基本不等式(一)

______________________________________________________________________________________________________________精品资料基本不等式：eq\r(ab)≤eq\f(a＋b,2)（一）[学习目标]1.理解基本不等式的内容及证明.2.能熟练运用基本不等式来比较两个实数的大小.3.能初步运用基本不等式证明简单的不等式．知识点一重要不等式及证明如果a，b∈R，那么a2＋b2≥2ab(当且仅当a＝b时取“＝”)．请证明此结论．证明∵a2＋b2－2ab＝(a－b)2≥0，∴a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时取“＝”．知识点二基本不等式1．内容：eq\r(ab)≤eq\f(a＋b,2)，其中a＞0，b＞0，当且仅当a＝b时，等号成立．2．证明：∵a＋b－2eq\r(ab)＝(eq\r(a))2＋(eq\r(b))2－2eq\r(a)·eq\r(b)＝(eq\r(a)－eq\r(b))2≥0.∴a＋b≥2eq\r(ab).∴eq\r(ab)≤eq\f(a＋b,2)，当且仅当a＝b时，等号成立．3．两种理解：(1)算术平均数与几何平均数：设a>0，b>0，则a，b的算术平均数为eq\f(a＋b,2)，几何平均数为eq\r(ab)；基本不等式可叙述为两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．(2)几何意义：如图所示，以长度为a＋b的线段AB为直径作圆，在直径AB上取一点C，使AC＝a，CB＝b，过点C作垂直于直径AB的弦DD′，连接AD，DB，易证Rt△ACD∽Rt△DCB，则CD2＝CA·CB，即CD＝eq\r(ab).这个圆的半径为eq\f(a＋b,2)，显然它大于或等于CD，即eq\f(a＋b,2)≥eq\r(ab)，当且仅当点C与圆心O重合，即a＝b时，等号成立．知识点三基本不等式的常用推论(1)ab≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))2≤eq\f(a2＋b2,2)(a，b∈R)；(2)eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)≥2(a，b同号)；(3)当ab>0时，eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)≥2；当ab<0时，eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)≤－2；(4)a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca(a，b，c∈R)．题型一利用基本不等式比较大小例1设0<a<b，则下列不等式中正确的是()A．a<b<eq\r(ab)<eq\f(a＋b,2)B．a<eq\r(ab)<eq\f(a＋b,2)<bC．a<eq\r(ab)<b<eq\f(a＋b,2)D.eq\r(ab)<a<eq\f(a＋b,2)<b答案B解析方法一∵0<a<b，∴a<eq\f(a＋b,2)<b，排除A、C两项．又eq\r(ab)－a＝eq\r(a)(eq\r(b)－eq\r(a))>0，即eq\r(ab)>a，排除D项，故选B.方法二取a＝2，b＝8，则eq\r(ab)＝4，eq\f(a＋b,2)＝5，所以a＜eq\r(ab)＜eq\f(a＋b,2)＜b.跟踪训练1若a，b∈R，且ab＞0，则下列不等式中，恒成立的是()A．a2＋b2＞2ab B．a＋b≥2eq\r(ab)C.eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＞eq\f(2,\r(ab)) D.eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)≥2答案D解析对于A，应该为a2＋b2≥2ab，漏等号，故A错误；对于B，当a＜0，b＜0时，ab＞0，但a＋b＜2eq\r(ab)，故B不成立；对于C，当a＜0，b＜0时，ab＞0，故C不成立；对于D，∵ab＞0，则eq\f(b,a)＞0且eq\f(a,b)＞0，∴eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)≥2eq\r(\f(b,a)·\f(a,b))＝2.当且仅当eq\f(b,a)＝eq\f(a,b)，即a＝b时，取“＝”，故D正确．题型二用基本不等式证明不等式例2已知a，b，c为正数，且a＋b＋c＝1，证明：eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＋eq\f(1,c)≥9.证明eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＋eq\f(1,c)＝eq\f(a＋b＋c,a)＋eq\f(a＋b＋c,b)＋eq\f(a＋b＋c,c)＝3＋(eq\f(b,a)＋eq\f(a,b))＋(eq\f(c,a)＋eq\f(a,c))＋(eq\f(c,b)＋eq\f(b,c))≥3＋2＋2＋2＝9.当且仅当a＝b＝c＝eq\f(1,3)时，等号成立．跟踪训练2已知a，b，c为正数，且a＋b＋c＝1，证明：(1－a)(1－b)(1－c)≥8abc.证明(1－a)(1－b)(1－c)＝(b＋c)(a＋c)(a＋b)≥2eq\r(bc)·2eq\r(ac)·2eq\r(ab)＝8abc.当且仅当b＝c＝a＝eq\f(1,3)时，等号成立．1．若0＜a＜1,0＜b＜1，且a≠b，则a＋b,2eq\r(ab)，2ab，a2＋b2中最大的一个是()A．a2＋b2B．2eq\r(ab)C．2abD．a＋b2．设a、b是实数，且a＋b＝3，则2a＋2b的最小值是()A．6B．4eq\r(2)C．2eq\r(6)D．83．不等式a2＋4≥4a中，等号成立的条件为________．4．若a＞b＞1，P＝eq\r(lga·lgb)，Q＝eq\f(1,2)(lga＋lgb)，R＝lgeq\f(a＋b,2)，则它们的大小关系是________．一、选择题1．给出下列条件：①ab＞0；②ab＜0；③a＞0，b＞0；④a＜0，b＜0，其中能使eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)≥2成立的条件有()A．1个B．2个C．3个D．4个2．已知等比数列{an}的各项均为正数，公比q≠1，设P＝eq\f(a3＋a9,2)，Q＝eq\r(a5·a7)，则P与Q的大小关系是()A．P＞QB．P＜QC．P＝QD．无法确定3．a、b∈R，则判断大小关系：a2＋b2________2|ab|.()A．≥B．＝C．≤D．＞4．若a≥0，b≥0且a＋b＝2，则()A．ab≤eq\f(1,2) B．ab≥eq\f(1,2)C．a2＋b2≥2 D．a2＋b2≤35．若2m＋4n＜2eq\r(2)，则点(m，n)必在()A．直线x＋y＝1的左下方B．直线x＋y＝1的右上方C．直线x＋2y＝1的左下方D．直线x＋2y＝1的右上方6．已知函数f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x，a，b∈(0，＋∞)，A＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))，B＝f(eq\r(ab))，C＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2ab,a＋b)))，则A，B，C的大小关系是()A．A≤B≤C B．A≤C≤BC．B≤C≤A D．C≤B≤A7．设f(x)＝lnx,0＜a＜b，若p＝f(eq\r(ab))，q＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))，r＝eq\f(1,2)(f(a)＋f(b))，则下列关系式中正确的是()A．q＝r＜p B．q＝r＞pC．p＝r＜q D．p＝r＞q二、填空题8．设正数a，使a2＋a－2＞0成立，若t＞0，则eq\f(1,2)logat________logaeq\f(t＋1,2)(填“＞”“≥”“≤”或“＜”)．9．设a，b为非零实数，给出不等式：①eq\f(a2＋b2,2)≥ab；②eq\f(a2＋b2,2)≥eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))2；③eq\f(a＋b,2)≥eq\f(ab,a＋b)；④eq\f(a,b)＋eq\f(b,a)≥2.其中恒成立的不等式的是________．10．已知a＞b＞c，则eq\r(a－bb－c)与eq\f(a－c,2)的大小关系是______________．三、解答题11．已知a，b，c为正数，证明：eq\f(2b＋3c－a,a)＋eq\f(a＋3c－2b,2b)＋eq\f(a＋2b－3c,3c)≥3.12．已知a，b，c都是非负实数，试比较eq\r(a2＋b2)＋eq\r(b2＋c2)＋eq\r(c2＋a2)与eq\r(2)(a＋b＋c)的大小．13．设实数x，y满足y＋x2＝0，且0＜a＜1，求证：loga(ax＋ay)＜eq\f(1,8)＋loga2.当堂检测答案1．答案D解析∵0＜a＜1,0＜b＜1，a≠b，∴a＋b＞2eq\r(ab)，a2＋b2＞2ab.∴四个数中最大的应从a＋b，a2＋b2中选择．而a2＋b2－(a＋b)＝a(a－1)＋b(b－1)．又∵0＜a＜1,0＜b＜1，∴a(a－1)＜0，b(b－1)＜0，∴a2＋b2－(a＋b)＜0，即a2＋b2＜a＋b，∴a＋b最大．故选D.2．答案B解析∵a＋b＝3，∴2a＋2b≥2eq\r(2a·2b)＝2eq\r(2a＋b)＝2eq\r(8)＝4eq\r(2).3．答案a＝2解析令a2＋4＝4a，则a2－4a＋4＝0，∴a＝2.4．答案R＞Q＞P解析∵a＞b＞1，∴lga＞lgb＞0，∴Q＞P，又Q＝eq\f(1,2)(lga＋lgb)＝eq\f(1,2)lgab＝lgeq\r(ab)＜lgeq\f(a＋b,2)＝R，∴R＞Q＞P.课时精练答案一、选择题1．答案C解析当eq\f(b,a)，eq\f(a,b)均为正数时，eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)≥2，故只须a、b同号即可，∴①③④均可以．2．答案A解析P＝eq\f(a3＋a9,2)＞eq\r(a3·a9)＝eq\r(a5·a7)＝Q.3．答案A解析由基本不等式a2＋b2＝|a|2＋|b|2≥2|a||b|＝2|ab|，当且仅当|a|＝|b|时，等号成立．4．答案C解析∵a2＋b2≥2ab，∴(a2＋b2)＋(a2＋b2)≥(a2＋b2)＋2ab，即2(a2＋b2)≥(a＋b)2＝4，∴a2＋b2≥2.5．答案C解析∵2eq\r(2)＞2m＋4n≥2eq\r(2m·4n)＝2eq\f(m,2)＋n＋1，∴eq\f(m,2)＋n＋1＜eq\f(3,2)，即m＋2n＜1，∴(m，n)在x＋2y＝1的左下方．6．答案A解析eq\f(2ab,a＋b)≤eq\f(2ab,2\r(ab))≤eq\r(ab)≤eq\f(a＋b,2)，又∵f(x)＝(eq\f(1,2))x为减函数，∴feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2ab,a＋b)))≥f(eq\r(ab))≥feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))，即C≥B≥A.7．答案C解析∵0＜a＜b，∴eq\f(a＋b,2)＞eq\r(ab)，又∵f(x)＝lnx在(0，＋∞)上为增函数，故feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))＞f(eq\r(ab))，即q＞p.又r＝eq\f(1,2)(f(a)＋f(b))＝eq\f(1,2)(lna＋lnb)＝eq\f(1,2)lna＋eq\f(1,2)lnb＝ln(ab)eq\f(1,2)＝f(eq\r(ab))＝p.故p＝r＜q.选C.二、填空题8．答案≤解析∵a2＋a－2＞0，∴a＞1或a＜－2(舍)，∴y＝logax是增函数，又eq\f(t＋1,2)≥eq\r(t)，∴logaeq\f(t＋1,2)≥logaeq\r(t)＝eq\f(1,2)logat.9．答案①②解析由重要不等式a2＋b2≥2ab，可知①正确；eq\f(a2＋b2,2)＝eq\f(2a2＋b2,4)＝eq\f(a2＋b2＋a2＋b2,4)≥eq\f(a2＋b2＋2ab,4)＝eq\f(a＋b2,4)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))2，可知②正确；当a＝b＝－1时，不等式的左边为eq\f(a＋b,2)＝－1，右边为eq\f(ab,a＋b)＝－eq\f(1,2)，可知③不正确；当a＝1，b＝－1时，可知④不正确．10．答案eq\r(a－bb－c)≤eq\f(a－c,2)解析∵a＞b＞c，∴a－b＞0，b－c＞0，∴eq\f(a－c,2)＝eq\f(a－b＋b－c,2)≥eq\r(a－bb－c)，当且仅当a－b＝b－c，即2b＝a＋c时，等号成立．三、解答题11．证明左式＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2b,a)＋\f(3c,a)－1))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2b)＋\f(3c,2b)－1))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,3c)＋\f(2b,3c)－1))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2b,a)＋\f(a,2b)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3c,a)＋\f(a,3c)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3c,2b)＋\f(2b,3c)))－3≥2eq\r(\f(2b,a)·\f(a,2b))＋2eq\r(\f(3c,a)·\f(a,3c))＋2eq\r(\f(3c,2b)·\f(2b,3c))－3＝3，当且仅当a2＝4b2＝9c2，即a＝2b＝3c时，等号成立．12．解对eq\r(a2＋b2)，eq\r(b2＋c2)，eq\r(c2＋a2)分别利用不等式2(