气轨上的弹簧振子的简谐振动

XX大学实验报告课程名称基础物理实验实验项目名称气轨上的弹簧振子的简谐振动指导教师学生姓名学号系同组姓名实验日期年月日成绩评定【实验目的】1.观察简谐振动现象，测定简谐振动的周期。2.求弹簧的劲度系数k和有效质量m03.观察简谐振动的运动学特征4.验证机械能守恒定律【实验原理】1.弹簧振子的简谐运动在水平的气垫导轨上，两个相同的弹簧中间系一滑块，滑块做往返振动，如图不考虑滑块运动的阻力，那么，滑块的振动可以看成是简谐振动。1所示。如果图1简谐运动原理图设质量为弹性力m的滑块处于平衡位置，每个弹簧的伸长量为x，当m距平衡点x时，m只受1011-k1(x+x0)与-k1(x-x0)的作用，其中k是弹簧的倔强系数。根据牛顿第二定律，其运动1方程为（1）（2），mmm01式中：m—振动系统的有效质量；方程（1）的解为m—弹簧的有效质量；m—滑块和砝码的质量。10xAsin(t)（3）000说明滑块是做简谐振动。式中：A—振幅；—初相位。0k/m（4）0叫做振动系统的固有频率，由振动系统本身的性质所决定。振动周期T与有下列关系：01T2/2m/k2(mm)/k（5）（）6010（5）式两边平方即可得到T242(mm)/k10在实验中，我们改变m，测出相应的T，采用作图法获得T2-m的曲线，该曲线应该为一条k的值逐差法求解k和m0的值14/k直线，直线的斜率为，采用最小二乘法可以计算出该斜率值，并得到。同时，2可以从该条直线的截距获取m的值。也可采用。02.简谐运动的运动学特征描述对（2）式在时间上进行求导即可得到dx00vAcos(t)dt（7）0由（7）式可见，速度v与时间有关，且随时间的变化关系为简谐振动，角频率为，振幅0为A，而且速度v的相位比x超前π/2。0综合（2）和（7），消去时间t，即可得到：v220Ax22（8）即当x=A时，v=0；当x=0时，vA，这时v取最大值。0本实验可以观察x和v随时间的变化规律以及x和v之间的相位关系。3.简谐振动的机械能在实验中，任何时刻系统的振动动能为：E12mvmmv12（9）（10）（11）22k10系统的弹性势能为（以m位于平衡位置时系统的势能为零）1E1kx22p系统的机械能EEE1m2A21kA222pk式中k和A均随不时间变化。通过测量滑块m1在同不位置x的速度v，从而计算弹性势能和振动势能，并验证他们之间的相互转换关系和机械能守恒定律。2【实验仪器和材料】气垫导轨、滑块、附加砝码、弹簧、U型挡光片、平板挡光片、数字毫秒计、天平等。【实验步骤和实验结果】1.助教首先为我们放了一个动画片用于强调实验室的安全意识，虽然没有看完但是还是留下了深刻的印象。随后助教开始为我们介绍了实验中所涉及的实验装置和他们的原理，如气垫导轨结构及基本主件，并为我们演示了如何调节使得气垫水平；光电计数器的使用方法和原理；挡光片的类型和作用原理，条形挡光片用于测量周期而u形挡光片用于测量速度。使得我们对于该实验有了一个初步的感性认识。2.接下来就开始了正式的实验，首先就是气垫装置的调平。我认为这是实验的基，础也是实验成败的关键所在，只有这一步做成功了，后面的实验数据测量才会精确，不然只会做很多的无用功。也正是由于这一步如此关键，因此要求的误差仅有0.5％，而我也调了大概30分钟才得到了满意的结果。下面是测量的数据V1V2误差％17.21cm/s17.25cm/s0.232％19.44cm/s19.50cm/s0.308％19.91cm/s19.96cm/s0.251％原理十分简单，就是通过测量滑块通过两个光电门的速度，来判断气垫导轨是否处于水平状态。原理虽然简单，但是具体操作并不是如此。调节的准则就是先粗调，再精调。所谓粗调，是指将滑块放在气垫上，旋转旋钮调节高度使得滑块保持静止。不过这并不精确，因为还要考虑到静摩擦力的作用，因此我们还需要精调，也就是比较任意两点滑块的速度，若滑块速度误差＜0.5％，则可认为气垫已水平。事后分析，这一步骤浪费太多的时间，主要有以下原因1)两个旋钮没有同时调节或调节幅度不一样，导致气垫出现倾斜情况。2)使用了错误的计数信号1，发现之后换成了信号2，很快的得出了结果。3)经常使滑块来回移动，造成判断失误。因为如果保持滑块沿一个方向运动，在进行高低判断时，也只需要考虑一个方向，可以减少判断出错导致旋转旋钮方向相反的概率。在经过千辛万苦的调节之后，当然也在助教的帮助下，终于成功的得到了理想的数据，得以开始正式实验操作。3.首先是测量弹簧振子的振动周期并考察振动周期和振幅的关系。当滑块的振幅A分别取10.0,20.0,30.0,40.0cm时，测量其相应振动周期。并记录实验数据并绘图如下：10cm20cm30cm40cmT1(ms)T2(ms)T3(ms)T4(ms)T5(ms)T(ms)1632.031631.061631.441632.631631.521631.741631.561631.801632.001632.441632.721632.101631.431631.501631.641631.531631.441631.511631.611631.521631.521631.731631.521631.583通过数据和图像我们可以发现，振幅的变化并没有改变振动周期，也就是说振动周期和振幅无关。这个结果也和前面公式（5）一致，振动周期由振动系统本身的性质所决定，只和振动系统的有效质量和弹簧的劲度系数有关，即4.研究振动周期和振子质量之间的关系。在滑块上加骑码（铁片）。对一个确定的振幅（取A=40.0cm）每增加一个骑码测量一组T。(骑码不能加太多，以阻尼不明显为限。)T42(mm)/k所示，则2作T-m的图，如果T与m的关系式如公式（6）2T-m21042m/k应为一条直线，其斜率为42/k，截距为的图。用最小二乘法做直线拟合，0求出k和m0。本实验记录的数据如下：研究振动周期和振子质量之间的关系（滑块振幅A取40.0cm）m（g）T1（ms）T2（ms）T3（ms）T4（ms）T5（ms）T6（ms）T7（ms）T8（ms）T9（ms）T10（ms）T(ms)245.97g1730.001730.191730.531730.851730.771730.701730.461730.751730.141730.271730.47270.83g1814.061814.341814.521814.561814.321814.521814.261814.401814.191814.151814.33295.82g1894.781894.871894.771894.521894.401894.271894.721894.781894.381894.701894.61320.77g345.63g2045.422045.942046.212045.802045.742045.162045.432045.802045.412045.362045.631971.561971.821971.711971.581971.841971.701971.751971.741971.911971.251971.784通过matlab进行曲线拟合，得到回归方程为y=11.9393x+0.0583通过斜率和截距的可计算出弹簧的劲度系数为k=3.31m0=4.88×10-3误差分析：振子质量测量时存在误差。1)存在摩擦力，影响振子的振动周期，导致曲线拟合时出现误差。2)另外曲线拟合本身也会出现一定的误差。5.研究滑块速度和位移的关系。在滑块上装上U型挡光片，可测量速度。在这个实验中，测出来的速度特别小，一开始我忘记了换挡光片，还是用平板挡光片测得，等到做完了才想起来，通过这个事情我真的是感受到实验确实是什么情况都可能发生，就可以做好了。有时并不是你知道了以是下用U型挡光片记录的实验数据，并且绘制了v-x22图像。10cm15cm20cm25cm30cm96.2595.7894.9795.67V1(cm/s)V2(cm/s)V3(cm/s)V147.06147.28146.20146.85140.24140.25140.84140.78131.75131.06131.72131.18117.78117.10117.78117.555两者的函数关系由公式（8）可得v=2ω（A-X）。2220图像显示v-x图像确实是一条直线，直线方程为22y=-15x+23282。随后通过之前测出的周期T，利用ω=2π/T，可得0ω=3.85rad/s0-ω2=-14.82≈-15Aω2=23712≈23282200当然会存在一定的误差，理论计算和实验数据基本吻合，因为实验中存在摩擦力，另外拟合图像和将平均速度视为瞬时速度也会产生误差。6.研究振动系统的机械能是否守恒。固定振幅（如取度，由此算出振动过程中经过每一个A=40.0cm），测出不同x处的滑块速x处的动能和势能，并对各x处的机械能进行比较，得出结论。实验数据记录如下。0cm152.210.25605cm10cm15cm140.650.2190.0370.25620cm130.380.1880.0650.253V(cm/s)EK(J)Ep(J)E(J)150.830.2510.0040.255146.410.2370.0160.2530.256通过不同位置的动能和势能的计算，我们可以得出机械能守恒的结论。然而对于实验数据，还有一些需要说明。一个数据，因此会出现在由于我的实验数据并不是一次运动得出的，15cm处的机械能大于在而是每次释放滑块记录5cm、10cm、20cm的机械能的情况；如果是一次运动获得的数据，则机械能由于摩擦力做功，数值应该是越来越小的。11），EEE12m212k7.根据公式（A22A，改变弹簧振子的振幅A，测相应pk的，由关系求k，与实验内容4的结果进行比较。实验数据记录如下：610cm37.2437.9937.3737.5315cm57.3457.0857.6257.0120cm76.3477.1076.3476.6025cm94.9795.6994.9795.2230cmVmax1114.55114.55114.68114.59V2maxVmax3Vmax图像为：直线方程为：y=14.68x-0.0051斜率的物理意义为计算结果和通过实验内容k/m，质量为0.221kg，因此可计算得k（3.31）基本一致。k=14.68×0.221=3.24.4计算所得的8.备注：1)本实验的数据处理统一采用最小二乘法进行直线拟合，认为这是一种比较快捷的方法。至于逐差法，我在实验室时曾经试过这种方法，因为当时没有电脑，只能手工计算。记得我测的劲度系数接近4了，和其他同学的计算结果（3.2左右）相差较大。因此我感觉最小二乘法应该是优于逐差法的。2)关于实验的注意事项：i.先开气源，后放滑块；实验结束，应先取滑块，再关气源。ii.滑块要轻拿、轻放；挂弹簧时，要特别小心，一定要手扶住滑块。iii.测量周期时用条形挡光片挡光，测量速度、加速度时用U形挡光片挡光。iv.另外也要注意弹簧质量很轻，如果没有挂好，可能会出现脱落飞到桌子和墙的夹缝中。（一个同学出现的情况）v.实验完成后，要收拾好器具，拔掉电源线。7【思考与讨论】思考题:1.仔细观察，可以发现滑块的振幅是不断减小的，那么为什么还可以认为滑块是做简谐振动？实验中应如何尽量保证滑块做简谐振动?答：由于受到接触摩擦阻力和空气阻力的作用，滑块振幅是不断减小的，但是由于它极小，可以忽略不计，所以滑块的运动几乎可以视为无摩擦运动。实验中，通过气垫调节水平，使用相同劲度系数的弹簧以及减少滑块在一次实验数据搜集过程中运动的时间来尽量保证滑块做简谐振动。2．试说明弹簧的等效质量的物理意义，如不考虑弹簧的等效质量，则对实验结果有什么影响？答：弹