镜像法与点电荷的对比分析

镜像法与点电荷的对比分析

1.提出问题1.1各不含金质体的q“电灯”是一门关于电气工程和其他专业的技术基础课程。镜像法作为等效方法的一种,在电磁场中具有广泛的应用。在解决静电场边值问题的时候,我们用到了镜像法。其中最简单的例子就是当接地无限大导体平面上方只有一个点电荷q的情形。由于q的存在,使得无限大导体表面感应出一定量的电荷。如图1(a)所示的导体上方一点P处的电场,即是由此点电荷与这些感应电荷共同产生的。此时,从等效的角度来说,我们就可把此无限大导体平面撤去,对上半空间任一点P的电场或电位,可看成是q和它对称位置上放置一个q1=-q共同作用的结果。这些感应电荷的作用等效为该镜像电荷q1=-q的作用,如图1(b)所示;同理,对下半空间任一点P′而言,由于电荷上下的对称性,这些感应电荷的作用相当于在原q的位置上再放一个q1=-q,由于二者带等值的异号电荷,所以处的场强为零,这也符合导体内场强为零这一结论,如图1(c)所示。1.2上半空间p处的场现在讨论点电荷介质极化情况。为简明起见,讨论点电荷的双层介质情况。假设平面的上、下半空间分别充满介电常数为ε1与ε2的均匀介质,在上半空间有一点电荷q。双层介质中任一点P处的电场分布如图2(a)所示。我们在这里使用这样的镜像系统:即认为上半空间P处的场由原来电荷q和镜像点的像电荷q′所产生(这时介电常数ε1的介质布满整个空间);又认为下半空间P′处的场由q″产生(这时介电常数ε2的介质布满整个空间),如图2(b)与2(c)所示。这里有一个问题:根据在1.1中的讨论,从极化的角度,在下半空间应该为原点电荷与镜像电荷的叠加,即q″=q+ε1-ε2ε1+ε2q=2ε1ε1+ε2q(1)q′′=q+ε1−ε2ε1+ε2q=2ε1ε1+ε2q(1)而实际结果为图2(c)所示,有q″=2ε2ε1+ε2q(2)q′′=2ε2ε1+ε2q(2)将上式与(1)相比有明显的差别,此时便产生了一个悖论,到底哪个正确呢?2.空间上半空间的电场分布的方法对于这个问题,我们须从其物理本质上进行分析。当点电荷q所在空间的介电常数为ε1时,q的周围会产生一定量的极化电荷,设空间任一点的电位移向量为→DD⃗,电极化强度为→ΡP⃗,则∇⋅→D=Ρ∇⋅D⃗=P;∇⋅→Ρ=-ρΡ(3)∇⋅P⃗=−ρP(3)又有→D=ε0→E+→ΡD⃗=ε0E⃗+P⃗,即→Ρ=→D-ε0→E=→D(ε1-ε0)/ε1,所以q处的实际电量为原q与q表面所有极化电荷之和:qΣ=q+qp=q-∮sp·dS=q+[(ε0-ε1)/ε1]∮sD·dS=q+q(ε0-ε1)/ε1=qε0/ε1(4)至于两层介质分界面,可从物理底层看成一层分布在表面的极化电荷,即相当于q′Σ的作用。此时已经考虑到不同介质对于电荷量的影响,则可将整个空间视为介电常数为ε0,即真空。同理有q′Σ=ε0ε1q′=ε0ε1⋅ε1-ε2ε1+ε2q如图3(a)所示,此时再利用开始的结论,对于下半空间p′处,与1.1原理相对应。此处相当于有实际的自由电荷为q″Σ=qΣ+q′Σ=ε0ε1q+ε0ε1⋅ε1-ε2ε1+ε2q=2ε0ε1+ε2qq″Σ为独自在P′处产生电场,如图3(b)所示。在前面的推导过程中,我们将整个空间的介电常数都视为ε0。但在这个实际问题中,研究空间下半平面的电场分布时,空间的介电常数是ε2。依据上述结论,如果下半空间的介电常数是ε2,则在此空间作用的电荷为q″Σ=ε0ε1q′⇒q″=ε2ε0q″Σ=ε2ε1⋅2ε2ε1+ε2q=ε1-ε2ε1+ε2q(5)可见它与公式(2)的结果是一样的。我们再一次验证一下q′,同理在上半空间作用的电荷为q′Σ=ε0ε1q′⇒q′=ε1ε0q′Σ=ε1ε0⋅ε0ε1⋅ε1-ε2ε1+ε2q=ε1-ε2ε1+ε2q(6)电荷的分布如图4(a)与4(b)所示。至此,我们完成二者在形式上的统一。3.学生在进行磁场分析中的应用极化和镜像的概念一直都是电磁场教学中的一个难点。本文通过对点电荷在介质镜像和导体镜像中的对比研究,从物理现象底层出发,对极化的本质进行了较为深入的分析,实现了两者完全的统一