安徽省合肥市高三二模数学文试题

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精2013年安徽省合肥市高考数学二模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题5分,共50分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。）1．（5分)（2013•合肥二模）已知i是虚数单位，则复数=（）A．+iB．﹣+iC．﹣﹣iD．﹣i考点：复数代数形式的乘除运算．专题：计算题．分析：两个复数相除，分子和分母同时乘以分母的共轭复数，运算求得结果．解答:解：复数===﹣+i，故选B．点评：本题主要考查两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i的幂运算性质,属于基础题．2．（5分）(2013•合肥二模）已知集合A={x∈R｜｜x|≥2}，B=｛x∈R|x2﹣x﹣2＜0}且R为实数集,则下列结论正确的是（）A．A∪B=RB．A∩B≠∅C．A⊆（∁RB）D．A⊇(∁RB）考点：子集与交集、并集运算的转换．专题:探究型．分析：先分别求出集合A，B，然后求出集合A∪B，A∩B以及∁RB，利用集合中元素的关系去判断各选项之间的关系．解答：解：集合A={x∈R|｜x｜≥2｝={x∈R|x≥2或x≤﹣2｝，B=｛x∈R|x2﹣x﹣2＜0｝={x∈R|﹣1＜x＜2}．所以A∪B={x∈R｜x＞﹣1或x≤﹣2｝，所以A错误．所以A∩B=∅，所以B错误．∁RB={x∈R｜x≥2或x≤﹣1}，所以A⊆(∁RB），所以C正确，D错误．故选C．点评：本题的考点是利用集合元素之间的关系去判断两个集合之间的关系．3．（5分）（2013•合肥二模）图是一个几何体的三视图,则该几何体的，表面积为（）A．24+4B．24﹣2C．26﹣2D．26+2考点：由三视图求面积、体积．专题:计算题；空间位置关系与距离．分析：由已知中的三视图，我们可以得到该几何体底部是一个底面边长为2的正方体，上部高也为2的四棱锥，代入棱锥表面积公式,即可求出答案．解答：解:由已知中的三视图，我们可以得到该几何体底部是一个底面边长为2的正方体，上部高也为2的四棱锥，底部分的表面积S1=5×2×2=20,上部分表面积S2=2（+）=4+4所以表面积为24+4故选A点评:本题考查三视图与直观图的关系，几何体的表面积的求法，正确判断几何体的形状是解题的关键4．（5分)（2013•合肥二模)焦点在x轴上的双曲线C的左焦点为F，右顶点为A，若线段FA的中垂线与双曲线C有公共点,则双曲线C的离心率的取值范围是(）A．（1,3)B．（1，3]C．（3，+∞）D．[3，+∞）考点：双曲线的简单性质．专题:圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：求出左焦点F，右顶点的坐标，求得线段FA的中点的坐标，再利用线段FA的中垂线与双曲线C有公共点,列出不等式,即可求出离心率的范围．解答：解：设双曲线的方程为(a＞0,b＞0），则左焦点F(﹣c，0)，右顶点为A（a，0)，线段FA的中点坐标为M(，0）∵线段FA的中垂线与双曲线C有公共点，∴≤﹣a，如图．则a﹣c≤﹣2a，∴3a≤c，∴e≥3．故选D．点评：本题考查双曲线的准线，考查双曲线的简单性质，考查计算能力，属于中档题．5．（5分）（2013•合肥二模）若tanα=﹣,则cos2α=(）A．B．C．D．考点:二倍角的余弦;同角三角函数间的基本关系．专题:计算题；三角函数的求值．分析:所求式子利用二倍角的余弦函数公式及同角三角函数间的基本关系变形，将tanα的值代入计算即可求出值．解答：解:∵tanα=﹣，∴cos2α====．故选C点评：此题考查了二倍角的余弦函数公式,以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握公式是解本题的关键．6．（5分）(2013•合肥二模）点（x，y)满足，若目标函数z=x﹣2y的最大值为1，则实数a的值是(）A．1B．﹣1C．﹣3D．3考点:简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：先画出可行域，结合图形分析出目标函数z=x﹣2y取得最大值时对应点的坐标，把其代入目标函数再结合目标函数z=x﹣2y的最大值为1，即可求出实数a的值．解答:解：实数x，y满足不等式组,如图,由图可知，当x=a，y=1﹣a时，目标函数z=x﹣2y取得最大值,即1=a﹣2×（1﹣a),解得：a=1故选A．点评：本题主要考查简单线性规划的应用以及数形结合思想的应用．在求目标函数的最值时，一般是在可行域的特殊点处，所以一般在解选择和填空题时,常用特殊点代入法．7．（5分）(2013•合肥二模）已知f（x）是偶函数,当．x∈［0,］时，f（x）=xsinx,若a=f（cos1），b=f(cos2），c=f（cos3），则a，b，c的大小关系为（)A．a＜b＜cB．b＜a＜cC．c＜b＜aD．b＜c＜a考点:正弦函数的奇偶性；奇偶性与单调性的综合．专题：函数的性质及应用．分析：由题意可得f（﹣x）=f（x），函数f（x）在［0,]上是增函数．再由a=f（cos1），b=f（cos2）=f（cos（π﹣2），c=f（cos3）=f（cos(π﹣3）,而且cos（π﹣3）＞cos1＞cos（π﹣2）,从而得到c＞a＞b，从而得到结论．解答:解：由于已知f(x）是偶函数，∴f（﹣x）=f（x)，再由f（x）=xsinx，可得函数f（x)在［0，］上是增函数．再由a=f（cos1），b=f（cos2)=f（﹣cos（π﹣2））=f（cos（π﹣2），c=f（cos3）=f（﹣cos（π﹣3））=f(cos（π﹣3），而且cos（π﹣3）＞cos1＞cos（π﹣2）,故有c＞a＞b，故选B．点评：本题主要考查函数的奇偶性、诱导公式、余弦函数的单调性，属于中档题．8．(5分）（2013•合肥二模）如图所示的程序框图中，若ai=i2，则输出的结果是(）A．5B．6C．7D．8考点：循环结构．专题：图表型．分析：分析程序中各变量、各语句的作用,再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环计算并输出i值．解答：解：根据题意,本程序框图中循环体为“直到型“循环结构第1次循环:S=0+12=1，i=2,第2次循环：S=12+22=5，i=3，第3次循环：S=12+22+32=14，i=4，第4次循环：S=12+22+32+42=30，i=5，第5次循环：S=12+22+32+42+52=55,i=6，第6次循环：S=12+22+32+42+52+62=91，i=7，第7次循环:S=12+22+32+42+52+62+72=140，i=8，第8次循环：S=12+22+32+42+52+62+72＞100;跳出循环,输出i=8．故选D．点评：本题主要考查了直到型循环结构，循环结构有两种形式：当型循环结构和直到型循环结构，当型循环是先判断后循环，直到型循环是先循环后判断,属于基础题．9．（5分）（2013•合肥二模）△ABC中,角A，B，C所对的边分别为a,b，c，若C=，3a=2c=6，则b的值为（）A．B．C．﹣1D．1+考点：余弦定理；正弦定理．专题：常规题型．分析：由C的度数求出cosC的值，再由a与c的值，利用余弦定理,列出关于b的方程，即可得到b的值．解答:解：∵a=2，c=3,∠C=60°，∴根据余弦定理得：c2=a2+b2﹣2ab•cosC9=4+b2﹣2b，则b=．故选D．点评：此题考查了余弦定理，以及特殊角的三角函数值，余弦定理很好的建立了三角形的边角关系，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．10．（5分）（2013•合肥二模）定义域为R的奇函数f（x）的图象关于直线．x=1对称，当x∈［0,1]时，f(x)=x，方程f（x)=log2013x实数根的个数为（）A．1006B．1007C．2012D．2014考点：根的存在性及根的个数判断；奇偶函数图象的对称性．专题:函数的性质及应用．分析：可根据定义在R上的奇函数f（x)的图象关于直线x=1对称⇒f（x+4）=f（x)，再利用0≤x≤1时，f（x)=x，数形结合，可求得方程f（x）=log2013x的所有实根的个数．解答:解：∵函数y=f（x）的图象关于直线x=1对称,∴f（2﹣x)=f（x),又y=f(x)为奇函数，∴f（x+2）=f（﹣x)=﹣f（x），∴f（x+4)=﹣f(x+2）=f（x）,即f（x）的周期为4，又定义在R上的奇函数,故f（0）=0,f(x）=log2013x实数根的个数，即y=f（x)和y=log2013x的交点个数，同一坐标系里作出y=f(x）和y=log2013x的图象，∵当0＜x≤4时，图象有1个交点,当4＜x≤8时，图象有2个交点,…；根据周期性，y=f（x）和y=log2013x的图象有1+502×2+1=1006个交点．故选A．点评：本题考查根的存在性及根的个数判断及奇偶函数图象的对称性，关键在于判断f（x)的周期为4，再结合“0＜x≤1时,f(x）=x"与奇函数f（x)的图象关于直线x=1对称,数形结合予以解决，属于中档题．二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分,把答案填在答题卡的相应位置)11．(5分）(2013•合肥二模）甲、乙两名同学在5次数学测验中的成绩统计如茎叶图所示，则甲、乙两人5次数学测验的平均成绩依次为83，84．考点：茎叶图．专题：概率与统计．分析：根据茎叶图利用平均数的公式分别求出甲及乙的平均数,得到结果．解答：解:根据茎叶图甲在5次数学测验中的成绩72,74，88,85,96，即甲同学成绩的平均数是（72+74+88+85+96）=83，乙同学在5次数学测验中的成绩77，79，81，90，93，即乙同学成绩的平均数是（77+79+81+90+93）=84，故答案为：83,84．点评：本题考查会判断茎叶图中的各个数据、考查各个数据的平均数公式．12．（5分）(2013•合肥二模）将函数y=3sin2x的图象向左平移个单位后所得到的函数图象对应的解析式为y=3sin(2x+）．考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：计算题;三角函数的图像与性质．分析：利用左加右减的原则，直接推出平移后的函数解析式即可．解答：解：将函数y=3sin2x的图象向左平移个单位后所得到的函数图象对应的解析式为：y=3sin[2(x+）]=3sin（2x+）．故答案为：y=3sin（2x+）．点评：本题考查三角函数的图象变换，注意平移变换中x的系数为1，否则容易出错误．13．(5分）(2013•合肥二模）函数y=在x=l处的切线方程是．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：导数的概念及应用．分析:求导数，确定切线的斜率，求得切点坐标,利用点斜式，可得方程．解答:解:求导函数，可得y′=x=1时，y′=﹣，y=,∴函数y=在x=l处的切线方程是y﹣=﹣（x﹣1），即故答案为：．点评：本题考查导数知识的运用，考查导数的几何意义,考查学生的计算能力，属于基础题，14．（5分）(2013•合肥二模）数列{an｝的通项公式为an=n+，若对任意的n∈N*都有an≥a5，则实数b的取值范围是[20，30]．考点：数列的概念及简单表示法．专题:等差数列与等比数列．分析:根据对所有n∈N*不等式an≥a5恒成立，可得,可解得20≤b≤30，验证即可．解答：解：由题意可得b＞0，∵对所有n∈N＊不等式an≥a5恒成立，∴,即,解得20≤b≤30经验证，数列在（1，4）上递减，（5，+∞）上递增，或在（1，5)上递减，（6，+∞）上递增,符合题意，故答案为：[20，30]．点评：本题考查数列中的恒成立问题，考查学生的计算能力，属基础题．15．（5分）（2013•合肥二模）下列命题中真命题的编号是②③．(填上所有正确的编号）①向量与向量共线,则存在实数λ使=λ（λ∈R）；②，为单位向量,其夹角为θ，若|﹣|＞1，则＜θ≤π；③A、B、C、D是空间不共面的四点，若•=0，•=0，•=0则△BCD一定是锐角三角形；④向量,，满足=+，则与同向；⑤若向量∥，∥，则∥．考点：命题的真假判断与应用．专题：平面向量及应用．分析:①利用共线定理判断．②利用平面向量的数量积判断．③利用数量积的应用判断．④利用向量的四则运算进行判断．⑤利用向量共线的性质判断．解答：解：①由向量共线定理可知，当时,不成立．所以①错误．②若｜﹣｜＞1，则平方得，即，又，所以＜θ≤π，即②正确．③=，，即B为锐角,同理A，C也为锐角，故△BCD是锐角三角形，所以③正确．④若足=+，则足﹣==，所以，所以则与共线，但不一定方向相同，所以④错误．⑤当时，满足向量∥,∥，但不一定平行，所以⑤错误．故答案为：②③．点评：本题主要考查平面向量的基本运算以及向量的数量积的应用．三、解答题（本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16．（12分）（2013•合肥二模）在锐角△ABC中，角A，B,C所对边分别为a,b，c，且bsinAcosB=(2c﹣b）sinBcosA．（I）求角A;（II）已知向量=（sinB，cosB），=（cos2C，sin2C)，求|+|的取值范围．考点：三角函数中的恒等变换应用；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角．专题：三角函数的求值．分析：（I）在锐角△ABC中，由bsinAcosB=(2c﹣b）sinBcosA利用正弦定理可得sinBsin（A+B）=2sinCsinBcosA，解得cosA=,从而求得A的值．（Ⅱ)由题意可得+=(sinB+cos2C，cosB+sin2C)，=(sinB+sin2C）2+（cosB+cos2C）2=2+2sin(+C）．由＜C＜，再根据正弦函数的定义域和值域求得2+2sin(+C）的范围，从而求得|+|的取值范围．解答：解：（I）在锐角△ABC中，由bsinAcosB=(2c﹣b）sinBcosA利用正弦定理可得sinBsinAcosB=2sinCsinBcosA﹣sinBsinBcosA，故有sinBsin（A+B）=2sinCsinBcosA，解得cosA=，∴A=．（Ⅱ）由题意可得+=(sinB+cos2C，cosB+sin2C），=(sinB+sin2C)2+（cosB+cos2C)2=2+2sin（B+2C）=2+2sin（+C）．由于＜C＜，∴＜+C＜,∴﹣＜sin（+C）＜,∴1＜2+2sin（+C）＜3，故｜+|的取值范围为（1，)．点评：本题主要考查正弦定理、三角函数的恒等变换，正弦函数的定义域和值域,求向量的模的方法,属于中档题．17．(12分）（2013•合肥二模）某校在筹办2013年元旦联欢会前，对学生“是喜欢曲艺还是舞蹈节目”作了一次调查，随机抽取了100名学生，相关的数据如下表所示：喜欢曲艺喜欢舞蹈总计男生401858女生152742总计5545100（I）若从喜欢舞蹈节目的45名学生中按性别分层随机抽取5名，则女生应该抽取几名？(II）在（I)中抽取的5名学生中取2名，求恰有1名男生的概率．考点:列举法计算基本事件数及事件发生的概率．专题：概率与统计．分析：（I）由表中数据可得,求得每个个体被抽到的概率,则女生应该抽取的女生数是用此概率乘以女生的总人数所得的结果．(II）在（I)中抽取的5名学生中取2名，所有的取法有种,求恰有1名男生的取法有2×3=6种，由此求得恰有1名男生的概率．解答：解：（I）由表中数据可得，每个个体被抽到的概率为=，从喜欢舞蹈节目的45名学生中按性别分层随机抽取5名，则女生应该抽取的女生数为27×=3．（II）在（I）中抽取的5名学生中取2名,所有的取法有=10种，求恰有1名男生的取法有2×3=6种,故恰有1名男生的概率为=．点评:本题考查古典概型及其概率计算公式的应用，分层抽样的定义和方法，属于基础题．18．（12分）（2013•合肥二模）巳知等比数列{an｝的首项和公比都为2，且a1，a2分别为等差数列{bn｝中的第一、第三项．（I）求数列｛an｝、｛bn｝的通项公式；（II)设Cn=，求{cn｝的前n项和Sn．考点：数列的求和；等比关系的确定．专题:等差数列与等比数列．分析:（I）利用等比数列{an}的首项和公比都为2,可求数列{an｝的通项公式，利用a1，a2分别为等差数列{bn}中的第一、第三项，可求{bn}的通项公式；（II)确定｛cn}的通项，利用裂项法，可求前n项和Sn．解答:解：（I）∵等比数列{an}的首项和公比都为2，∴∵a1，a2分别为等差数列｛bn}中的第一、第三项∴b1=2，b3=4∴bn=n+1；(II）设Cn===∴Sn===．点评：本题考查等差数列与等比数列的通项，考查数列的求和，考查裂项法的运用，属于中档题．19．（13分)（2013•合肥二模）已知抛物线C:y2=2px的焦点为F，抛物线C与直线l1：y=﹣x的一个交点的横坐标为8．（I)求抛物线C方程；(II）不过原点的直线l2与l1垂直，且与抛物线交于不同的两点A、B，若线段AB的中点为P，且｜OP|=|PB|,求△FAB的面积．考点:直线与圆锥曲线的关系;抛物线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（I）确定抛物线C与直线l1：y=﹣x的一个交点的坐标，代入抛物线方程,即可求抛物线C方程；(II)设l2的方程为x=y+m,代入抛物线方程，利用韦达定理,结合OA⊥OB，求出m的值，从而可求△FAB的面积．解答:解：（I)由题意，抛物线C与直线l1：y=﹣x的一个交点的坐标为(8，﹣8),代入抛物线方程可得64=2p×8，∴2p=8，∴抛物线C方程为y2=8x；(II）∵不过原点的直线l2与l1垂直，∴可设l2的方程为x=y+m，设A（x1，y1），B（x2，y2），直线l2与x轴交点为M直线方程代入抛物线方程，可得y2﹣8y﹣8m=0△=64+32m＞0，∴m＞﹣2由韦达定理得y1+y2=﹣8，y1y2=﹣8m，∴x1x2=m2,由题意，OA⊥OB,即x1x2+y1y2=m2﹣8m=0∴m=8或m=0（舍去)∴l2的方程为x=y+8,M（8，0）∴S△FAB==3=24．点评:本题考查抛物线的标准方程,考查直线与抛物线的位置关系，考查韦达定理的运用，考查三角形面积是计算，属于中档题．20．(13分）（2013•合肥二模）如图，在几何体ABCDE中,AB=AD=2，AB丄AD，AD丄平面ABD．M为线段BD的中点，MC∥AE，AE=MC=（I）求证：平面BCE丄平面CDE；（II)若N为线段DE的中点,求证：平面AMN∥平面BEC．考点：平面与平面垂直的判定;平面与平面平行的判定．专题：空间位置关系与距离．分析:（I)利用面面垂直的判定定理在平面BCE内找一条直线与平面CDE垂直即可证明;（II）通过BD中点M,ED的中点N，利用三角形的中位线定理及面面平行的判定定理即可证明．解答:解：（I）∵AB=AD=2,AB丄AD,M为线段BD的中点，∴AM=BD，AM⊥BD．∵AE=MC=,∴AE=MC=BD=，∴BC⊥CD，∵AE丄平面ABD，MC∥AE，∴MC⊥平面ABD，∴平面CBD⊥平面ABD，∴AM⊥平面CDB．又MC∥AE,AE=MC=