北京市丰台区高三一模数学理试题

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精2013年北京市丰台区高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题1．(5分）（2013•丰台区一模）复数z=在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限考点：复数的代数表示法及其几何意义．专题：计算题．分析：利用复数的运算法则和几何意义即可得出．解答：解：∵复数z===1+i，∴复数z=在复平面内对应的点（1，1）位于第一象限．故选A．点评：熟练掌握复数的运算法则和几何意义是解题的关键．2．(5分)(2013•丰台区一模）设Sn为等比数列{an}的前n项和，2a3+a4=0，则（）A．2B．3C．4D．5考点：等比数列的性质．3930094专题：等差数列与等比数列．分析：设公比为q，由2a3+a4=0，可得2a1q2+a1q3=0，解得q=﹣2．由此求得S3的值，从而得到的结果．解答：解：∵Sn为等比数列{an}的前n项和,设公比为q，由2a3+a4=0，可得2a1q2+a1q3=0，即q=﹣2，∴S3===3a1．=3，故选B．点评：本题主要等比数列的通项公式，等比数列的前n项和公式,属于中档题．3．(5分)(2013•丰台区一模）执行如图的程序框图，输出k的值是()A．3B．4C．5D．6考点:程序框图．3930094专题：计算题．分析：由已知可得k←1，b←0,则a==1，可得,不满足判断框的条件，应继续循环;b←1=a，再计算判断是否满足，直到满足此条件即可停止循环，输出k的值．解答：解：①k←1，b←0，则a==1，∴，不满足判断框的条件，应继续循环；②k←2，b←1，则,∴＜1，不满足判断框的条件，应继续循环；③k←3，b←，则=，则=＞1，满足判断框的条件，应停止循环．故输出的k是3．故选A．点评：正确理解循环结构的功能和判断框的条件是解题的关键．4．(5分）(2013•丰台区一模）已知变量x，y满足约束条件,则e2x+y的最大值是()A．e3B．e2C．1D．e﹣4考点：简单线性规划的应用．3930094专题：计算题;不等式的解法及应用．分析：令z=2x+y，作出可行域，利用线性规划知识可求得z的最大值，进而可得e2x+y的最大值．解答：解:作出可行域如下图阴影所示：由得，所以B（1,0），令z=2x+y，则当直线y=﹣2x+z经过点B时该直线在y轴上的截距z最大,zmax=2×1+0=2，所以e2x+y的最大值是e2．故选B．点评：本题考查线性规划的简单应用及指数函数的单调性,考查学生灵活运用所学知识分析解决问题的能力．5．（5分）(2013•丰台区一模)已知命题p：∀x∈（0，+∞），3x＞2x，命题q:∃x∈（﹣∞，0)，3x＞2x，则下列命题为真命题的是()A．p∧qB．p∧（￢q)C．（￢p）∧qD．（￢p)∧(￢q）考点：复合命题的真假．3930094专题：计算题．分析：由题意可知p真，q假，由复合命题的真假可得答案．解答：解：由题意可知命题p：∀x∈（0，+∞），3x＞2x，为真命题;而命题q：∃x∈（﹣∞，0），3x＞2x，为假命题,即￢q为真命题,由复合命题的真假可知p∧(￢q）为真命题，故选B点评：本题考查复合命题的真假，涉及全称命题和特称命题真假的判断，属基础题．6．（5分)（2013•丰台区一模）已知a∈Z,关于x的一元二次不等式x2﹣6x+a≤0的解集中有且仅有3个整数，则所有符合条件的a的值之和是（）A．13B．18C．21D．26考点：根的存在性及根的个数判断．3930094专题：函数的性质及应用．分析：设f（x）=x2﹣6x+a，其图象是开口向上,对称轴是x=3的抛物线，如图所示．利用数形结合的方法得出,若关于x的一元二次不等式x2﹣6x+a≤0的解集中有且仅有3个整数，则，从而解出所有符合条件的a的值之和．解答：解:设f（x)=x2﹣6x+a，其图象是开口向上,对称轴是x=3的抛物线，如图所示．若关于x的一元二次不等式x2﹣6x+a≤0的解集中有且仅有3个整数，则，即，解得5＜a≤8，又a∈Z，∴a=6，7，8．则所有符合条件的a的值之和是6+7+8=21．故选C．点评：本题主要考查一元二次不等式,以及根的存在性及根的个数判断问题，同时考查了转化的思想，属于中档题．7．（5分)（2013•丰台区一模)如果函数y=f（x）图象上任意一点的坐标（x，y)都满足方程lg（x+y）=lgx+lgy，那么正确的选项是(）A．y=f（x）是区间(0，+∞）上的减函数，且x+y≤4B．y=f（x）是区间(1，+∞）上的增函数,且x+y≥4C．y=f（x）是区间（1，+∞）上的减函数,且x+y≥4D．y=f（x)是区间(1，+∞）上的减函数，且x+y≤4考点：函数单调性的判断与证明．3930094专题：函数的性质及应用．分析：由给出的方程得到函数y=f（x）图象上任意一点的横纵坐标x，y的关系式，利用基本不等式求出x+y的范围，利用函数单调性的定义证明函数在（1，+∞）上的增减性，二者结合可得正确答案．解答：解：由lg（x+y）=lgx+lgy，得，由x+y=xy得:，解得:x+y≥4．再由x+y=xy得：（x≠1)．设x1＞x2＞1，则=．因为x1＞x2＞1，所以x2﹣x10，x2﹣1＞0．则，即f（x1)＜f(x2）．所以y=f（x）是区间(1，+∞)上的减函数，综上，y=f（x）是区间（1，+∞)上的减函数，且x+y≥4．故选C．点评：本题考查了函数单调性的判断与证明，考查了利用基本不等式求最值,训练了利用单调性定义证明函数单调性的方法，是基础题．8．（5分）（2013•丰台区一模）动圆C经过点F（1，0），并且与直线x=﹣1相切，若动圆C与直线总有公共点，则圆C的面积（）A．有最大值8πB．有最小值2πC．有最小值3πD．有最小值4π考点:圆的标准方程；点到直线的距离公式．3930094专题：直线与圆．分析：由题意可得动圆圆心C（a，b)的方程为y2=4x．即b2=4a．由于动圆C与直线总有公共点，利用点到直线的距离公式和直线与圆的位置关系可得圆心C到此直线的距离d≤r=|a+1｜=a+1．据此可得出b或a满足的条件，进而得出圆C的面积的最小值．解答:解：由题意可得：动圆圆心C（a，b)的方程为y2=4x．即b2=4a．∵动圆C与直线总有公共点，∴圆心C到此直线的距离d≤r=|a+1｜=a+1．∴≤a+1，又，上式化为，化为解得b≥2或．当b=2时,a取得最小值1，此时圆C由最小面积π×(1+1）2=4π．故选D．点评：本题综合考查了抛物线的定义、直线与圆的位置关系、点到直线的距离公式、一元二次不等式及其圆的面积等基础知识，考查了推理能力和计算能力．二、填空题9．（5分）（2013•丰台区一模）在平面直角坐标系中，已知直线C：（t是参数）被圆C:（θ是参数)截得的弦长为．考点:参数方程化成普通方程；直线与圆的位置关系．3930094专题:直线与圆．分析：由题意将圆C和直线l先化为一般方程坐标，然后再计算直线l与圆C相交所得的弦长．解答:解：∵在平面直角坐标系xOy中，已知圆C:（θ为参数），∴x2+y2=1,∴圆心为（0，0),半径为1，∵直线l：（t是参数），∴x+y﹣1=0,∴圆心到直线l的距离d=，∴直线l与圆C相交所得的弦长=2×=．故答案为:．点评:此题考查参数方程与普通方程的区别和联系，两者要会互相转化，根据实际情况选择不同的方程进行求解，这也是每年高考必考的热点问题．10．（5分）（2013•丰台区一模）某校从高一年级学生中随机抽取100名学生，将他们期中考试的数学成绩(均为整数)分成六段：[40，50),［50,60），…,[90，100］后得到频率分布直方图(如图所示）．则分数在［70，80）内的人数是30．考点：频率分布直方图．3930094专题：概率与统计．分析：由频率分布直方图得分数在[70，80）内的频率等于1减去得分在[40，70]与［80，100]内的频率，再根据频数=频率×样本容量得出结果．解答：解：由题意，分数在［70，80)内的频率为：1﹣（0。010+0.015+0。015+0。025+0.005）×10=1﹣0。7=0。3．则分数在［70，80）内的人数是0.3×100=30人；故答案为:30．点评:本题主要考查了频率分布直方图．解决此类问题的关键是熟悉频率分布直方图，属于基础题．11．(5分)（2013•丰台区一模）如图，已知直线PD切⊙O于点D，直线PO交⊙O于点E，F．若,则⊙O的半径为；∠EFD=15°．考点：与圆有关的比例线段．3930094专题：计算题；三角函数的求值；直线与圆．分析：由切割线定理得PD2=PE•PF，代入题中数据解出PE=．根据圆心0在直线PEF上,算出直径EF=PF﹣PE=2，可得半径r=．由△EDP∽△DFP算出=,再在Rt△DEF中利用正切的定义算出tan∠EFD==，从而得到∠EFD的大小．解答:解：∵线PD切⊙O于点D，PO交⊙O于点E，F．∴PD2=PE•PF，可得12=PE×（），解之得PE==由此可得EF=PF﹣PE=﹣()=2∵O是圆心，EF经过点O，∴直径EF=2，可得⊙O的半径为r=∵∠EDP=∠DFP,∠P是公共角，∴△EDP∽△DFP，可得=∵EF是⊙O直径，∴DE⊥DF因此，Rt△DEF中，tan∠DFP==结合∠DFP是锐角,得∠DFP=15°,即∠EFD=15°故答案为：，15°点评：本题给出圆的切线长和经过圆心的割线长,求圆的半径并求∠EFD的大小．着重考查了切割线定理、相似三角形的判定与性质和直角三角形中三角函数的定义等知识,属于中档题．12．（5分）(2013•丰台区一模)在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，AB=AD=1，BC=2，E是CD的中点，则=﹣1．考点：平面向量数量积的运算．3930094专题：计算题；平面向量及应用．分析：以B为原点，以BC、AB所在直线为x、y轴，建立如图直角坐标系．则A（0，1），B（0，0），C(2，0），D（1，1），从而得到E的坐标为（，），从而得到向量的坐标，结合数量积的坐标公式可得的值．解答:解:以B为原点，以BC、AB所在直线为x、y轴，建立如图所示直角坐标系，可得A（0，1），B（0，0），C(2，0）,D(1，1）∵E是CD的中点,∴点E的坐标为（，)因此,=（﹣1，1)，=(，)可得=（﹣1）×+1×=﹣1故答案为：﹣1点评:本题在直角梯形中求向量的数量积,着重考查了平面向量数量积的坐标运算公式和梯形的性质等知识，属于基础题．13．(5分)（2013•丰台区一模)某四面体的三视图如图所示，则该四面体的四个面中,直角三角形的面积和是．考点：由三视图求面积、体积．3930094专题：计算题;作图题．分析:由三视图还原得到原几何体,分析原几何体可知四个面中直角三角形的个数，求出直角三角形的面积作和即可．解答：解：由三视图可得原几何体如图，该几何体的高PO=2,底面ABC为边长为2的等腰直角三角形，所以，该几何体中,直角三角形是底面ABC和侧面PBC．事实上，∵PO⊥底面ABC，∴平面PAC⊥底面ABC，而BC⊥AC,∴BC⊥平面PAC，∴BC⊥AC．PC=．．．所以，则该四面体的四个面中，直角三角形的面积和是．故答案为．点评：本题考查了由三视图还原原图形，考查了学生的空间想象能力和思维能力,考查了三角形的面积,是基础题．14．（5分）（2013•丰台区一模）已知M是集合{1，2，3，…，2k﹣1｝（k∈N＊，k≥2)的非空子集，且当x∈M时，有2k﹣x∈M．记满足条件的集合M的个数为f（k），则f（2）=3；f（k）=2k﹣1．考点：子集与真子集．3930094分析：根据集合的元素数目与非空子集个数的关系，计算可得答案．解答：解：将1，…2k﹣1分为k组，1和2k﹣1，2和2k﹣2,…k﹣1和k+1，k(单独一组）每组中的两个数必须同时属于或同时不属于一个满足条件的集合M每组属于或不属于M,共两种情况M的可能性有2k排除一个空集M的可能性为2k﹣1所以f（k）=2k﹣1f（2）=22﹣1=3故答案为:3；2k﹣1．点评：本题考查集合的元素数目与真子集个数的关系，n元素的子集有2n个，真子集有2n﹣1个,非空子集有2n﹣1个．三、解答题15．（13分）（2013•丰台区一模）已知函数f（x）=（sinx+cosx）2﹣2cos2x．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期和单调递增区间；（Ⅱ）求函数f（x）在上的值域．考点:两角和与差的正弦函数；二倍角的正弦；二倍角的余弦；正弦函数的定义域和值域；正弦函数的单调性．3930094专题：三角函数的图像与性质．分析:(Ⅰ）化简可得f（x）=sin（2x﹣），可得周期为π,由2kπ﹣≤2x﹣≤2kπ+，解x的范围可得单调递增区间；（Ⅱ）由x的范围可得2x的范围，进而可得2x﹣的范围,由正弦函数的知识可得sin（2x﹣）的范围，进而可得答案．解答：解:（Ⅰ）由题意可得f（x）=sin2x+2sinxcosx+cos2x﹣2cos2x=1+sin2x﹣2cos2x=sin2x﹣cos2x=sin(2x﹣）故函数f(x）的最小正周期为T==π,由2kπ﹣≤2x﹣≤2kπ+，可得kπ﹣≤x≤kπ+,故函数的单调递增区间为：［kπ﹣，kπ+］,（k∈Z)；（Ⅱ）∵x∈,∴2x∈,∴2x﹣∈，故sin（2x﹣)∈，所以sin（2x﹣)∈，故函数f（x）在上的值域为：点评:本题考查两角和与差的三角函数公式，涉及函数的单调性和值域的求解，属中档题．16．(14分)（2013•丰台区一模）如图，四边形ABCD是边长为2的正方形，MD⊥平面ABCD，NB∥MD，且NB=1，MD=2;（Ⅰ)求证：AM∥平面BCN；（Ⅱ）求AN与平面MNC所成角的正弦值；（Ⅲ）E为直线MN上一点，且平面ADE⊥平面MNC，求的值．考点：用空间向量求直线与平面的夹角；直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定;直线与平面所成的角．3930094专题：计算题;证明题；空间位置关系与距离;空间角．分析:（Ⅰ）通过证明平面与平面平行的判定定理证明平面AMD∥平面BCN，然后证明AM∥平面BCN；（Ⅱ）以D为原点，DA，DC，DM所在直线分别为x，y，z轴,建立空间直角坐标系,求出平面MNC的法向量以及直线AN向量,然后求AN与平面MNC所成角的正弦值；(Ⅲ）设E（x，y,z），，推出E点的坐标为(2λ，2λ，2﹣λ），通过，求出，即可求的值．解答：（本题14分）解：(Ⅰ）证明:∵ABCD是正方形，∴BC∥AD．∵BC⊄平面AMD，AD⊂平面AMD,∴BC∥平面AMD．∵NB∥MD，∵NB⊄平面AMD，MD⊂平面AMD，∴NB∥平面AMD．∵NB∩BC=B，NB⊂平面BCN，BC⊂平面BCN，∴平面AMD∥平面BCN…（3分）∵AM⊂平面AMD,∴AM∥平面BCN…（4分）(也可建立直角坐标系,证明AM垂直平面BCN的法向量，酌情给分)（Ⅱ)∵MD⊥平面ABCD，ABCD是正方形，所以，可选点D为原点，DA，DC,DM所在直线分别为x，y,z轴，建立空间直角坐标系（如图)…(5分）则A（2，0,0），M（0，0，2)，C（0，2,0),N（2，2，1）．∴，…（6分），，设平面MNC的法向量，则，令z=2，则，…(7分）设AN与平面MNC所成角为θ，∴．…(9分）（Ⅲ）设E(x,y，z），,∴，又∵，∴E点的坐标为(2λ，2λ，2﹣λ），…(11分）∵AD⊥面MDC，∴AD⊥MC，欲使平面ADE⊥平面MNC，只要AE⊥MC，∵，,∵∴4λ﹣2（2﹣λ）=0，∴，所以．…（14分）点评:本题考查平面与平面平行的性质定理，直线与平面所成角的求法，平面与平面垂直的判定定理的应用，向量法解决几何问题的方法．考查空间想象能力与计算能力．17．(13分）（2013•丰台区一模)在一次抽奖活动中，有甲、乙等6人获得抽奖的机会．抽奖规则如下：主办方先从6人中随机抽取两人均获奖1000元，再从余下的4人中随机抽取1人获奖600元，最后还从这4人中随机抽取1人获奖400元．(Ⅰ）求甲和乙都不获奖的概率；(Ⅱ)设X是甲获奖的金额，求X的分布列和均值EX．考点：离散型随机变量的期望与方差;离散型随机变量及其分布列．3930094专题：概率与统计．分析：（Ⅰ）设“甲和乙都不获奖”为事件A．欲求事件A的概率，根据抽奖规则，计算从6人中随机抽取两人，三次都没有抽到甲和乙的概率即可;（Ⅱ）X是甲获奖的金额，X的所有可能的取值为0,400，600，1000，求出相应的概率，即可得到分布列与均值．解答：解：（Ⅰ）设“甲和乙都不获奖”为事件A，…（1分）则P（A）=，答:甲和乙都不获奖的概率为．…（5分）（Ⅱ）X的所有可能的取值为0，400，600，1000，…（6分)P（X=0）=，P（X=400）=,P（X=600)=，P（X=1000)=,…（10分）∴X的分布列为X04006001000P…（11分）∴E（X)=0×+400×+600×+1000×=500（元）．答：甲获奖的金额的均值为500（元）．…（13分)点评:本题考查离散型随机变量的概率分布列与期望，解题的关键是明确变量的可能取值及其含义．18．（13分)（2013•丰台区一模）已知函数，g(x）=bx2+3x．（Ⅰ）若曲线h(x）=f（x）﹣g（x）在点(1，0）处的切线斜率为0,求a，b的值；（Ⅱ）当a∈[3，+∞），且ab=8时，求函数的单调区间，并求函数在区间[﹣2，﹣1]上的最小值．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性;利用导数求闭区间上函数的最值．3930094专题：综合题；导数的综合应用．分析：（Ⅰ）由h（x)在点（1，0)处的切线斜率为0,得，由该方程组即可解得a,b值;（Ⅱ）由ab=8可把φ（x）表示出含a的函数，求导φ′（x），在定义域内解不等式φ′（x）＞0，φ′（x)＜0即得单调区间；由a∈［3，+∞）,得，，按照极大值点﹣在区间［﹣2，﹣1］的左侧、内部、右侧三种情况进行讨论即可得到答案；解答：解：(Ⅰ）函数h（x）定义域为｛x｜x≠﹣a｝,则，∵h（x)在点（1，0）处的切线斜率为0，∴，即,解得或；(Ⅱ)φ（x）=（x+a）(bx2+3x）(x≠﹣a），∵ab=8，所以，∴（x≠﹣a），∴，令φ'（x）=0，得，或，∵因为a∈[3，+∞）,∴所以，∴故当，或时，φ’（x）＞0，当时，φ’（x）＜0，∴函数φ（x）的单调递增区间为，单调递减区间为，∵a∈[3，+∞），∴，，①当，即a≥12时，∵φ（x)在［﹣2，﹣1]单调递增，∴φ（x）在该区间的最小值为；②当，即6＜a＜12时,∵φ（x)在［﹣2，）上单调递减,在上单调递增，∴φ（x）在该区间的最小值为=；③当时，即3≤a≤6时,∵φ（x）在［﹣2,﹣1]单调递减，∴φ（x)在该区间的最小值为，综上所述，当3≤a≤6时,最小值为；当6＜a＜12时，最小值为；当a≥12时,最小值为．点评:本题考查导数的几何意义、利用导数研究函数的单调性、最值等知识，考查分类讨论思想、数形结合思想,考查学生分析解决问题的能力,充分体会数形结合思想在（Ⅱ)问中的应用．19．(13分）（2013•丰台区一模）已知以原点为对称中心、F（2,0）为右焦点的椭圆C过P（2，）,直线l：y=kx+m(k≠0）交椭圆C于不同的两点A,B．（Ⅰ）求椭圆C的方程；(Ⅱ）是否存在实数k，使线段AB的垂直平分线经过点Q（0，3）？若存在求出k的取值范围；若不存在，请说明理由．考点：直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．3930094专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：(Ⅰ）设出椭圆方程,由给出的椭圆焦点和椭圆过点P（2，），联立列出关于a，b的方程组，求解后则椭圆方程可求;（Ⅱ）存在实数k，使线段AB的垂直平分线经过点Q（0，3),由给出的椭圆方程和直线AB方程联立，化为关于x的方程后有根与系数关系写出AB中点坐标，由AB的中点和Q(0，3）的连线和直线AB垂直得到直线AB的斜率和截距的关系，代入判别时候不满足判别式大于0,说明假设不成立，得到结论．解答：解：（Ⅰ)设椭圆C的方程为（a＞b＞0）,∵c=2，且椭圆过点P（2,），所以，解得a2=8，b2=4，所以椭圆C的方程为；(Ⅱ）假设存在斜率为k的直线，其垂直平分线经过点Q（0，3），设A（x1，y1)、B(x2,y2)，AB的中点为N（x0，y0），由，得(1+2k2）x2+4mkx+2m2﹣8=0，则△=16m2k2﹣4(1+2k2）（2m2﹣8）=64k2﹣8m2+32＞0，所以8k2又,∴，，∵线段AB的垂直平分线过点Q（0，3），∴kNQ•k=﹣1，即，∴﹣m=3+6k2，代入△＞0整理,得36k4+28k2+5＜0，此式显然不成立．∴不存在满足题意的k的值．点评：本题考查了椭圆的标准方程，考查了直线和圆锥曲线的关系,训练了设而不求的解题方法，属中档题．20．（