理成绩从小到大排列，排在第20位、21位的数据为16，16，

∴中位数为m=（16+16）÷2=16；

故答案为：16.

（2）200名学生八年级下学期期末地理成绩达到优秀的约有200×6+140=35人；

【分析】（1）根据中位数的定义求解即可；

（2）利用样本中八年级下学期期末地理成绩达到优秀人数所占的比例乘以200，即得结论；

24．【答案】（1）解：∵点B(3，a)在反比例函数∴a=6∴B(3，（2）解：∵点B(3，2)在一次函数∴3m+n=2，即n=−3m+2．（3）解：如图，连接OB．∵S△OAB∴12∴OA=6，∴A(0，∴n=−6，∴−3m+2=−6，∴m=8∴一次函数的表达式为：y=8【解析】【分析】（1）把点B(3，a)代入y=6x(x>0)中，求出a值即可；

（2）把点B(3，2)代入y=mx+n25．【答案】（1）证明：∵AC=∴∠ADC=∠B．∵OB=OC，∴∠B=∠OCB．∵CO平分∠BCD，∴∠OCB=∠OCD，∴∠ADC=∠OCD．∵CE⊥AD，∴∠ADC+∠ECD=90°，∴∠OCD+∠ECD=90°，即CE⊥OC．∵OC为⊙O的半径，∴CE是⊙O的切线．（2）解：连接OD，得OD=OC，∴∠ODC=∠OCD．∵∠OCD=∠OCB=∠B，∴∠ODC=∠B，∵CO=CO，∴△OCD≌△OCB，∴CD=CB．∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴AC=AB⋅sin∴CB=A∴CD=8，∴CE=CD⋅sin【解析】【分析】（1）根据圆周角定理、等腰三角形的性质及角平分线的定义，可得∠ADC=∠OCD，由∠ADC+∠ECD=90°，从而得出∠ECO=∠OCD+∠ECD=90°，根据切线的判定定理即证；

（2）证明△OCD≌△OCB，可得CD=CB，由AB是⊙O的直径，可得∠ACB=90°，从而求出

AC=AB⋅sinB=6，利用勾股定理求出CB的长，即得CD，利用26．【答案】（1）解：①证明：∵△ABC和△BDE都是等边三角形，∴AB=BC，BE=BD，∠ABC=∠EBD=60°，∴∠ABC−∠CBE=∠EBD−∠CBE，∴∠ABE=∠CBD，∴△ABE≅△CBD(SAS)．∴AE=CD．②AD=DF+BD．理由如下：∵DF和DC关于AD对称，∴DF=DC．∵AE=CD，∴AE=DF．∴AD=AE+DE=DF+BD．（2）解：2AD=DF+BD如图，过点B作BE⊥AD于点E，得∠BED=90°．∵DF和DC关于AD对称，∴DF=DC，∠ADF=∠ADC．∵CD⊥BD，∴∠ADF=∠ADC=45°，∴∠EBD=45°．∴DE=2∵△ABC是直角三角形，AB=AC，∴∠ABC=45°，AB=2∴∠ABC−∠CBE=∠EBD−∠CBE，∴∠ABE=∠CBD，∴sin∠ABE=∴AEAB∴AE⋅BC=CD⋅AB，∴AE=2∴AD=AE+DE=22CD+（3）解：∵BD=3CD=3DF，∴2AD=DF+3DF=4DF∵AD=42∴DF=DC=2，∴BD=6．如图，过点A作AH⊥BD于点H．∵AB=AC=AF，∴HF=1BC=B∴AF=AC=2∴cos∠AFB=【解析】【分析】（1）①根据SAS证明△ABE≌△CBD，利用全等三角形的对应边相等即得结论；

②AD=DF