对称性在电磁学中的应用

对称性在电磁学中的应用

对称也称为不变异，即系统操作后的系统状态与之前的状态等效。此操作可称为“对称操作”。在物理学上,这种操作有很多的方式,如空间上的平移、旋转、反射,时间上的反演等。本文主要研究镜像对称性在电磁学中的应用,通过具体实例对电场或磁场分布进行分析。一、真、私家车矢量的转换镜像对称即把系统关于镜像对称面做一次左右置换,显然它是“对称操作”,因为关于对称面置换以后,系统的状态没有发生改变,我们把这种关于镜面对称的操作称为“镜面反射”。物理学中的矢量可分为两大类:真矢量和赝矢量,其分类根据是矢量在镜面反射操作下的变换方式。对真矢量作镜面反射,则真矢量与镜面平行的分量不变而与镜面垂直的分量会反向。如位置矢量(图1左所示)、速度矢量、电流强度矢量、电偶极矩矢量等。而对于赝矢量,对其作镜面反射后,与镜面平行的分量反向而与镜面垂直的分量不变。如角速度矢量ω(图1右所示)、角加速度矢量α等。容易证明得出,两个真矢量的叉积一定是赝矢量,如。由于真、赝矢量的不同镜面反射性质,如果系统关于某镜面是对称的,那么对称面上的真矢量只能有平行分量,而赝矢量只能有垂直分量。从库仑定律出发,可以论证,静电场E是真矢量,从毕奥-萨伐尔定律出发,可以论证,磁感应强度B是赝矢量。值得注意的是,变化磁场下的感应电场E感又具备了类似赝矢量的性质。我们有这样的结论:真矢量静电场E总在镜像对称面内,而赝矢量磁感应强度B总垂直于镜像对称面。二、e、q、p处区域电场的等值线问题:如图2左所示,一个理想点电荷q放在真空中,点电荷q下方有一接地的无限大的薄金属板,金属板与点电荷q之间的垂直距离是h,求金属板上与点电荷q距离为R的地方的感应电荷面密度。对于这个问题,所能使用的工具只有静电平衡条件,而问题所给的条件又非常少,似乎难于下手。如果对系统的对称性进行分析,则会发现其实并不复杂。从中可以看出,这个系统关于h所在的垂直轴呈轴对称分布,即绕h轴旋转任意角度都不会改变电荷的分布,那么根据“对称性的原因必然导致对称性的结果”,可知以q在平面上投影O为中心的任意同心圆r处有相同的电荷面密度。如图2右所示,从形式上可以画出一组组感应电荷“等值线”。我们希望能够求出P处上表面的电场强度EF(已知其方向与金属板面垂直),通过σ=ε0EF来求解。由静电平衡条件可知内表面处E=0,设q在P处产生电场为E0,如图3所示,则带电平面在下表面处产生电场为E1=-E0。q在P处上表面产生电场为E0,关键在于求出带电平板在P上表面处产生的电场强度E2,这里就要用到极矢量E关于镜像对称的性质。下面单独研究带电平面。图3左的平面是金属板的一个镜像对称面,由静电场E总在镜像对称面内这个结论可知,E1、E2都应在图示平面内,空间电场便简化到二维平面上分析。显然,金属板自身平面也是其镜像对称面,将E1分解为平行镜面(即自身平面)x方向和垂直镜面y方向上,对带电金属板关于自身平面对称操作,由真矢量镜面反射特性可得:E2x=E1x,E2y=-E1y,E2便得以求出。接下来对E2与E0矢量叠加,结合静电平衡条件:Ep与带电平面垂直,可求得Ep=E2+E0,如图3右所示Ep大小为:可知P处感应电荷面密度为:三、心静电场中n、d和d方向的叠加问题:有一无限长均匀带电圆柱体(R,ρ),其内有偏心圆柱形空腔,偏心距为d,求空腔内的电场分布。对该系统进行对称性分析:如图4左所示,显然过O1O2且垂直于圆截面的平面为带电系统的镜像对称面α,而点电荷产生的静电场E是真矢量,由真矢量的镜面对称性质可知,镜像对称面内各点的电场强度矢量E必在镜像对称面α内,而圆截面本身也是带电系统的镜像对称面β,平面α、β交线上的场点电场强度E必沿O1O2方向,即d的方向。以上结论可以通过定量计算得以证明。如图4中所示,对空腔内任一场点P,可看作是整个带正电圆柱体与带负电空腔产生电场的叠加。作同心圆柱体高斯面,可求得可知空腔内有匀强电场,且沿d方向。下面换一种情形来分析:在圆柱形偏心空腔的无限长直螺线管内有均匀变换的磁场(k>0),偏心距为d,求空腔内的感应电场分布。如图5左所示,先进行对称性分析:过O1O2且与图截平面垂直的平面任为系统的镜像对称面,但E感不同于静电场E,它具有赝矢量的特性,可知E感应与镜像对称面垂直。以上结论同样可以通过定量计算得以证明。如图5中所示,对空腔内任一场点P,E感可以看作是整个柱面空间内变化的磁场产生的E感1与空腔内相反方向同步变化磁场产生E感2的叠加,作同心环状安培回路,有:可知空腔内有匀强感应电场,大小为,且方向与d垂直。通过这两个例子可以看出,电荷产生的有源场E与变化磁场产生的无源闭合感应电场E感的镜像对称性有本质区别。四、麦克斯韦-安培定律和高斯定律麦克斯韦方程组概括了19世纪的一些重要的电磁学理论:库仑定律、安培定律和法拉第定律等。麦克斯韦方程组最初由20个方程组成,后来随着符号数学的发展,方程组被简化为四个基本方程:这四个方程从上到下分别是高斯定律、高斯磁定律、法拉第感应定律和麦克斯韦-安培定律。高斯定律描述电场是怎样由电荷生成。法拉第感应定律描述的是时变磁场怎样生成(感应出)电场。而麦克斯韦-安培定律描述的是磁场可以用两种方法生成:一种是靠电流(原本的安培定律),另一种是靠含时电场(麦克斯韦修正项)。在电磁学里,麦克斯韦修正项意味着时变电场可以生成磁场,而由于法拉第感应定律,时变磁场又可以生成电场。这样,两个方程在理论上允许相互激发的电磁波传播于空间。对称性在麦克斯韦方程组中有着强烈的体现。在方程形式上,麦克