北师大数学总复习第9章第5课时古典概型

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精【A级】基础训练1．下课后教室里最后还剩下2位男同学和2位女同学，如果没有2位同学一块走，则第二位走的是男同学的概率是(）A.eq\f（1，2） B．eq\f（1，3)C.eq\f（1,4） D．eq\f（1,5)解析：每个同学均可能在第二位走，故共有4种情况,而男同学有2个,故所求概率为P＝eq\f（2,4）＝eq\f(1，2)，故选A。答案：A2．(2014·温州模拟）甲、乙两人各写一张贺年卡随意送给丙、丁两人中的一人,则甲、乙将贺年卡送给同一人的概率是(）A.eq\f(1，2） B．eq\f（1,3）C。eq\f(1，4) D．eq\f(1，5）解析:(甲送给丙、乙送给丁)、（甲送给丁，乙送给丙)、（甲、乙都送给丙）、（甲、乙都送给丁）共四种情况，其中甲、乙将贺年卡送给同一人的情况有两种，所以选A。答案：A3．从{1,2,3,4，5｝中随机选取一个数为a，从{1,2,3}中随机选取一个数为b，则b＞a的概率是()A.eq\f(4，5） B．eq\f（3,5）C。eq\f(2,5) D．eq\f(1,5)解析：从｛1,2，3,4,5｝中随机选取一个数有5种选法，从{1,2,3｝中随机选取一个数有3种选法，由分步计数原理知共有5×3＝15种选法．而满足b＞a的选法有：当b＝3时，a有2种，当b＝2时，a有1种，共有2＋1＝3种选法．由古典概型知b＞a的概率P＝eq\f（3,15）＝eq\f（1，5），故选D.答案：D4．(2014·武汉模拟）任取一正整数，则该数平方的末位数是1的概率为________．解析：正整数的个位数字是0,1，2,3,4，5，6，7,8,9中的一个，而要使平方后末位数是1，则该正整数的个位数只能是1和9中的一个，故所求概率为eq\f(2,10)＝eq\f(1，5）。答案：eq\f（1,5）5．(2014·南京模拟）在集合A＝｛2，3}中随机取一个元素m，在集合B＝｛1，2,3｝中随机取一个元素n，得到点P（m，n）,则点P在圆x2＋y2＝9内部的概率为________．解析:由题意得到的P(m，n）有（2，1),（2,2)，(2，3)，（3，1),(3，2），（3,3)，共6个，在圆x2＋y2＝9的内部的点有（2,1），(2,2），所以概率为eq\f(2,6）＝eq\f(1,3）.答案:eq\f（1,3）6．电子钟一天显示的时间是从00：00到23：59，每一时刻都由四个数字组成，则一天中任一时刻显示的四个数字之和为23的概率为________．解析：一天显示的时间总共有24×60＝1440种，和为23总共有4种:19：58，18：59，19：49,09：59，故所求概率为eq\f(1，360）。答案：eq\f（1,360)7．(2014·北京朝阳二模)高三年级进行模拟考试,某班参加考试的40名同学的成绩统计如下:分数段［70,90）[90,100）［100，120）[120，150］人数5a15b规定分数在90分及以上为及格，120分及以上为优秀，成绩高于85分低于90分的同学为希望生．已知该班希望生有2名．(1)从该班所有学生中任选一名,求其成绩及格的概率;(2）当a＝11时，从该班所有学生中任选一名，求其成绩优秀的概率；（3）从分数在(70，90）的5名学生中，任选2名同学参加辅导，求其中恰有1名希望生的概率．解:(1)设“从该班所有学生中任选一名,其成绩及格”为事件A，则P(A）＝eq\f（40－5,40）＝eq\f(7，8）.所以从该班所有学生中任选一名，其成绩及格的概率为eq\f(7，8）。(2)设“从该班所有学生中任选一名，其成绩优秀”为事件B，则当a＝11时，成绩优秀的学生人数为40－5－11－15＝9，所以P(B)＝eq\f（9,40).所以当a＝11时，从该班所有学生中任选一名，其成绩优秀的概率为eq\f（9，40)。（3)设“从分数在(70，90）的5名学生中,任选2名同学参加辅导，其中恰有1名希望生"为事件C.记这5名学生分别为a，b，c,d,e，其中希望生为a,b。从中任选2名,所有可能的情况为ab，ac,ad，ae，bc，bd，be,cd，ce，de,共10种．其中恰有1名希望生的情况有ac，ad，ae，bc,bd，be,共6种．所以P(C）＝eq\f(6，10）＝eq\f(3,5）。所以从分数在(70，90）的5名学生中，任选2名同学参加辅导，其中恰有1名希望生的概率为eq\f(3,5）.8．某日用品按行业质量标准分成五个等级，等级系数X依次为1,2,3,4,5。现从一批该日用品中随机抽取20件，对其等级系数进行统计分析，得到频率分布表如下：X12345fa0。20.45bc(1)若所抽取的20件日用品中，等级系数为4的恰有3件，等级系数为5的恰有2件，求a，b，c的值;（2）在(1)的条件下，将等级系数为4的3件日用品记为x1,x2，x3,等级系数为5的2件日用品记为y1,y2。现从x1，x2，x3，y1，y2这5件日用品中任取两件（假定每件日用品被取出的可能性相同),写出所有可能的结果，并求这两件日用品的等级系数恰好相等的概率．解：(1)由频率分布表得a＋0.2＋0.45＋b＋c＝1，即a＋b＋c＝0.35。因为抽取的20件日用品中,等级系数为4的恰有3件,所以b＝eq\f(3,20）＝0.15，等级系数为5的恰有2件，所以c＝eq\f(2，20)＝0.1，从而a＝0.35－b－c＝0.1.所以a＝0。1，b＝0.15，c＝0.1。（2)从日用品x1，x2，x3,y1，y2中任取两件，所有可能的结果为：{x1，x2}，{x1，x3｝，｛x1，y1}，｛x1，y2}，｛x2，x3｝，｛x2，y1}，｛x2，y2｝，｛x3,y1｝，{x3，y2},{y1，y2｝．记事件A表示“从日用品x1，x2，x3，y1，y2中任取两件，其等级系数相等”，则A包含的基本事件为：｛x1，x2}，{x1，x3}，｛x2，x3},{y1，y2}，共4个．又基本事件的总数为10，故所求的概率P(A)＝eq\f（4，10)＝0。4.【B级】能力提升1．有4条线段，长度分别为1,3，5，7，从这四条线段中任取三条,则所取三条线段能构成一个三角形的概率是(）A。eq\f（1,4) B．eq\f(1，3)C.eq\f（1，2) D．eq\f（2，5)解析：从四条线段中任取三条，基本事件有(1,3，5）,（1，5,7),(1，3,7）,（3,5,7），共4种，能构成三角形的只有(3,5,7）这一个基本事件，故由概率公式得所取三条线段能构成三角形的概率P＝eq\f(1，4)。答案:A2．（2014·德州模拟）先后抛掷两枚均匀的正方体骰子(它们的六个面分别标有点数1、2、3、4、5、6），骰子朝上的面的点数分别为x，y，则满足log2xy＝1的概率为(）A.eq\f（1，6) B．eq\f(5,36）C.eq\f(1，12） D．eq\f（1，2)解析：由log2xy＝1得2x＝y.又x∈｛1,2，3，4,5,6}，y∈{1,2，3，4,5，6｝，所以满足题意的有x＝1,y＝2或x＝2,y＝4或x＝3，y＝6，共3种情况，所以所求的概率为eq\f（3，36）＝eq\f（1,12),故选C.答案：C3．设集合A＝{1,2}，B＝｛1,2，3}，分别从集合A和B中随机取一个数a和b，确定平面上的一个点P（a，b）,记“点P(a，b)落在直线x＋y＝n上”为事件Cn（2≤n≤5,n∈N），若事件Cn的概率最大，则n的所有可能值为（)A．3 B．4C．2和5 D．3和4解析：事件Cn的总事件数为6。只要求出当n＝2,3，4,5时的基本事件个数即可．当n＝2时，落在直线x＋y＝2上的点为(1,1);当n＝3时，落在直线x＋y＝3上的点为(1,2）、（2,1)；当n＝4时,落在直线x＋y＝4上的点为（1，3)、（2，2）；当n＝5时，落在直线x＋y＝5上的点为(2，3）．显然当n＝3，4时，事件Cn的概率最大，为eq\f(1,3).答案：D4．从1，2，3，4这四个数中一次随机地取两个数，则其中一个数是另一个的两倍的概率是________．解析:从1,2,3,4这四个数中一次随机取两个数，共有(1，2)，(1,3),(1，4)，（2，3），（2，4），(3，4)6个基本事件，其中一个数是另一个的两倍的有(1,2)，(2，4)2个基本事件，所以其中一个数是另一个的两倍的概率是eq\f(2,6)＝eq\f(1，3）.答案：eq\f（1，3)5．（2012·高考浙江卷)从边长为1的正方形的中心和顶点这五点中，随机（等可能）取两点，则该两点间的距离为eq\f(\r（2），2)的概率是________．解析:本题可先画出图形,结合图形利用古典概型的概率公式求解．如图，在正方形ABCD中，O为中心，∵正方形的边长为1，∴两点距离为eq\f（\r（2）,2）的情况有（O，A），（O，B），（O,C)，（O，D）4种，故P＝eq\f（4，10)＝eq\f（2,5)。答案：eq\f（2,5)6．(创新题）an＝6n－4（n＝1,2,3，4，5,6）构成集合A，bn＝2n－1(n＝1，2,3，4,5，6）构成集合B,任取x∈A∪B，则x∈A∩B的概率是________．解：由题意知A＝{2，8，14,20,26，32｝．B＝｛1,2，4，8,16,32}．则A∪B＝｛1，2，4,8,14，16,20，26,32｝,A∩B＝{2，8,32}．即A∪B中含有9个元素,A∩B中含有3个元素,所以所求概率是eq\f(3,9)＝eq\f（1,3).答案：eq\f(1,3)7．（创新题)已知集合A＝｛－2,0,2}，B＝{－1,1｝．（1）若M＝{(x，y)｜x∈A,y∈B}，用列举法表示集合M；(2)在(1)中的集合M内，随机取出一个元素（x，y），求以(x，y）为坐标的点位于区域D:eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（x－y＋2≥0,