安徽省蚌埠市怀远县高三12月月考数学理试题

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精2012-2013学年安徽省蚌埠市怀远县高三(上）12月月考数学试卷(理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题,每小题5分，共50分）1．（5分）(2013•自贡一模)复数的虚部是()A．B．C．D．考点：复数代数形式的乘除运算．专题:计算题．分析:利用复数的代数形式的乘除运算，得到=+i，再由复数的概念能求出复数的虚部．解答：解：===+i，∴复数的虚部是．故选B．点评:本题考查复数的代数形式的乘除运算的应用，是基础题．解题时要认真审题,仔细解答．2．（5分)（2012•黄州区模拟）已知全集U=R,集合A=｛x|y=｝，集合B=｛y｜y=2x，x∈R}，则（∁RA）∩B=(）A．{x｜x＞2}B．{x|0＜x≤1}C．｛x|1＜x≤2｝D．｛x｜x＜0｝考点：交、并、补集的混合运算．专题：计算题．分析:由全集U=R，集合A={x|y=}=｛x|2x﹣x2≥0}={x｜0≤x≤2}，求出∁RA=｛x|x＜0，或x＞2},再由B={y|y=2x，x∈R｝={y|y＞0},能求出(∁RA）∩B．解答：解:∵全集U=R，集合A=｛x｜y=｝={x|2x﹣x2≥0｝={x|0≤x≤2}，∴∁RA=｛x|x＜0，或x＞2}，∵B={y|y=2x，x∈R｝=｛y｜y＞0}，∴(∁RA）∩B=｛x｜x＞2｝．故选A．点评：本题考查集合的交、并、补集的混合运算，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答，注意指数函数性质的灵活运用．3．（5分）已知，则=(）A．2B．C．﹣2D．﹣考点：函数的值．专题：计算题;函数的性质及应用．分析：由，知f（﹣）=f（)=,由此能求出结果．解答：解：∵，∴f（﹣）=f（﹣）=f（﹣）=f（）==﹣2．故选C．点评：本题考查分段函数的函数值的求法,是基础题．解题时要认真审题,仔细解答,注意对数函数的性质的灵活运用．4．（5分）(2012•安徽模拟）设向量满足：，则等于()A．B．1C．D．2考点：平面向量数量积的性质及其运算律；向量的模．专题：计算题．分析：把平方，再把条件代入即可求出的值．解答：解:∵，∴，故选B．点评：本题主要考查两个向量的数量积的定义,求向量的模的方法,属于基础题．5．（5分）已知α为第二象限角，，则cos2α=（）A．﹣B．﹣C．D．考点：二倍角的余弦；同角三角函数间的基本关系．专题：计算题．分析：由α为第二象限角,可知sinα＞0，cosα＜0,从而可求得sinα﹣cosα=，利用cos2α=﹣(sinα﹣cosα)（sinα+cosα)可求得cos2α解答：解：∵sinα+cosα=，两边平方得:1+sin2α=,∴sin2α=﹣,①∴（sinα﹣cosα）2=1﹣sin2α=，∵α为第二象限角，∴sinα＞0，cosα＜0，∴sinα﹣cosα=，②∴cos2α=﹣(sinα﹣cosα）（sinα+cosα）=（﹣）×=﹣．故选A．点评：本题考查同角三角函数间的基本关系，突出二倍角的正弦与余弦的应用，求得sinα﹣cosα=是关键，属于中档题．6．（5分)下列命题中错误的是（）A．命题：“若x2﹣5x+6=0,则x=2”的逆否命题是“若x≠2，则"x2﹣5x+6≠0B．已知命题P和q，若p∨q为假命题，则命题p与q中必一真一假C．对于命题P：∃x∈R，使得x2+x+1＜0，则￢P：∀x∈R，均有x2+x+1≥0D．“x＞1”是“”的充分不必要条件考点：命题的真假判断与应用．专题：计算题．分析：通过命题与逆否命题的关系，判断A的正误;通过或命题的判断真假方法判断B的正误;特称命题的否定判断C的正误;通过充要条件的判断方法判断D的正误．解答：解：对于A：命题：“若x2﹣5x+6=0，则x=2”的逆否命题是“若x≠2，则"x2﹣5x+6≠0,符号命题与逆否命题的关系，所以A正确；对于B：命题P和q，若PVq为假命题,则命题P与q中必一真一假，判断不正确，两个命题可能都是假命题，所以B不正确．对于C：命题P:∃x∈R，使得x2+x+1＜0，则￢P：∀x∈R,均有x2+x+1≥0,符号特称命题的否定是全称命题的判断,所以C正确．对于D：“x＞1"是“"的充分不必要条件，因为“x＞1”⇒“”，但是“”推不出“x＞1"；判断为充分不必要条件是正确的．故选B．点评：本题考查命题的真假的判断，考查基本知识的掌握是否到位，常考题型．7．（5分）（2012•安徽模拟）设奇函数f（x）在(0,+∞）上为单调递减函数，且f（2)=0，则不等式的解集为（）A．（﹣∞，﹣2]∪（0，2］B．[﹣2,0]∪[2，+∞)C．（﹣∞，﹣2]∪［2,+∞﹚D．[﹣2，0）∪(0，2］考点：函数单调性的性质．专题：综合题；转化思想．分析：由题设条件,可得出函数f(x）在（0,2)的函数值为正，在(2，+∞）上的函数值为负，再利用函数奇函数的性质对不等式进行化简,解出不等式的解集，选正确选项解答：解:∵函数f（x)在（0，+∞)上为单调递减函数，且f（2）=0∴函数f(x）在（0,2)的函数值为正，在（2，+∞）上的函数值为负当x＞0时,不等式等价于3f（﹣x）﹣2f（x）≤0又奇函数f（x），所以有f（x)≥0所以有0＜x≤2同理当x＜0时,可解得﹣2≤x＜0综上,不等式的解集为［﹣2,0）∪（0，2]故选D点评：本题考查函数单调性与奇偶性的综合，解题的关键是综合利用函数的奇偶性与单调性对函数值的符号作出正确判断，对不等式的分类化简也很重要．本题考查了转化的思想及推理判断的能力,有一定的综合性，是高考考查的重点．8．（5分）下列函数图象是一个函数与其导函数在同一个坐标系中的图象，其中一定错误的是(）A．B．C．D．考点:函数的图象．专题：数形结合．分析：对四个选项利用原函数递增导函数值为正以及原函数递减导函数值为负，逐一进行验证即可求出答案．解答：解：对于A，由图可得抛物线开口向下,且对称轴大于0，故对应的一次函数为减函数，且与轴的交点在轴的上方，即A符合；对于B,原函数的图象是先增，后减再增，对应的导函数的函数值应先正后负再正，故B符合．对于C，不论把哪条曲线对应的函数当成是原函数，均于函数的单调性与其导函数的正负之间的关系相矛盾，故C不符合;对于D，因为原函数的图象是先减后增，故其导函数的图象是先正后负，即D符合要求．故选C．点评：本题考查函数的单调性与其导函数的正负之间的关系．属基础题．9．（5分)（2012•湖北)定义在（﹣∞,0）∪（0,+∞）上的函数f（x），如果对于任意给定的等比数列｛an}，｛f（an)}仍是等比数列，则称f（x)为“保等比数列函数”．现有定义在(﹣∞,0）∪（0，+∞）上的如下函数：①f(x）=x2；②f（x）=2x；③f（x）=；④f(x）=ln｜x｜．则其中是“保等比数列函数”的f（x）的序号为(）A．①②B．③④C．①③D．②④考点:等比关系的确定．专题：综合题；压轴题．分析：根据新定义,结合等比数列性质,一一加以判断，即可得到结论．解答：解：由等比数列性质知，①=f2（an+1）,故正确;②≠=f2(an+1），故不正确；③==f2（an+1），故正确；④f（an)f（an+2)=ln｜an|ln｜an+2|≠=f2(an+1），故不正确；故选C点评:本题考查等比数列性质及函数计算，正确运算，理解新定义是解题的关键．10．（5分)等差数列｛an}的公差d∈（0，1）,且，当n=10时，数列｛an｝的前n项和Sn取得最小值，则首项a1的取值范围为（）A．B．［］C．［﹣]D．考点:等差数列的通项公式；等差数列的前n项和．专题：等差数列与等比数列．分析：利用倍角公式把给出等式的分子降幂，利用和差化积结合等差中项概念求出公差，再利用数列{an}的前10项和S10取得最小值列式求出首项a1的取值范围．解答：解：sin（a2+a6）=sin2a4于是cos2a6﹣cos2a2=﹣2sin2a4﹣2sin（a6+a2）sin（a6﹣a2)=﹣2sin2a4．sin4d=1，0＜d＜1．于是d=．因为数列｛an｝的前10项和S10取得最小值，于是a10≤0且a11≥0a1+9d≤0，且a1+10d≥0得．故选C．点评：本题考查了等差数列的通项公式,考查了等差数列的前n项和，考查了三角函数的和差化积公式，属中档题．二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分）11．（5分）（2012•江西)计算定积分=．考点：定积分．专题:计算题．分析：求出被积函数的原函数,再计算定积分的值．解答：解：由题意，定积分===故答案为:点评:本题考查定积分的计算，确定被积函数的原函数是关键．12．（5分）在△ABC中，M是边BC上的点，N为AM中点，,则λ+u=．考点:平面向量的基本定理及其意义．专题：计算题;平面向量及应用．分析：根据M是边BC上的点，设=k（k为正数），化简得=+，结合N为AM中点和已知等式，得λ=，u=,相加即得λ+u的值．解答:解：∵M是边BC上的点,∴设=k（k为正数)，得﹣=k(﹣)整理可得=+∵N为AM中点，∴==（+）∵∴λ=，u=，可得λ+u==故答案为:点评：本题在三角形中,给出一边上的动点和中点，求参数λ与μ的和．着重考查了平面向量的线性运算和平面向量的基本定理等知识点,属于基础题．13．（5分）设等比数列{an｝的前n项和为，则a=﹣2012．考点：等比数列的前n项和．专题:计算题；等差数列与等比数列．分析：根据an=Sn﹣Sn﹣1求得数列的通项公式，进而求得a1,根据a1=S1求得a解答：解:∵,∴，（n≥2，n∈N+）,∴an=Sn﹣Sn﹣1=，当n=1时，a1=又a1=S1=，∴a=﹣2012故答案为:﹣2012点评:本题考查的知识点是等比数列的前n项和,其中根据an=Sn﹣Sn﹣1求得数列的通项公式，是解答的关键．14．(5分)已知函数f（x）=2sin(ωx+φ）（ω＞0）．若，则实数ω的最小值为3．考点:由y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式．专题：计算题；三角函数的图像与性质．分析：直接利用，列出方程，然后求解ω的值，求出最小值．解答：解：函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0)．若，所以2sin（ω×+φ）=0，2sin（ω×+φ）=2．ω×+φ=kπ，ω×+φ=2kπ，所以ω=kπ，所以实数ω的最小值为：3．故答案为:3．点评:本题考查三角函数解析式的求法，三角函数值的应用，考查分析问题解决问题的能力．15．（5分）某同学在研究函数f(x）=x2ex的性质时，得到如下的结论：①f（x）的单调递减区间是（﹣2，0)；②f(x）无最小值，无最大值③f（x）的图象与它在(0,0)处切线有两个交点④f(x）的图象与直线x﹣y+2012=0有两个交点其中正确结论的序号是①④．考点：利用导数求闭区间上函数的最值;利用导数研究函数的单调性．专题：综合题；导数的概念及应用．分析：①求导函数，令f′（x）＜0，可得f（x）的单调递减区间；②令f′（x）＞0，可得f(x）的单调递增区间，即可得到结论；③求得函数在（0,0)处切线方程,结合f（x)=x2ex＞0，可得结论；④由②及f（x）=x2ex＞0，即可得到f（x）的图象与直线x﹣y+2012=0有两个交点．解答：解：求导函数，可得f′(x）=x2ex=（2x+x2)ex,①令f′（x)＜0，可得2x+x2＜0，∴﹣2＜x＜0，∴f（x）的单调递减区间是（﹣2,0），即①正确；②令f′（x）＞0，可得2x+x2＞0，∴x＜﹣2或x＞0，∴f（x)的单调递增区间是(﹣∞,﹣2），（0，+∞），∴函数在x=﹣2处取得极大值,且为最大值；在x=0处取得极小值，且为最小值，即②不正确；③f′（0）=0,f(0）=0，则函数在（0，0）处切线方程为y=0，∵f（x）=x2ex＞0，∴f（x）的图象与它在（0，0）处切线有一个交点（0，0），即③不正确；④由②及f（x）=x2ex＞0,即可得到f(x）的图象与直线x﹣y+2012=0有两个交点，即④正确，综上可知，正确结论的序号是①④故答案为：①④点评：本题考查导数知识的运用,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题．三、解答题（本大题共6小题，共75分)16．（12分）（2010•江苏)在平面直角坐标系xOy中，点A（﹣1,﹣2）、B（2，3)、C（﹣2，﹣1）．(1）求以线段AB、AC为邻边的平行四边形两条对角线的长；（2）设实数t满足(）•=0，求t的值．考点：平面向量数量积的运算；向量在几何中的应用．专题：计算题．分析：（1）（方法一）由题设知,则．从而得：．（方法二）设该平行四边形的第四个顶点为D,两条对角线的交点为E，则:由E是AC，BD的中点，易得D（1,4)从而得：BC=、AD=；（2)由题设知：=（﹣2，﹣1），．由(）•=0，得：（3+2t，5+t）•（﹣2,﹣1）=0,从而得：．或者由，,得:解答：解：（1）（方法一）由题设知，则．所以．故所求的两条对角线的长分别为、．（方法二）设该平行四边形的第四个顶点为D，两条对角线的交点为E，则：E为B、C的中点，E(0，1）又E（0,1）为A、D的中点,所以D（1，4）故所求的两条对角线的长分别为BC=、AD=；(2)由题设知：=（﹣2，﹣1），．由（)•=0，得:（3+2t，5+t）•（﹣2,﹣1)=0，从而5t=﹣11，所以．或者：，，点评：本题考查平面向量的几何意义、线性运算、数量积,考查向量的坐标运算和基本的求解能力．17．（12分）已知三角形的三内角A、B、C所对边的长分别为a、b、c，设向量,，若．(1）求角B的大小；(2）若△ABC的面积为，求AC边的最小值,并指明此时三角形的形状．考点：余弦定理;三角形的形状判断;正弦定理．专题：解三角形．分析:（1）利用两个向量共线的性质、正弦定理可得2sinAcosB=sin（B+C）=sinA，由sinA＞0，求得，从而求得B的值．（2）由△ABC的面积为，求得ac=4，再利用余弦定理以及基本不等式求出AC的最小值．解答：解：（1），∵,∴（2a﹣c）cosB=bcosC．由正弦定理得：（2sinA﹣sinC)cosB=sinBcosC，整理得：2sinAcosB=sinCcosB+sinBcosC,即2sinAcosB=sin（B+C）=sinA,∵sinA＞0，∴．∵0＜B＜π,∴．…（6分）（2）由已知得：,∴ac=4．由余弦定理，b2=a2+c2﹣2accosB=a2+c2﹣ac≥2ac﹣ac=ac,当且仅当“a=c”时取等号．∴AC的最小值为2,此时三角形为等边三角形．…(12分）点评：本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用，两个向量共线的性质，两角和差的正弦公式，基本不等式，已知三角函数值求角的大小,属于中档题．18．（12分）(2012•湖南）已知函数f(x)=Asin（ωx+φ)(x∈R，ω＞0,0＜φ＜)的部分图象如图所示．(Ⅰ）求函数f（x）的解析式；（Ⅱ）求函数g（x）=f(x﹣）﹣f（x+）的单调递增区间．考点:由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；三角函数中的恒等变换应用；复合三角函数的单调性．专题：计算题．分析：（I）先利用函数图象求此函数的周期，从而计算得ω的值，再将点(，0)和（0,1)代入解析式，分别解得φ和A的值，最后写出函数解析式即可；（II）先利用三角变换公式将函数g(x）的解析式化为y=Asin（ωx+φ）型函数，再将内层函数看做整体，置于外层函数即正弦函数的单调增区间上，即可解得函数g（x）的单调增区间解答：解：（I）由图象可知，周期T=2(﹣）=π，∴ω==2∵点（，0）在函数图象上，∴Asin(2×+φ）=0∴sin（+φ）=0,∴+φ=π+2kπ，即φ=2kπ+，k∈z∵0＜φ＜∴φ=∵点（0，1）在函数图象上，∴Asin=1，A=2∴函数f(x）的解析式为f(x）=2sin（2x+)（II）g(x）=2sin[2（x﹣）+]﹣2sin[2(x+）+］=2sin2x﹣2sin（2x+)=2sin2x﹣2（sin2x+cos2x）=sin2x﹣cos2x=2sin(2x﹣）由﹣+2kπ≤2x﹣≤+2kπ，k∈z得kπ﹣≤x≤kπ+∴函数g（x）=f(x﹣）﹣f（x+)的单调递增区间为[kπ﹣，kπ+]k∈z点评：本题主要考查了y=Asin(ωx+φ)型函数的图象和性质，根据图象求函数的解析式,利用函数解析式求复合三角函数单调区间的方法，属基础题19．（12分）（2012•宿州三模）已知数列｛an｝的前n项和Sn满足：Sn=t（Sn﹣an+1）(t＞0），且4a3是a1与2a2的等差中项．(Ⅰ)求t的值及数列｛an｝的通项公式；（Ⅱ）设bn=，求数列｛bn}的前n项和Tn．考点：数列递推式;数列的求和；等差数列的性质．专题：综合题．分析：(Ⅰ）当n≥2时,Sn=t（Sn﹣an+1)，再写一式，两式相减,可得｛an}是首项a1=t,公比等于t的等比数列，利用4a3是a1与2a2的等差中项，即可求得结论；（Ⅱ）由（Ⅰ），得bn=（2n+1）×2n,利用错位相减法，可求数列{bn｝的前n项和Tn．解答:解:（Ⅰ）当n=1时，S1=t（S1﹣a1+1)，所以a1=t，当n≥2时，Sn=t（Sn﹣an+1)①Sn﹣1=t(Sn﹣1﹣an﹣1+1），②①﹣②，得an=t•an﹣1，即．故｛an}是首项a1=t，公比等于t的等比数列，所以an=tn，…(4分)故，由4a3是a1与2a2的等差中项，可得8a3=a1+2a2,即8t3=t+2t2,因t＞0，整理得8t2﹣2t﹣1=0，解得t=或t=﹣（舍去），所以t=，故an=．…（6分)（Ⅱ）由（Ⅰ），得bn==(2n+1）×2n，所以Tn=3×2+5×22+7×23+…+(2n﹣1）×2n﹣1+（2n+1）×2n，③2Tn=3×22+5×23+7×24+…+(2n﹣1）×2n+（2n+1)×2n+1，④③﹣④，得﹣Tn=3×2+2(22+23+…+2n)﹣（2n+1)×2n+1…（8分）=﹣2+2n+2﹣（2n+1）×2n+1=﹣2﹣（2n﹣1）×2n+1…（11分）所以Tn=2+（2n﹣1）×2n+1．…（12分）点评：本题考查数列递推式,考查数列的通项，考查错位相减法求数列的和，确定数列为等比数列是关键．20．(13分）（2012•北京）已知函数f(x）=ax2+1(a＞0），g（x）=x3+bx（1）若曲线y=f（x）与曲线y=g（x）在它们的交点（1,c）处具有公共切线，求a、b的值;（2）当a2=4b时,求函数f（x）+g（x）的单调区间，并求其在区间（﹣∞，﹣1)上的最大值．考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：综合题．分析：（1)根据曲线y=f（x）与曲线y=g(x)在它们的交点（1,c）处具有公共切线，可知切点处的函数值相等，切点处的斜率相等，故可求a、b的值；（2）根据a2=4b，构建函数，求导函数,利用导数的正负,可确定函数的单调区间，进而分类讨论，确定函数在区间（﹣∞，﹣1)上的最大值．解答：解:（1）f(x）=ax2+1（a＞0)，则f’（x)=2ax，k1=2a，g（x）=x3+bx，则g′（x）=3x2+b,k2=3+b，由（1,c）为公共切点,可得：2a=3+b①又f（1）