湖南省郴州市2023年中考数学试卷

湖南省郴州市2023年中考数学试卷一、单选题1．−2的倒数是（）A．2 B．−12 C．−2 2．下列图形中，能由图形a通过平移得到的是（） A． B． C． D．3．下列运算正确的是（）A．a4⋅aC．3a2−4．下列几何体中，各自的三视图完全一样的是（）A． B． C． D．5．下列问题适合全面调查的是（）A．调查市场上某品牌灯泡的使用寿命B．了解全市人民对湖南省第二届旅发大会的关注情况C．了解郴江河的水质情况D．神舟十六号飞船发射前对飞船仪器设备的检查6．一元一次不等式组3−x≥0x+1>0A． B．C． D．7．小王从A地开车去B地，两地相距240km．原计划平均速度为xkm/h，实际平均速度提高了50%，结果提前1小时到达．由此可建立方程为（）A．2400.5xC．2401.5x8．第11届中国（湖南）矿物宝石国际博览会在我市举行，小方一家上午9：00开车前往会展中心参观．途中汽车发生故障，原地修车花了一段时间．车修好后，他们继续开车赶往会展中心．以下是他们家出发后离家的距离s与时间的函数图象．分析图中信息，下列说法正确的是（）A．途中修车花了30min B．修车之前的平均速度是500m/minC．车修好后的平均速度是80m/min D．车修好后的平均速度是修车之前的平均速度的1.二、填空题9．计算：327=10．在一次函数y=(k−2)x+3中，y随x的增大而增大，则k的值可以是（任写一个符合条件的数即可）．11．在一个不透明的袋子中装有3个白球和7个红球，它们除颜色外，大小、质地都相同．从袋子中随机取出一个球，是红球的概率是．12．抛物线y=x2−6x+c与x轴只有一个交点，则13．为积极响应“助力旅发大会，唱响美丽郴州”的号召，某校在各年级开展合唱比赛，规定每支参赛队伍的最终成绩按歌曲内容占30%，演唱技巧占50%，精神面貌占20%考评．某参赛队歌曲内容获得90分，演唱技巧获得94分，精神面貌获得95分．则该参赛队的最终成绩是分．14．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，D是AB的中点，则CD=.15．如图，某博览会上有一圆形展示区，在其圆形边缘的点P处安装了一台监视器，它的监控角度是55°，为了监控整个展区，最少需要在圆形边缘上共安装这样的监视器台． 第15题图 第16题图16．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=3cm，∠B=60°．将△ABC绕点A逆时针旋转，得到△AB′C′，若点B的对应点B′恰好落在线段BC上，则点C三、解答题17．计算：(118．先化简，再求值：x+3x2−2x+119．某校计划组织学生外出开展研学活动，在选择研学活动地点时，随机抽取了部分学生进行调查，要求被调查的学生从A、B、C、D、E五个研学活动地点中选择自己最喜欢的一个．根据调查结果，编制了如下两幅不完整的统计图．（1）请把图1中缺失的数据，图形补充完整；（2）请计算图2中研学活动地点C所在扇形的圆心角的度数；（3）若该校共有1200名学生，请估计最喜欢去D地研学的学生人数．20．如图，四边形ABCD是平行四边形．（1）尺规作图；作对角线AC的垂直平分线MN（保留作图痕迹）；（2）若直线MN分别交AD，BC于E，F两点，求证：四边形AFCE是菱形21．某次军事演习中，一艘船以40km/h的速度向正东航行，在出发地A测得小岛C在它的北偏东60°方向，2小时后到达B处，测得小岛C在它的北偏西45°方向，求该船在航行过程中与小岛C的最近距离（参考数据：2≈1.41，322．随旅游旺季的到来，某景区游客人数逐月增加，2月份游客人数为1.6万人，4月份游客人数为2.5万人．（1）求这两个月中该景区游客人数的月平均增长率；（2）预计5月份该景区游客人数会继续增长，但增长率不会超过前两个月的月平均增长率．已知该景区5月1日至5月21日已接待游客2.125万人，则5月份后10天日均接待游客人数最多是多少万人？23．如图，在⊙O中，AB是直径，点C是圆上一点．在AB的延长线上取一点D，连接CD，使∠BCD=∠A．（1）求证：直线CD是⊙O的切线；（2）若∠ACD=120°，CD=23，求图中阴影部分的面积（结果用含π24．在实验课上，小明做了一个试验．如图，在仪器左边托盘A（固定）中放置一个物体，在右边托盘B（可左右移动）中放置一个可以装水的容器，容器的质量为5g．在容器中加入一定质量的水，可以使仪器左右平衡．改变托盘B与点C的距离x（cm）（0<x≤60），记录容器中加入的水的质量，得到下表：托盘B与点C的距离x3025201510容器与水的总质量y1012152030加入的水的质量y57101525把上表中的x与y1各组对应值作为点的坐标，在平面直角坐标系中描出这些点，并用光滑的曲线连接起来，得到如图所示的y1关于（1）请在该平面直角坐标系中作出y2关于x（2）观察函数图象，并结合表中的数据：①猜测y1与x之间的函数关系，并求y1关于②求y2关于x③当0<x≤60时，y1随x的增大而（填“增大”或“减小”），y2随x的增大而（填“增大”或“减小”），y2的图象可以由y（3）若在容器中加入的水的质量y2（g）满足19≤y2≤45，求托盘B与点25．已知△ABC是等边三角形，点D是射线AB上的一个动点，延长BC至点E，使CE=AD，连接DE交射线AC于点F．（1）如图1，当点D在线段AB上时，猜测线段CF与BD的数量关系并说明理由；（2）如图2，当点D在线段AB的延长线上时，①线段CF与BD的数量关系是否仍然成立？请说明理由；②如图3，连接AE．设AB=4，若∠AEB=∠DEB，求四边形BDFC的面积．26．已知抛物线y=ax2+bx+4与x轴相交于点A(1，0)，B(4（1）求抛物线的表达式；（2）如图1，点P是抛物线的对称轴l上的一个动点，当△PAC的周长最小时，求PAPC（3）如图2，取线段OC的中点D，在抛物线上是否存在点Q，使tan∠QDB=12

答案解析部分1．【答案】B【解析】【解答】解：由题意得−2的倒数是−12，

故答案为：B2．【答案】B【解析】【解答】解：由题意得能由图形a通过平移得到，

故答案为：B

【分析】根据平移的性质结合题意即可求解。3．【答案】A【解析】【解答】解：

A、a4⋅a3=a7，A符合题意；

B、(a2)3=a4．【答案】D【解析】【解答】解：

A、该几何体的俯视图为三角形，与主视图长方形和左视图长方形不同，A不符合题意；

B、该几何体的俯视图为圆，与主视图三角形和左视图三角形不同，B不符合题意；

C、该几何体的俯视图为圆，与主视图长方形和左视图长方形不同，C不符合题意；

D、该几何体的三视图完全相同，均为圆，D符合题意；

故答案为：D

【分析】根据简单几何体的三视图结合题意即可求解。5．【答案】D【解析】【解答】解：

A、调查市场上某品牌灯泡的使用寿命，样本的数量较大，不适合用全面调查，A不符合题意；

B、了解全市人民对湖南省第二届旅发大会的关注情况，样本的数量较大，不适合用全面调查，B不符合题意；

C、了解郴江河的水质情况，不适合用全面调查，C不符合题意；

D、神舟十六号飞船发射前对飞船仪器设备的检查，适合使用全面调查，D符合题意；

故答案为：D

【分析】根据全面调查的定义结合题意即可求解。6．【答案】C【解析】【解答】解：由题意得3−x≥0①x+1>0②，

解①得x≤3，

解②得x＞-1，

∴不等式组的解集为-1＜x≤3，

∴在数轴上表示为，

故答案为：C

【分析】先分别解不等式①和②，进而即可得到不等式组的解集，再表示在数轴上即可求解。7．【答案】B【解析】【解答】解：由题意得240x−2401.5x=18．【答案】D【解析】【解答】解：

A、途中修车花了20min，A不符合题意；

B、修车之前的平均速度是600010=600m/min，B不符合题意；

C、车修好后的平均速度是13200-60008=900m/min，C不符合题意；

D、900÷600=1.5，D符合题意；9．【答案】3【解析】【解答】根据立方根的定义，求数a的立方根，也就是求一个数x，使得x3=a，则x就是a的一个立方根：∵33=27，∴327【分析】开三次方根10．【答案】3（答案不唯一）【解析】【解答】解：由题意得k-2＞0，

∴k＞2，

故答案为：3（答案不唯一）

【分析】根据一次函数的性质即可求出k的取值范围，进而即可求解。11．【答案】7【解析】【解答】解：由题意得红球的概率是710，

故答案为：71012．【答案】9【解析】【解答】解：∵抛物线y=x2−6x+c与x轴只有一个交点，

∴Δ=36-4c=0，

∴c=9，

13．【答案】93【解析】【解答】解：由题意得90×30%+94×50％+95×20%=93（分），

故答案为：93

【分析】根据加权平均数的计算方法结合题意即可求解。14．【答案】5【解析】【解答】解：如图，

∵∠ACB=90°，AC=6，BC=8∴AB=∵∠ACB=90°，D为AB的中点，∴CD=12AB=1故答案为5.

【分析】由勾股定理求出AB=10，再根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半即可求解.15．【答案】4【解析】【解答】解：由题意得∠P所对应的圆心角的度数为110°，

∴360÷110≈3.27，

∴最少需要在圆形边缘上共安装这样的监视器4台，

故答案为：4

【分析】先根据圆周角定理即可得到∠P所对应的圆心角的度数，进而结合题意即可求解。16．【答案】3【解析】【解答】解：如图所示，弧CC'即为点C的运动路径：

∵在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=3cm，∠B=60°

∴BC=6，

∴由勾股定理得CA=62-32=33，

由旋转可知AB=AB'，∠CAC'=60°，

∵∠B=60°，

∴△ABB'为等边三角形，

∴∠B'AB=60°，

∴点C的运动路径长是2×17．【答案】解：原式=2−=2−1+1+2=4．【解析】【分析】运用负整数指数幂、特殊三角形函数值、零指数幂、绝对值进行运算，进而即可求解。18．【答案】解：x+3====1当x=1+3时，原式=【解析】【分析】先运用分式的混合运算进行化简，再代入求值即可求解。19．【答案】（1）解：20÷20%选择A的人数：100−20−40−25−5=10（人）补全图形如下：（2）解：360∴研学活动地点C所在扇形的圆心角的度数144°；（3）解：1200×25答：最喜欢去D地研学的学生人数共有300人．【解析】【分析】（1）先根据题意求出总人数，进而即可得到选择A的人数，再补全统计图即可求解；

（2）根据圆心角的计算公式即可求解；

（3）根据样本估计总体的知识结合题意即可求解20．【答案】（1）解：如图所示，MN即为所求；（2）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠CAE=∠ACF，如图：设EF与AC交于点O，∵EF是AC的垂直平分线，∴AO=OC，EF⊥AC，∵∠AOE=∠COF，∴△AOE≌△COF(ASA)，∴OE=OF，∴四边形AFCE为平行四边形，∵EF⊥AC，∴四边形AFCE为菱形．【解析】【分析】（1）根据作图-垂直平分线即可求解；

（2）先根据平行四边形的性质结合平行线的性质即可得到∠CAE=∠ACF，设EF与AC交于点O，根据垂直平分线的性质即可得到AO=OC，EF⊥AC，再根据三角形全等的判定与性质即可得到OE=OF，再运用平行四边形的判定与菱形的判定即可求解。21．【答案】解：过点C作CH⊥AB，垂足为H，∵CH⊥AB，AD⊥AB，BE⊥AB，∠CAD=60°，∠CBE=45°，∴∠AHC=∠BHC=90°，∠CAH=90°−60°=30°，∠CBH=90°−45°=45°，在Rt△ACH中，tan∠CAH=tan30°=CHAH，即∴AH=3在Rt△CHB中，tan∠CBH=tan45°=CHBH，即∴BH=CH，∴AB=AH+BH=(3∴CH=403−40≈40×1.∴该船在航行过程中与小岛C的最近距离29.【解析】【分析】过点C作CH⊥AB，垂足为H，根据解直角三角形的知识结合题意即可求解。22．【答案】（1）解：设这两个月中该景区游客人数的月平均增长率为x，由题意，得：1.解得：x=0.答：这两个月中该景区游客人数的月平均增长率为25%（2）解：设5月份后10天日均接待游客人数是y万人，由题意，得：2.解得：y≤1；∴5月份后10天日均接待游客人数最多是1万人．【解析】【分析】（1）设这两个月中该景区游客人数的月平均增长率为x，根据“2月份游客人数为1.6万人，4月份游客人数为2.5万人”结合题意即可列出一元二次方程，进而即可求解；

（2）设5月份后10天日均接待游客人数是y万人，根据题意即可求出y的取值范围，进而即可求解。23．【答案】（1）证明：连接OC，∵AB是直径，∴∠ACB=∠OCA+∠OCB=90°，∵OA=OC，∠BCD=∠A，∴∠OCA=∠A=∠BCD，∴∠BCD+∠OCB=∠OCD=90°，∴OC⊥CD，∵OC是⊙O的半径，∴直线CD是⊙O的切线；（2）解：∵∠ACD=120°，∠ACB=90°，∴∠A=∠BCD=120°−90°=30°，∴∠AOC=2∠A=60°，∵在Rt△OCD中，tan∠AOC=CDOC=∴23OC=∴S阴【解析】【分析】（1）先根据圆周角定理即可得到∠ACB=∠OCA+∠OCB=90°，进而根据题意结合等腰三角形的性质即可得到OC⊥CD，进而根据切线的判定即可求解；

（2）先根据题意结合圆周角定理即可得到∠AOC的度数，再运用特殊三角形函数值、锐角三角形函数的定义即可求出OC的长，进而运用扇形的面积公式结合S阴24．【答案】（1）解：函数图象如图所示，（2）解：①y1=300x（3）解：当y2=19时，19=300当y2=45时，45=300∴托盘B与点C的距离x（cm）的取值范围6≤x≤25【解析】【解答】（2）①观察图象可知，y1可能是x反比例函数，设y把(30，10)的坐标代入y1=k经检验，其余各个点坐标均满足y1∴y1关于x的函数表达式y②观察表格以及①可知，y2+5可能与x成反比例，设把(30，5)的坐标代入y2+5=m经检验，其余各个点坐标均满足y2∴y2关于x的函数表达式y③由图图像可知，当0<x≤60时，y1随x的增大而减小，y2随x的增大而减小，y2故答案为：减小，减小，下；【分析】（1）平滑的连接平面直角坐标系中的点即可求解；

（2）①先观察图象可知，y1可能是x反比例函数，设y1=kx(k≠0)，进而待定系数法求出反比例函数的解析式，再检验即可求解；②观察表格以及①可知，y2+5可能与x成反比例，设y225．【答案】（1）解：CF=1∵△ABC是等边三角形，∴AB=AC=BC，过点D作DG∥BC，交AC于点G，∴∠ADG=∠ABC=60°，∠AGD=∠ACB=60°，∴△ADG为等边三角形，∴AD=AG=DG，∵AD=CE，AB−AD=AC−AG，∴DG=CE，BD=CG，又∠DFG=∠CFE，∴△DGF≌△ECF(AAS)，∴CF=FG=1∴CF=1（2）解：①成立，理由如下：∵△ABC是等边三角形，∴AB=AC=BC，过点D作DG∥BC，交AC的延长线于点G，∴∠ADG=∠ABC=60°，∠AGD=∠ACB=60°，∴△ADG为等边三角形，∴AD=AG=DG，∵AD=CE，AD−AB=AG−AC，∴DG=CE，BD=CG，又∠DFG=∠CFE，∴△DGF≌△ECF(AAS)，∴CF=FG=1∴CF=1②过点D作DG∥BC，交AC的延长线于点G，过点A作AN⊥DG，交BC于点H，交DE于点N，则：AN⊥BC，由①知：△ADG为等边三角形，△DGF≌△ECF(AAS)，CF=FG=1∵△ABC为等边三角形，∴AB=AC=BC=4，∴AH=A∵∠AEB=∠DEB，EH=EH∴△AEH≌△MEH，∴MH=AH=23∴AM=2AH=43∵△DGF≌△ECF(AAS)，∴∠CEF=∠MDN，DG=CE，∴∠AEH=∠MDN，∴tan∠AEH=∴AHEH设MN=y，DG=CE=x，则：EH=CE+CH=2+x，∴23∵DG∥BC，∴△ABC∽△ADG，∴BCDG=AHAN联立①②可得：x=42经检验x=42∴DG=CE=42+4，DN=22∴AN=26∴S△ACE∵S△ACE∴S△CEF∴四边形BDFC的面积为S==43【解析】【分析】（1）CF=12BD，理由如下：先根据等边三角形的性质即可得到AB=AC=BC，∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°，过点D作DG∥BC，交AC于点G，根据等边三角形的判定与性质得到AD=AG=DG，进而得到DG=CE，BD=CG，然后运用三角形全等的判定与性质证明△DGF≌△ECF(AAS)，进而即可求解；

（2）①成立，理由如下：先根据等边三角形的性质得到AB=AC=BC，∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°，过点D作DG∥BC，交AC的延长线于点G，再根据等边三角形的判定与性质即可得到AD=AG=DG，进而得到DG=CE，BD=CG，再根据三角形全等的判定与性质结合题意即可求解；

②过点D作DG∥BC，交AC的延长线于点G，过点A作AN⊥DG，交BC于点H，交DE于点N，则：AN⊥BC，先根据△ABC为等边三角形即可得到AB=AC=BC=4，BH=CH=12BC=2，进而根据勾股定理即可得到AH的长，然后根据三角形全等的判定与性质证明△AEH≌△MEH，△DGF≌△ECF(AAS)即可得到AM=2AH=43，∠AEH=∠MDN，再根据锐角三角形函数的定义即可得到AHEH=MN26．【答案】（1）解：∵抛物线y=ax2+bx+4与x轴相交于点A(1∴a+b+4=016a+4b+4=0