广东省2023年中考数学试卷

广东省2023年中考数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．负数的概念最早出现在我国古代著名的数学专著《九章算术》中，如果把收入5元记作+5元，那么支出5元记作（A．−5元 B．0元 C．+5元 D．+10元2．下列出版社的商标图案中，是轴对称图形的为（）A． B． C． D．3．2023年5月28日，我国自主研发的C919国产大飞机商业首航取得圆满成功，C919可储存约186000升燃油，将数据186000用科学记数法表示为（）A．0.186×105 B．1.86×14．如图，街道AB与CD平行，拐角∠ABC=137°，则拐角∠BCD=（） A．43° B．53° C．107° D．137°5．计算3aA．1a B．6a2 C．56．我国著名数学家华罗庚曾为普及优选法作出重要贡献，优选法中有一种0.618法应用了（）A．黄金分割数 B．平均数 C．众数 D．中位数7．某学校开设了劳动教育课程.小明从感兴趣的“种植”“烹饪”“陶艺”“木工”4门课程中随机选择一门学习，每门课程被选中的可能性相等，小明恰好选中“烹饪”的概率为（）A．18 B．16 C．148．一元一次不等式组x−2>1x<4A．−1<x<4 B．x<4 C．x<3 D．3<x<49．如图，AB是⊙O的直径，∠BAC=50°，则∠D=（）A．20° B．40° C．50° D．80°10．如图，抛物线y=ax2+c经过正方形OABC的三个顶点A，B，C，点B在y A．−1 B．−2 C．−3 D．−4二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分．11．因式分解：x2−1=12．计算3×1213．某蓄电池的电压为48V，使用此蓄电池时，电流I(单位：A)与电阻R(单位：Ω)的函数表达式为I=48R，当R=12Ω时，I的值为14．某商品进价4元，标价5元出售，商家准备打折销售，但其利润率不能少于10%，则最多可打折．15．边长分别为10，6，4的三个正方形拼接在一起，它们的底边在同一直线上（如图），则图中阴影部分的面积为．三、解答题（一）：本大题共3小题，第16题10分，第17、18题各7分，共24分．16．（1）计算：38（2）已知一次函数y=kx+b的图象经过点(0，117．某学校开展了社会实践活动，活动地点距离学校12km，甲、乙两同学骑自行车同时从学校出发，甲的速度是乙的1.2倍，结果甲比乙早到10min，求乙同学骑自行车的速度．18．2023年5月30日，神舟十六号载人飞船发射取得圆满成功，3名航天员顺利进驻中国空间站，如图中的照片展示了中国空间站上机械臂的一种工作状态，当两臂AC=BC=10m，两臂夹角∠ACB=100°时，求A，B两点间的距离．(结果精确到0.1m，参考数据sin50°≈0.766四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分．19．如图，在▱ABCD中，∠DAB=30°．（1）实践与操作：用尺规作图法过点D作AB边上的高DE；(保留作图痕迹，不要求写作法)（2）应用与计算：在（1）的条件下，AD=4，AB=6，求BE的长．20．综合与实践主题：制作无盖正方体形纸盒素材：一张正方形纸板．步骤1：如图1，将正方形纸板的边长三等分，画出九个相同的小正方形，并剪去四个角上的小正方形；步骤2：如图2，把剪好的纸板折成无盖正方体形纸盒．猜想与证明：（1）直接写出纸板上∠ABC与纸盒上∠A（2）证明（1）中你发现的结论．21．小红家到学校有两条公共汽车线路，为了解两条线路的乘车所用时间，小红做了试验，第一周(5个工作日)选择A线路，第二周(5个工作日)选择B线路，每天在固定时间段内乘车2次并分别记录所用时间，数据统计如下：(单位：min)数据统计表试验序号12345678910A线路所用时间15321516341821143520B线路所用时间25292325272631283024数据折线统计图根据以上信息解答下列问题：平均数中位数众数方差A线路所用时间22a1563.2B线路所用时间b26.5c6.36（1）填空：a=；b=；c=；（2）应用你所学的统计知识，帮助小红分析如何选择乘车线路．五、解答题（三）：本大题共2小题，每小题12分，共24分．22．综合探究如图1，在矩形ABCD中(AB>AD)，对角线AC，BD相交于点O，点A关于BD的对称点为A′，连接AA′交BD于点E，连接（1）求证：AA′⊥CA′；（2）以点O为圆心，OE为半径作圆．①如图2，⊙O与CD相切，求证：AA′=3CA′； ②如图3，⊙O与CA′相切，AD=1，求23．综合运用如图1，在平面直角坐标系中，正方形OABC的顶点A在x轴的正半轴上，如图2，将正方形OABC绕点O逆时针旋转，旋转角为α(0°<α<45°)，AB交直线y=x于点E，BC交y轴于点F．（1）当旋转角∠COF为多少度时，OE=OF；（直接写出结果，不要求写解答过程）（2）若点A(4，（3）如图3，对角线AC交y轴于点M，交直线y=x于点N，连接FN，将△OFN与△OCF的面积分别记为S1与S2，设S=S1−S2

答案解析部分1．【答案】A【解析】【解答】解：∵收入5元记着﹢5元，

∴支出5元记着-5元.

故答案为：A

【分析】由题意可知收入记为“+”，则支出记为“-”，即可求解.2．【答案】A【解析】【解答】解：A、此图形是轴对称图形，故A符合题意；

B、此图形不是轴对称图形，故B不符合题意；

C、此图形不是轴对称图形，故C不符合题意；

D、此图形不是轴对称图形，故D不符合题意；

故答案为：A

【分析】轴对称图形是将一个图形沿某直线折叠后直线两旁的部分互相重合，再对各选项逐一判断.3．【答案】B【解析】【解答】解：186000=1.86×105.

故答案为：B

【分析】根据科学记数法的表示形式为：a×10n，其中1≤|a|＜10，此题是绝对值较大的数，因此n=整数数位-1.4．【答案】D【解析】【解答】解：∵AB∥CD，

∴∠ABC=∠BCD=137°.

故答案为：D

【分析】利用两直线平行，内错角相等，可求出∠BCD的度数.5．【答案】C【解析】【解答】解：3a+2a=6．【答案】A【解析】【解答】解：我国著名数学家华罗庚曾为普及优选法作出重要贡献，优选法中有一种0.618法应用了黄金分割数.

故答案为：A

【分析】利用黄金分割的定义，可得答案.7．【答案】C【解析】【解答】解：∵一共有4门课程，小明恰好选中“烹饪”的只有1种情况，

∴p（小明恰好选中“烹饪”）=14故答案为：C

【分析】利用已知条件可知所有的可能的结果数及小明恰好选中“烹饪”的情况数，然后利用概率公式进行计算.8．【答案】D【解析】【解答】解：x−2>1①x<4②

由①得：x＞3，

由②得：x＜4，

∴故答案为：D

【分析】分别求出不等式组中的每一个不等式的解集，再确定出不等式组的解集.9．【答案】B【解析】【解答】解：∵AB是圆O的直径，

∴∠ACB=90°，

∴∠B=90°-∠ABC，90°-50°=40°，

∵AC⏜=AC⏜，

∴∠D=∠B=40°.10．【答案】B【解析】【解答】解：连接AC，交y轴于点D，

∵正方形ABCO，

∴AC⊥BO，AD=OD=12OB，

当x=0时y=c，

∴点B（0，c），

∴AD=OD=12c，

∴点Ac2，c2，

∴ac24+c=c2，11．【答案】(x+1)(x−1)【解析】【解答】解：x2−1故答案为：(x+1)(x−1)．

【分析】因式分解:把一个多项式化为几个最简整式的乘积的形式，根据定义求解。

12．【答案】6【解析】【解答】解：3×故答案为：6．【分析】根据二次根式的乘法法则计算即可.13．【答案】4【解析】【解答】解：∵I=48R，

∴当R=12Ω时I=4812=414．【答案】8.8【解析】【解答】解：设这种商品最多可打x折，根据题意得

5×0.1x-4≥4×10％，

解之：x≥8.8，

∴设这种商品最多可打8.8折

故答案为：8.8

【分析】利用利润率不能少于10％，设未知数，列不等式，然后求出不等式的最小值即可.15．【答案】15【解析】【解答】解：如图，

∵边长分别为10，6，4的三个正方形拼接在一起，

∴DE=CD=10，BC=6，AB=4，∠D=∠ACH=∠ABG=90°，

∴BE∥CF∥BG，

∴△ABG∽△ACF∽△ADE，

∴ABAC=BGCF，ABAD=BGDE，

∴44+6=BGCF，44+6+10=16．【答案】（1）3=2+5−1=6；（2）∵一次函数y=kx+b的图象经过点(0，1∴代入解析式得：1=b5=2k+b解得：b=1k=2∴一次函数的解析式为：y=2x+1．【解析】【分析】（1）先算乘方和开方运算，同时化简绝对值，然后利用有理数的加减法法则进行计算.

（2）分别将已知两点坐标代入函数解析式，可得到关于k，b的方程组，解方程组求出k，b的值，即可得到函数解析式.17．【答案】解：设乙同学骑自行车的速度为x千米/分钟，则甲同学骑自行车的速度为1.根据题意得：12x解得：x=0.经检验，x=0.答：乙同学骑自行车的速度为0.【解析】【分析】此题的等量关系为：甲的速度=1.2×乙的速度；12÷乙的速度-12÷甲的速度=10，据此设未知数，列方程，求解即可.18．【答案】解：连接AB，作CD⊥AB于D，∵AC=BC，CD⊥AB，∴CD是边AB边上的中线，也是∠ACB的角平分线，∴AB=2AD，∠ACD=1在Rt△ACD中，AC=10m，∠ACD=50°，sin∴sin50°=∴AD=10∴AB=2AD≈2×7答：A，B两点间的距离为15.【解析】【分析】连接AB，过点C作CD⊥AB于点D，利用等腰三角形的性质可证得AB=2CD，同时可求出∠ACD的度数；再在Rt△ACD中，利用解直角三角形求出AD的长，据此可求出AB的长.19．【答案】（1）解：依题意作图如下，则DE即为所求作的高：（2）∵AD=4，∠DAB=30°，DE是AB边上的高，∴cos∠DAB=AEAD∴AE=4×3又∵AB=6，∴BE=AB−AE=6−23即BE的长为6−23【解析】【分析】（1）利用过一点作已知直线的垂线的方法，利用尺规作图作出AB边上的高.

（2）利用解直角三角形求出AE的长，根据BE=AB-AE，代入计算求出BE的长.20．【答案】（1）解：∠ABC=∠（2）证明：连接AC，设小正方形边长为1，则AC=BC=12+∵AC∴△ABC为等腰直角三角形，∵A1∴△A∴∠ABC=∠A故∠ABC=∠【解析】【解答】解：（1）图1∵AC2=12+22=5，BC2=12+22=5，AB2=12+32=10，

∴AC2+BC2=AB2，AC=BC，

∴△ABC是等腰直角三角形，

∴∠ABC=45°，

图2，∵正方形，

∴∠A1B1C1=45°，

∴∠ABC=∠A1B1C1.

【分析】（1）利用勾股定理和勾股定理的逆定理可证得△ABC是等腰直角三角形，可得到∠ABC的度数，再利用正方形的性质可得到∠A1B1C1的度数，即可得到这两个角的大小关系.

（2）利用勾股定理的逆定理可证得△ABC是等腰直角三角形，再利用正方形的性质去证明△A1B1C1是等腰直角三角形，然后利用等腰直角三角形的性质可证得结论.21．【答案】（1）19；26.8；25（2）根据统计量上来分析可知，A线路所用时间平均数小于B线路所用时间平均数线路，A线路所用时间中位数也小于B线路所用时间中位数，但A线路所用时间的方差比较大，说明A线路比较短，但容易出现拥堵情况，B线路比较长，但交通畅通，总体上来讲A路线优于B路线．因此，建议：根据上学到校剩余时间而定，如果上学到校剩余时间比较短，比如剩余时间是21分钟，则选择A路线，因为A路线的时间不大于21分钟的次数有7次，而B路线的时间都大于21分钟；如果剩余时间不短也不长，比如剩余时间是31分钟，则选择B路线，因为B路线的时间都不大于31分钟，而A路线的时间大于31分钟有3次，选择B路线可以确保不迟到；如果剩余时间足够长，比如剩余时间是36分钟，则选择A路线，在保证不迟到的情况，选择平均时间更少，中位数更小的路线．【解析】【解答】解：（1）A线路所用的时间，14，15，15，16，18，20，21，32，34，35，

处于最中间的数是18，20，

∴a=18+202=19；

B线路所用的时间的平均数为b=25×2+29+23+27+26+31+28+30+2410=26.8；

∵25出现了2次，是出现次数最多的数，

∴这组数据的众数是25，

∴c=25.22．【答案】（1）∵点A关于BD的对称点为A′，∴点E是AA′的中点，∠AEO=90°，又∵四边形ABCD是矩形，∴O是AC的中点，∴OE是△ACA∴OE∥∴∠AA′C=∠AEO=90°，∴AA′⊥CA′（2）①过点O作OF⊥AB于点F，延长FO交CD于点G，则∠OFA=90°，∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，AO=BO=CO=DO，∴∠OCG=∠OAF，∠OGC=∠OFA=90°．∵∠OCG=∠OAF，∠OGC=∠OFA=90°，AO=CO，∴△OCG≌△OAF(AAS)，∴OG=OF．∵⊙O与CD相切，OE为半径，∠OGC=90°，∴OG=OE，∴OE=OF又∵∠AEO=90°即OE⊥AE，OF⊥AB，∴AO是∠EAF的角平分线，即∠OAE=∠OAF，设∠OAE=∠OAF=x，则∠OCG=∠OAF=x，又∵CO=DO∴∠OCG=∠ODG=x∴∠AOE=∠OCG+∠ODG=2x又∵∠AEO=90°，即△AEO是直角三角形，∴∠AOE+∠OAE=90°，即2x+x=90°解得：x=30°，∴∠OAE=30°，即∠A在Rt△A′AC中，∠∴AC=2CA∴AA′=A②过点O作OH⊥A∵⊙O与CA′相切，∴OE=OH，∠∵∠AA′C=∠AEO=∠∴四边形A′又∵OE=OH，∴四边形A′∴OE=OH=A又∵OE是△ACA∴OE=∴A∴OH=CH又∵∠A∴∠OCH=45°又∵OE∥A∴∠AOE=45°又∵∠AEO=90°，∴△AEO是等腰直角三角形，AE=OE，设AE=OE=r，则AO=DO=∴DE=DO−OE=在Rt△ADE中，AE2即r∴r∴⊙O的面积为：S=π【解析】【分析】（1）利用轴对称的性质可得到点E是AA′的中点，∠AEO=90°，利用矩形的性质可证得O是AC的中点，由此可证得OE是△ACA′的中位线，利用三角形的中位线定理可证得OE∥A′C，利用平行线的性质可证得结论.（2）①过点O作OF⊥AB于点F，延长FO交CD于点G，可得到∠OFA=90°，利用矩形的性质可证得AB∥CD，AO=BO=CO=DO，利用AAS证明△OCG≌△OAF，利用全等三角形的性质可证得OF=OG，利用切线的性质，可推出OE=OF；再利用角平分线的判定定理可证得AO平分∠EAF，可得到∠OAE=∠OAF；设∠OAE=∠OAF=x，可表示出∠OCG，利用等边对等角可表示出∠ODG，∠AOE的度数，利用直角三角形的两锐角互余，可求出x的值，即可得到∠A′AC的度数，再利用直角三角形的性质和勾股定理求出AA′的长；②过点O作OH⊥A′C于点H，利用切线的性质去证明四边形A′EOH是矩形，利用一组邻边相等的矩形是正方形可得到四边形A′EOH是正方形，利用正方形的性质可得到OE=OH=A′H；再利用三角形的中位线定理OH=CH，可推出△AEO是等腰直角三角形，可得到AE=OE，设AE=r，利用勾股定理可表示出DO的长，根据DE=DO-OE，可表示出DE的长，在Rt△ADE中，利用勾股定理可得到关于r的方程，解方程求出r2，然后利用圆的面积公式可求出圆O的面积.23．【答案】（1）当旋转角∠COF为225度时，OE=OF.（2）过点A作AP⊥x轴，如图所示：∵A(∴AP=3，∴OA=5，∵正方形OABC，∴OC=OA=5，∠C=90°，∴∠C=∠APO=90°，∵∠AOP=∠COF，∴△OCF∽△OPA，∴OCOP=FC∴FC=15（3）∵正方形OABC，∴∠BCA=∠OCA=45°，∵直线y=x，∴∠FON=45°，∴∠BCA=∠FON=45°，∴O、C、F、N四点共圆，∴∠OCN=∠FON=45°，∴∠OFN=∠FON=45°，∴ΔFON为等腰直角三角形，∴FN=ON，∠FNO=90°，过点N作GQ⊥BC于点G，交OA于点Q，∵BC∥OA，∴GQ⊥OA，∵∠FNO=90°，∴∠1+∠2=90°，∵∠1+∠3=90°，∴∠2=∠3，∴△FGN≌△NQO∴GN=O