无限大接地导体平面上有象电荷分布的计算

无限大接地导体平面上有象电荷分布的计算

显微镜法通常用于解决点电莲附近有一根杆的问题。若有一定大小形状的带电体附近有导体时,由于静电感应,导体上的感应电荷也影响原带电体,使原带电体本身的电荷也将重新分布,再用镜象法就不方便了。但若原带电体本身电荷分布变化比较小(如带电体是一段介质线),在所讨论的问题中影响不大,此时仍可用镜象法求其场分布并进而求得导体上的感应电荷分布。虽然比点电荷复杂一些,但却是可行的,尤其是导体表面为简单的几何形状,如无限大平面、球面等。本文暂时只讨论无限大接地导体平面(以下称导体平面)附近有点电荷及一段线电荷的情况。1区域内体验空间和回归系数的确定设点电荷Q为正,则导体平面上感应电荷为负,空间电场由点电荷Q和感应电荷共同激发,边界条件是:导体平面上U=0。根据边界条件及感应电荷分布的对称性,由镜象法设导体平面下方有象电荷Q′=-Q,其位置与Q关于导体平面为对称。Q和Q′与导体平面距离相等,设为a。此时导体平面上任一点的电势为:满足边界条件,因而用Q′激发的电场代替感应电荷激发的电场是正确的。此时导体平面上方空间任一点P处(到Q、Q′的距离分别为r、r′)的电势(见图1)为:电场强度为:与一个轴线为2a,电矩Pe=2aQ的电偶极子电场相同。在导体平面表面上,即z=0处,分别由(3),(4),(5)式求得:即在导体平面表面上无电场强度分量,与静电平衡条件是相符的。相当于偶极子Pe=2aQ的中垂面上的场强,方向与z轴正方向相反。在QQ′的联线上,由(3),(4),(5)式可得:相当于电偶极子延长线上的场强,方向与z轴正方向相同。可见,当距离无限大均匀接地导体平面为a处有一点电荷时,在点电荷同侧空间的电场相当于电矩大小Pe=2aQ的电偶极子所激发的场。导体平面上感应电荷面密度分布由(8)式求得:遍布于整个平面,并以坐标原点(Q到平面的垂足)为中心的圆对称,在r=(x2+y2)1/2圆周上e相同。整个导体表面上感应电荷总量为:从电力线角度看,因平面无限大,可认为由Q发出的电力线将全部终止于接地导体平面上,与实际相符(见图2)。2导电规范检测整根带导线上的应力场设带电细介质线(以下简称带电线)长为b,电量为Q,其电荷线密度λ=Q/b,平行于y轴放置,与导体平面距离为a,细线中点在平面上的投影与坐标原点重合。同样,空间电场由Q和感应电荷共同激发。边界条件是将线电荷看成是无数点电荷dq=λdl组成。由镜象法,每一电荷元dq都有象电荷dq′=-dq与dq关于导体平面为对称,则整根带电线有象电荷Q′=-Q,长为b,与原带电线关于导体平面为对称。任一对电荷元dq和dq′在平面上方空间(与Q同侧)任一点P处产生的电势(见图3)为:整根带电线与象电荷在空间产生的电势为:由(14)式可求得,导体平面上的电势:满足边界条件,即用象电荷Q′激发的电场代替感应电荷激发的电场是正确的。再由(14)式可求得,平面上方空间任一点电场强度为:在导体平面上,由(16),(17),(18)式分别求得:即导体平面的表面上的电场强度与导体垂直,与静电平衡条件相符。且由上式可知,若原带电线带正电荷(λ>0),则E垂直指向平面,其分布如图4(图4中的a,b,c分别为从正,侧,反三个角度去观察的分布图象)。反之E由平面垂直指向外,与实际相符。由(20)式可求得导体平面上感应电荷分布为:遍布于整个平面,其分布图同E的分布图,仅在数值上相差X0。整个平面所带感应电荷总量为:(注:此积分结果由计算机算得)即整个平面所带感应电荷与原带电线所带电荷等量异号。从电力线角度来看,可认为原带电线发出的电力线全部终止在无限大接地导体平面上,与实际相符。3导电规范的求解将以上带电线沿Z轴放置,下端距导体平面为a。同样,空间电场由Q和感应电荷共同激发,其边界条件是:由镜象法,带电线上任一电荷元dq=λdl和象电荷dq′在平面上方空间任一点P处的电势(见图5)为:整根带电线与像电荷在空间产生的电势为:由(25)式可求得导体平央上任一点电势为:满足边界条件,因此导体平面上的感应电荷所激发的电场可用象电荷激发的电场代替。再由(25)式求得空间任一点的电场强度:在导体平面上,分别由(27),(28),(29)式求得:可见,在导体平面的表面上只有EZ分量,即与静电平衡条件相符。若原带电线带正电,即λ>0,E垂直指向导体平面,反之,由导体平面垂直指向外,与实际相符。由(31)式求得平面上电荷密度分布为:遍及整个平面,其分布为以O点中心的圆对称,即在距O点为的圆周上,e量值相同。整个平面的感应电荷总量为:整个平面所带感应电荷总量与原带电线所带电荷等量异号。从电力线角度来看,可认为带电线所发出的电力线全部终止于无限大导体平面上,与实际相符。同样可以用镜象法求出导体为球面时空间电场的分布以及球面上感应电荷的分布,但是当电荷在球外时,其象电荷及感应电荷的电量与原电荷不再等值。带电线若不沿径向放置,则象电荷不再是直线,这里不再讨论。由以上