基于时域格林函数的近源时间域电磁场解析式

基于时域格林函数的近源时间域电磁场解析式

1瞬变电磁直接时间域解的提出及研究手段在近源条件下，csamt法无法将辐射场从具有主要优势的现有场中分离出来，因此只能使用某些场的组件来进行几何测量（kovumanandzhangxiang2004；陈明生、严旭，2005）。对于瞬变电阻法，当使用低频提升波的激励波时，仪器被关断，获得辐射场，即远离现场的区域，并获得近源深度的检测能力（牛志廉，2007；薛国强等，2013）和高信噪比。这是一种施工方便、检测深度大、场地信息丰富的新方法。近年来，近源的检测引起了高度重视（薛国强等，2013；nestorandalumbah，2011；魏伦等人，2012）。在传统的勘探电磁场理论研究中，大多在偶极子假设前提下，根据频率域解析解，得到时间域解（KnightandRaiche,1982;Raiche,1987）．在电磁场近源区，偶极子近似解与精确解之间存在较大误差（薛国强等，2011），偶极子假设理论无法适应近源情况下精确勘探的需要．研究点电荷微元假设下的瞬变电磁场直接时间域解具有重要意义．纳比吉安（1992）给出了单位点源的频率域格林函数，通过反付氏变换，得到全空间直流点源静电场时域格林函数和时间域电磁场波动方程解析解，并将无穷小偶极源作为点源代入格林函数表达式，得到瞬态偶极元电磁场响应．由于推导时需将点源放在坐标原点，只给出了单位点源的响应，未考虑源尺寸大小以及不同位置源激发时响应，无法处理大尺度的长接地导线源和大回线源．电动力学中采用“比拟”法求取波动方程时域解，首先给出时间域点电荷源波动方程的通解，与静态场的点电荷的电位解析式相比较，得到通解中的待定系数，由此得到波动场的推迟标量位函数（冯恩信，2005).瞬变电磁场直接时间域响应研究手段有解析和数值模拟方法（闫述等，2002;WangandHohmann,1993），对于解析法，从时变点电荷出发的直接时间域格林函数求解扩散方程的研究，目前还未有更多的相关报道．为避免频时变换实现过程中的计算误差，与以往“比拟”法或者先在频率域推导格林函数思路的不同，本文利用时间域格林函数直接推导电磁场波动方程解析解，同时，首次推导出扩散方程的直接时间域解析式，并给出了全空间回线源瞬变电磁直接时间域响应式．研究成果为瞬变电磁法的进一步发展和实际勘探提供新的理论基础．2加拉格波动方程在均匀、线性、各向同性的媒质中有源的麦克斯韦方程组为（方文藻等，1993)式中，J为电流源密度矢量，ρ为自由电荷密度．E是电场强度（V/m),H是磁场强度（Wb/m2）．ν2=1/εμ，（ν为光速）μ，ε分别为磁导率和介电常数．由麦克斯韦方程组（1），可得到电磁场矢量阻尼波动方程（方文藻等，1993)当场变化很快或介质电阻率趋于无穷时，（2）式变为达朗贝尔波动方程（方文藻等，1993)当场变化比较慢并在良导介质中传播时，（2a）式和（2b）式分别为扩散方程（方文藻等，1993)当点电荷位于坐标原点时，（2）式对应的频率域格林函数为（纳比吉安，1992)式中，r=(x2+y2+z2)1/2表示到坐标原点的距离．对（5）式进行付氏反变换，得到时间域格函数（纳比吉安，1992)式中，c1是待定系数．为源点到原点的距离．由于静态点电荷势函数为（冯恩信，2005)令（7）式中的t=0，将（7）和（8）“比拟”后，确定出式（7）中的系数c1，由此得波动场的推迟标量位函数（冯恩信，2005)3波动方程的直接时间解电磁场达朗贝尔波动方程为（冯恩信，2005)4直接时间域解的扩散方法方程（4）对应的标量形式扩散方程（冯恩信，2005)由（22）式得扩散方程（4）的电场和磁场响应解析公式5扩散场时域林函数的近似本文分别给出了全空间时变点电荷源的直接时间域波场方程和扩散方程的电磁响应表达式．已经证实由“比拟“法得到的波动场直接时域格林函数（冯恩信，2005）公式（9）与经过严格数学推导所得出的精确解析解公式（17）具有相对的形式．对于所推导出来的直接时间域扩散方程，将通过与纳比吉安（1992）近似计算结果进行对比，以说明文中结果的正确性．经反拉氏变换和类比法，纳比吉安（1992）给出似稳态情形下扩散场直接时域格林函数的近似公式式中，g(r,t）表示扩散场时域格林函数响应．分别对格林函数精确表达式（21）式和似稳态情形下近似表达式（25）式进行计算，并画出响应值随时间变化曲线．图3给出了导电率为0.01S/m的全空间中，距源100m处G(x,t;0,0）随时间的变化曲线．图中实线表示根据公式（25）的近似计算结果．虚线表示根据公式（21．）的精确计算结果．对比两种公式的计算结果曲线，可以明显看出两种曲线基本吻合．图4给出了导电率为0.01S/m的全空间中，时间t=10ms格林函数精确表达式（21）式和似稳态情形下近似表达式（25）随距离变化曲线．图中实线表示根据公式（21）的计算结果．虚线表示根据公式（25）的计算结果．容易看出距离较小时存在误差，距离较大时两曲线基本吻合．从而验证了远场区情况下，在点电荷假设下直接时域格林函数精确解析解与格林函数近似解是一致的，而在近源情况下存在明显误差．说明本文推导出来的格林函数精确解具有较高的精度．6子源积分相同的研究思路当发射源形式给定后，通过时域电磁场强度公式（23）和（24）可以得到任意场点处由点电荷发射源产生的总电磁场强度．针对大定源回线装置，建立如图5的三维坐标系．采用与矩形回线偶极子源积分相同的研究思路（Poddar,1983;Xueetal.,2012），将整个回线源分成四段直线段EB,BC,CD,DE构成，当z=0时，可简化成平面坐标系（图6).在整个回线源上产生电磁场是沿四条直线段上的点电荷产生的电磁场的迭加，源点x′=（x′，y′，z′）位于四条直线段上，场点x=(x,y,z）为任意点．由此可得EB段参数方程为弧长微元由第一型曲线积分的计算公式经（23）和（24）式沿EB计算积分，得大回线源EB段扩散电磁场方程时域解为由此，可通过积分计算出任意场点处发射源产生的扩散场总电磁场强度．7辅助算法的解析为了对瞬变电磁精细解释提供理论基础，本文经过严格数学推导得到麦克斯韦方程的时间域解析式，并给出了全空间回线源瞬变扩散电磁场直接时间域响应式．与纳比吉安文献中研究相比，本文直接采用时间域格林函数进行推导，避免了偶极子假设下由频域转到时域引起的误差；与电动力学中采用“比拟”法求取波动方程时域解相比，本文的直接推导算法更显得数学上的严密性．这种方法克服了偶极子假设下只适用远场区的不足，也回避了引入位函数等繁琐的理论推导．研究成果完善了时间域电磁场理论，为瞬变电磁法的进一步发展和实际勘探提供新的理论基础．附录通过“比拟”方法，可得到更普遍的、点电荷不位于坐标系原点的解析解．（4）式对应的标量位函数的通解为（冯恩信，2005)为了直接推导出方程（10）时域格林函数的解析形式，将方程（10）右端项用δ函数表示成积分形式．通过积分算符对δ函数的作用，并令源点x′=（x′，y′，z′），场点x=(x,y,z），经推导得出方程（10）对应的格林函数形式其中K为三维空间积分变量，K0为时间积分变量．故方程（10）的格林函数解为(12）式中的格林函数的物理意义为：在t′时刻位于x′的单位强度源在t时刻在点x处所产生的场．对所有源引起的场及所有时刻响应进行积分，便得到给定时空坐标的场量u(x,t).下面通过具体计算格林函数（11）式中右端的时空四重积分给出格林函数的解析式，选用如图1所示的球坐标，图中x-x′为极轴．可得再对（12）式中径向部分进行积分，将r积分变为沿整个实轴的积分将（13）中分母分解因式得当积分（14）式分母等于零时，在实轴上存在两个一阶奇点．为解决这一问题，引入辅助路径CR和Cε，积分回路的选择如图2所示，利用约当引理和留数定理求得再利用δ函数的积分表示得因此方程（10）的解为利用δ函数的性质，可以求出对t′的积分(17）式是达朗贝尔方程直接时间域推迟势的公式．与经典电磁场理论（冯恩信，2005）中由“比拟”方法得到的公式（9）一致．说明本文方法是正确的．进一步地，由（17）和（3）式，得到电场和磁场分量时间域的响应解析公式经推导得到扩散方程（20）的形式Green函数为与前面达朗贝尔方程格林函数解的讨论类似，经积分运算得到