体系的对称性与对称性原理

体系的对称性与对称性原理

在磁体工程中，通常使用对称分析方法来讨论一些问题，以便使问题既大又简单。然而，对称分析通常基于已知的法律法规。例如，根据毕氏萨伯尔法，对称是肯定的。在非均匀流的特性下，载流平面的林场平行于电流。然而，根据对称原则，即使不知道定额，也可以解决这个问题。1规则对称操作通常我们把体系从一个状态变到另一个状态的过程,称为给系统一个“操作”.若体系的状态在此操作下不变,那么体系对这一操作是对称的,而这个操作叫做体系的一个对称操作.最常用的对称操作是时空操作,转动、平移、镜象反射、标度变换等属空间操作,时间平移、时间反演等属时间操作.2对称的原理物理定律反映了事物之间的因果关系,而因果性与对称性之间的关系表现为:原因中的对称性必反映在结果中,即结果中的对称性至少有原因中的对称性那样多.这就是对称性原理,此原理可表示为如下对应关系:对称的原因→→对称的结果,即对称的原因必定产生对称的结果,但对称的结果有可能来源于不对称的原因.3利用对称操作产生lad各分量的关系下面通过一些实例阐述对称性原理的具体运用.例1在静电场的作用下,点电荷的运动轨道一定在某一个平面内.证明设某时刻点电荷q具有速度v,则电场对其作用力f与v两个矢量决定一个平面,即图1所示的纸平面.以上所述条件就足以决定电荷q以后的运动了.亦即,体系(电场和q)的全部原因(力f和速度v)对图1的纸平面具有镜象反射对称性.根据对称性原理,结果(q的轨道)至少也具有这种对称性,故它不可能向某侧偏斜而离开此平面.例2确定无限长均匀带电导线周围的电场的方向.解此问题所给的体系有多种对称性操作(“因”的对称性),在这些操作变换下E应该不变(“果”的对称性).下面寻找有助于判断E的方向对称操作.如图2(a),取作标z轴与导线平行,x轴沿导线到场点p的垂直连线.取第一个对称操作是以z=0平面为镜面的空间反射pz,在此操作下带电导线的状态未变,所以这是一个对称操作.现在看E各分量的变换:Ex´=pz(Ex)=ExEy´=pz(Ey)=EyEz´=pz(Ez)=-Ez.Ex´=pz(Ex)=ExEy´=pz(Ey)=EyEz´=pz(Ez)=−Ez.但根据对称性原理又应有:Ex´=Ex,Ey´=Ey,Ez´=Ez,Ex´=Ex,Ey´=Ey,Ez´=Ez,所以,E的z分量前后结论矛盾,除非Ez=0.如图2(b),取第二个对称操作为y=0的平面为镜面空间反射py.在此操作下带电导线的状态未变,所以这是一个对称操作.对于E的y分量Ey′=py(Ey)=-Ey,但对称性原理要求Ey′=Ey,故二者矛盾,除非Ey=0.因此,E唯一不为零的分量只能是Ex,即E只可能沿x方向.由此可知无限长均匀带电直导线周围的电场在垂直于导线的平面内呈径向分布.例3无限长载流导线,其周围有一点电荷q,它以速度v平行于电流方向运动,分析电荷受力的方向.解根据对称性原理知,“因”的对称性(即体系的多种对称性操作)必定产生结果的对称性.本问题的体系有多种对称性操作,在这些操作下电荷所受力f应该不变.取坐标系如图3(a)所示,z轴垂直与导线到电荷的联线.取第一个操作是x=0平面的空间反射px加上围绕z轴的180°旋转Rz.在此操作下点电荷的位置复原,而载流直导线和速度v的状态不变,即px+Rz是这体系的一个对称操作.f的各分量的变换如下:f′x=px(fx)=-fx,f′y=px(fy)=fy,f′z=px(fz)=fz;f″x=Rz(f′x)=-f′x=fx,f′y=Rz(f′y)=-f′y=-fy‚f″z=Rz(f′z)=f′z=fz.但根据对称性原理知:f″x=fx,f″y=fy,f″z=fz,由此可知f的y分量前后矛盾,故fy=0.取第二种对称操作是以z=0平面为镜面作空间反射pz和时间反演T(如图3(b)),电流I在此联合操作下方向将复原,对本体系而言,此联合操作是一个对称操作.力f在此种联合操作下不变.对于的f的z分量,有f″z=Τ(pz(fz))=Τ(-fz)=-fz,根据对称性原理要求应有f″z=fz,故f的z分量前后矛盾,所以fz=0.由以上分析知力f的唯一不为零的分量只有x分量,故f只可能沿±x方向.4电磁学的定性分析通过上述实例表明:即使不知道电磁学中具体的物理定律,也无