带电导体系的格林互易定理

带电导体系的格林互易定理

1.音机的量的大小在日常生活和电子技术中，通常会发现不同的体积和分散容量。例如,高灵敏度的短波收音机在收听过程中,用手去触摸一下天线或机壳,将削弱或改进收音机的音量大小。这是因为人这个导体与调谐电容之间存在部分电容,使调谐电路的谐振频率发生改变所致。但什么是部分电容和杂散电容呢?在中等职业学校电子技术专业的教材中少有提及。因此,本文打算从点电荷电位公式及电位的叠加原理出发,导出带电导体系的格林互易定理,然后详细又严格地讨论部分电容和杂散电容,旨在使从事电子技术工作的教师同行和优秀的学生,能正确理解这两个概念,以利于在实际工作中尽量减少部分电容和杂散电容所带来的不利影响。2.上的电位v设在介电常数为ε的均匀线性电介质中有n个分离放置的导体,当其上带电荷1Q,2Q……nQ时,各导体上的电位分别为1V,2V……nV;而当其上带电荷1Q′,2Q′……Qn′时,各导体上的电位分别为1V′,V2′……nV′。可以证明:从左到右按行相加得到:上到下按列相加,得到:或写成:同理有:此即n=3时带电导体系的格林互易定理,于是(1)式得证。作为(1)的一个重要应用,可在(1)中令:得:式(3)的物理意义是,在一组导体的情况下,令其中1个导体(如导体1)带电荷Q,在其它导体都不带电时,导体1上的电荷Q在另一个原先不带电的导体(如导体2)上产生的电位,等于此另一导体上带电荷Q,其它导体都不带电时,在原来那个带电导体上产生的电位,这个重要结果将用于证明电位系数和电容系数的互易性。3.导电导电系统的几何与vj同负考虑n个原来不带电、位置和形状固定的导体组,在其中任一个导体i上放置电荷iQ,则iQ将以确定的方式影响所有其它导体的电位,且这种影响的方式仅取决于导体组的几何形状和空间分布及介电常数。于是,在导体i上的电荷iQ将使原来不带电的导体j产生电位Vj,Vj与Qi之比称为电位系数。sij仅取决于导体组的几何形状和空间分布以及介电常数,与Qi无关,它恰好反映了Qi以确定方式影响导体j的电位能力的大小。事实上,当Qi=1单位时,Vj在数值上等于。此外,实验证明Vj与iQ同正负,故恒为正值。若将导体i的电荷Qi搬到导体j上(并保持其它导体仍不带电),即使Qj=Qi=Q,则由(3)知Vi=Vj,进而得到,这就是电位系数的互易性。现在,让n个导体分别带电,则由电位叠加原理知:式中就是前面讲过的电位系数,表示导体k上带电Qk,其它导体均不带电时,Qk在导体k上产生的电位Vk与Qk之比。显然,Vk与Qk同正负,故恒为正值。因sij与的量纲是电容量纲的倒数,所以sij又叫互倒电容(系数),又叫自倒电容(系数)或自电位系数。因sij,为与Q,V无关的常量,故(4)式是n元线性方程组,可通过行列式法把Qi用Vi线性表示出,即:式中:Mij为∆划去第i行和第j列后所得的行列式,叫∆的一个余因子。例如:考虑到及行列式与其行列互换得到的转置行列式相等的性质,更一般地有,即互电容系数cij也具有互易性。因具有电容的量纲称为自电容(系数),其物理意义是:当导体k上带电Qk,而其它导体电位为零(接地)时,该导体的电位Vk与Qk之比的倒数,即。因Qk与Vk同正负,故恒为正值,因Vk=1伏时,数值上等于Qk,所以反映了该导体承载电荷容量的大小。同sij,一样,cij,皆与Q,V无关,完全取决于导体组的几何形状,空间分布及介电常数。4.电容器电极的确定我们已知由两个带等值异号电荷的导体可构成一个电容器,其电容定义为:式中Q>0为带正电荷导体1上的电量,V1为它的电位,V2为带-Q电荷导体2的电位。当把导体2移至无限远处时,其电位V2变为零,C为“孤立导体1”的电容。先研究两个导体,且导体2完全包围导体1的情况,如图2所示。设导体1带正电荷Q1,电位为V1,导体2带电荷Q2,电位为V2,因导体2内部电场恒为零,故其内表面的感应电荷为-Q1,于是其外表面带电(图中)。由(7)式可算出图2中电容器的电容。另一方面,对于图2所示导体系应用(5)式可得:于是(8)式可写成:式中:,由(10)知乃是导体2内表面上的感应电荷,乃是导体2外表面的总电荷。因由外表面上电荷Q20发出的电力线必终止于无限远的电荷-Q20上,故:表示导体2相对于无限远的电容。其次考虑三个互不包围的导体组成的系统,如图3所示。设图中导体1、2、3上分别带电,它们的电位分别为,由(5)并注意到(i≠j)有:因,为负,为正,于是:类似地有:式中:考虑到(i≠j),立即得到:则有:以上结果可推广到n个互不包围的导体系,其中导体i上的电荷为:式中:cij或称为导体i和j之间的部分电容,而ci0称为导体i的杂散电容。由以上讨论可知,实际电容器几乎没有一个导体包围另一个导体的情况,用途最广的平板电容器的极板也不是无限大的,所以当实际电容器旁边存在其它导体时,电容器两极板与其它导体、与零电位参照物(大地)之间必有部分电容和杂散电容存在。当部分电容比之电容器电容小很多时,人们也常称其为杂散电容。此即点电荷系的格林互易定理。有了(2)不难证明(1)。为具体起见考虑三个分离导体系的情况,如图(1)所示。当导体1、2、3上带电荷时,它们的电位分别为;当它们带电荷时,电位分别为。设想把三个导体上的电荷都细分为100份,每份均可