不等式的常用解法 论文

PAGEPAGE1不等式的常用解法【摘要】1、整式、分式不等式的解法（有理不等式）2、绝对值不等式的解法3、指数不等式和对数不等式的解法4、含参数的不等式的解法【关键词】参数讨论被迫考查，比如导数、函数等等。下面，笔者总结了几种不等式的最常用的解法：例1：高次不等式：解不等式(x23x2)(x2x6)0解：将原不等式变形为：(x1)(x2)(x2)(x0则易求出方程(x2)(x1)(x2)(x0的根为x，并将这些根标在数轴 上 。 这 些 根 将 数 轴 分 成 了 五 部 分 ， 如 图 ：在每一部分取一个整数值，代入（1）中检验得：原不等式的解为{x/2x{x/2x例2：分式不等式：解不等式：

x24x1 13x27x22x23x1解： 03x27x2

(2xx0，用例1中的方法，可得下图(3x1)(x2)原不等式的解集为{x/x1或1x3 2整式不等式和分式不等式的求解过程中，都要用到取整验证法。但是，在求解过程中，也要注意“重根”的问题。偶数次“重根”两侧的符号是相同的！二、绝对值不等式解绝对值不等式的关键是化为等价的不含绝对值符号的不等式(组).主要有以下方法：（1）根据绝对值的意义去绝对值

|f(x)|a|f(x)a

f(x)a或f(x)f(x)a(a0)2例3、不等式2

xx2x的解集为 2xx2x2x且x0解法一：2x2x 2xx3 0或x

0x3x0x(x1)2x易求得该不等式的解集为|0x

xx12x

x12合到一起，即取并集。例4.若对一切xR,x3x1a都恒成立，试确定a的取值范围解：（分段讨论法）当x<-3时，|x3||x1|x3x124当3x1时，|x3||x1|4当x>1时,

x3x13xx12x24故对一切xR,x3x14,从而a(,4)（数形结合）如作出yx3x1的图象可知此函数的最小值为４于是a(,4)（3）巧用图像解不等式2例5：解不等式x2

4x3x2

4x3解：利用图像变换作出1yx24x31

的图像（图象是yx24x3，x轴下方的部分翻折上来）2yx24x32

（图象当x>0的图象，关于y轴对称两部分组成）如图：所以该不等式的解集为然后按整式不等式的思路进行转化。绝对值不等式中含有两个或三个绝对值时，一般利用图像来分类解决。三、指数、对数不等式的解法指数、对数不等式的解法通常要利用指数函数和对数函数的单调性，将问题转化成整式不等式来解决。但对数不等式在转化时，要优先考虑定义域。2例6、解不等式：2

32xx

(1)3

x22x52解：原不等式即：32x2

x3

x22x5利用指数函数的单调性，并化简得3x2x40(可以分为x0求解）２3x－x40２即(|x||x|0(而|x|0恒成立)3x40

x43x原不等式的解集为/xx

4或x433 3例7、解不等式log

2x2

(3x22x1)1log

2x2

(2x2-1)解：需优先考虑定义域①当02x211x2或2x12 23x22x12x21

x02x12②当2x211，即当x>1或x<-1时3x22x12x21

x0x(22指数、对数不等式主要是利用指数、对数的性质转化为代数不等式，在转化过程中要正确使用性质，注意等价性，对数不等式要特别注意定义域，解题过程中涉及分类讨论思想，数形结合思想。四、含参数的不等式解法的关键。参数的讨论往往是“被逼迫的”即按照解相应不等式的步骤进行，参数会影响其中的某些步骤而被迫讨论。例8、解关于x的不等式：x1ax1ax(a1)0ax1就影响分子方程ax(a1)0“根”的求解）①当a=0时，该不等式的解集为：(,1)a1②当a0a

与1的大小关系，故需要再次讨论）：a0时，解集为(a1：当 a当a(a1,)a (a1)2

(a1)2x例9、设A= 2

2 B

x|x2

3(a

1)x

2(3a

1)

，其中aR,若AB，求a的取值范围．解：=x|2axa2a212a)）不等式x2(a)x2a)0可化为：(x2)[x(3a0分类讨论按两根大小讨论：①当23a1,即当a1时，B/x3x这时A/x 3

x

10B不包含A.9②当3a11时，B/2x3a3ABAB

a3③当a1时，B/3a1x3 A

B 3a22a2

a综上所述，a的取值范围是