广东省2021年春季高考数学模拟试卷4含解析

Page12021年广东春季高考数学模拟试卷(4)注：本卷共22小题，满分150分。一、单选题（本大题共15小题，每小题6分，满分90分）1．已知集合A＝{0，1}，则下列关系表示错误的是()A．0∈A B．{1}∈A C．∅⊆A D．{0，1}⊆A【答案】B【解析】根据元素与集合关系的表示法，0∈A，故A正确；

根据集合与集合关系的表示法，{1}⊂A，判断B假；

∅是任意集合的子集，故C正确；

根据集合子集的定义，{0，1}⊆A，故D正确；

故选B．点睛：本题考查的是集合的包含关系的判断及其应用，元素与集合关系的判断，是基础题.2．函数的定义域为（）A．(-1，2)∪(2，+∞) B．[-1，2)∪(2，+∞)C．(1，2)∪(2，+∞) D．[1，2)∪(2，+∞)【答案】B【解析】【分析】由函数有意义，得出不等式组，即可求解.【详解】由题意，函数有意义，则满足，解得且，即函数的定义域为.故选：B.【点睛】本题主要考查了具体函数的定义域的求解，其中解答中根据函数的解析式有意义，列出相应的不等式组是解答的关键，着重考查运算与求解能力.3．已知函数是定义在的周期为2的函数，当时，，则（）A．1 B．4 C．2 D．32【答案】C【解析】【分析】根据周期性可得，再通过时，可得答案.【详解】解：由已知可得.故选：C.【点睛】本题考查函数周期性的应用，是基础题.4．若，则()A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】利用对数的运算得出，从而得出，解出a即可．【详解】化为，即，所以，，40，故选D【点睛】本题考查对数的运算性质，属于基础题．5．已知扇形的周长是，面积是，则扇形的圆心角的弧度数是（）A．1 B．4 C．1或4 D．2或4【答案】C【解析】依题意，，解得或，故弧度数为或.6．已知sinα－cosα＝－，则sinαcosα等于（）A． B．－ C．－ D．【答案】C【解析】【分析】由题意得(sinα－cosα)2＝，化简即得解.【详解】由题意得(sinα－cosα)2＝，即sin2α＋cos2α－2sinαcosα＝，又sin2α＋cos2α＝1，∴1－2sinαcosα＝，∴sinαcosα＝－.故选：C.【点睛】本题主要考查同角的三角函数关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.7．在中，内角，，所对的边分别为，，.若，，则的面积为（）A．3 B． C． D．【答案】C【解析】【分析】通过余弦定理可得C角，再通过面积公式即得答案.【详解】根据余弦定理，对比，可知，于是，根据面积公式得，故答案为C.【点睛】本题主要考查余弦定理和面积公式的运用，比较基础.8．已知向量，，，若，则（）A． B．1 C． D．-1【答案】A【解析】【分析】根据，建立等式关系，可求出.【详解】由题意，，因为，所以，解得.故选：A.【点睛】本题考查向量平行的坐标表示，考查学生的计算求解能力，属于基础题.9．在等差数列{an}中，已知a4＋a8＝16，则该数列前11项和S11＝（）A．58 B．88 C．143 D．176【答案】B【解析】试题分析：等差数列前n项和公式，．考点：数列前n项和公式．10．已知不等式的解集为,则不等式的解集为(

)A．或 B．C． D．或【答案】A【解析】【分析】由不等式的解集为,可得的根为，，由韦达定理可得的值，代入不等式解出其解集即可.【详解】的解集为,的根为，即，，解得，则不等式可化为，即为，解得或，故选A.【点睛】本题考查的知识点是—元二次不等式的解法，及一元二次不等式的解集与一元二次方程的根之间的关系，其中利用韦达定理求出的值，是解答本题的关键.11．一个球的体积为，则这个球的表面积为（）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】设球的半径为,由球的体积可求得，代入表面积公式即可得到答案.【详解】设球的半径为,球的体积为,解得,则球的表面积，故选：B【点睛】本题考查球的体积，表面积公式的应用，属于简单题.12．已知点为圆:上的一点，则的最大值是（）A．2 B．4 C．9 D．16【答案】D【解析】【分析】利用表示的几何意义可求其最大值.【详解】由圆的方程可知圆心为，半径为1.可看作点距离的平方即，又即，故的最大值为16，故选：D.【点睛】本题考虑圆中的最值问题，注意转化为几何对象到圆心的距离来考虑，本题属于基础题.13．设m，n是两条不同的直线，，是两个不同的平面，（）A．若，，，则B．若，，，则C．若，，，则D．若，，，则【答案】B【解析】【分析】根据线线、线面、面面位置关系，逐项判断即可得出结果.【详解】若，，，则与相交、平行或异面，故A错误；∵，，∴，又∵，∴，故B正确；若，，，则与的位置关系不确定，故C错误；若，，，则或，异面，故D错误.故选：B.【点睛】本题主要考查线面、面面有关的命题的判定，熟记线面、面面位置关系即可，属于常考题型.14．某学校有高中学生900人，其中高一有400人，高二300人，高三200人，采用分层抽样的方法抽取一个容量为45的样本，那么高一、高二、高三各年级抽取的学生人数为（）A．30、10、5 B．25、15、5 C．20、15、10 D．15、15、15【答案】C【解析】试题分析：易知每个学生被抽取的概率.所以根据随机抽样的定义，高一、高二、高三各年级被抽取的人数为故选C考点：分层抽样15．《周髀算经》中提出了“方属地，圆属天”，也就是人们常说的“天圆地方”．我国古代铜钱的铸造也蕴含了这种“外圆内方”“天地合一”的哲学思想．现将铜钱抽象成如图所示的图形，其中圆的半径为r，正方形的边长为a（0＜a＜r），若在圆内随机取点，得到点取自阴影部分的概率是p，则圆周率π的值为（）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】计算圆形钱币的面积和正方形的面积，利用几何概型的概率公式求出p，则π可求．【详解】圆形钱币的半径为rcm，面积为S圆＝π•r2；正方形边长为acm，面积为S正方形＝a2．在圆形内随机取一点，此点取自黑色部分的概率是p1，所以π．故选：A．【点睛】本题主要考查几何概型的概率求法及应用，还考查了运算求解的能力，属于基础题.二、填空题16．国家气象局统计某市2016年各月的平均气温（单位：C）数据的茎叶图所示，则这组数据的中位数是________.【答案】20.5【解析】【分析】将茎叶图各数据从小到大排列，再根据中位数定义得结果.【详解】将茎叶图各数据从小到大排列，可得中位数为.【点睛】本题考查茎叶图以及中位数，考查基本分析求解能力，属基础题.17．已知，，且，则的最小值是______.【答案】8【解析】【分析】由整体代入法利用基本不等式即可求得最小值.【详解】，当且仅当时等号成立.故的最小值为8，故答案为：8.【点睛】本题考查基本不等式求和的最小值，整体代入法，属于基础题.18．若实数满足，则的最小值是_________.【答案】2【解析】【分析】画出可行域和目标函数，根据目标函数的几何意义得到最值.【详解】如图所示，画出不等式组表示的平面区域，可知不等式组表示的平面区域为三角形ABC所在区域，其中，可转化为直线，可知当直线过时，取得最小值为2.故答案为：2【点睛】本题考查了线性规划问题，画出图象是解题的关键.19．下表给出一个“直角三角形数阵”……满足每一列成等差数列，从第三行起，每一行的数成等比数列，且每一行的公比相等，记第i行第j列的数为等于.【答案】;【解析】由题意得表示第8行第3列的数，因为每一列成等差数列，首列为，第二列首项是，所以公差是，第8行首项是，每一行的数成等比数列，公比是，=三、解答题20．为了竖一块广告牌，要制造三角形支架，三角形支架如图所示，要求，长度大于1，且比长0.5米，（1）设，求长？（2）为了广告牌稳固，要求的长度越短越好，求最短为多少米？且当最短时，长度为多少米？【答案】（1）；（2）最短为米，当最短时，长度为米.【解析】【分析】（1）运用余弦定理建立函数表达式；

（2）分拆分式型函数式，用基本不等式求最值.【详解】设，则，∵，∴，整理得（2）令，∴，∴(当且仅当，即时取等号)综上，当米时最短，为米.【点睛】分式型函数分拆后能否用基本不等式，要遵循“一正、二定、三相等”，如果不能取等则转化为函数求最值.21．等比数列中，，.（1）求的通项公式；（2）若，设，求数列的前项和.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）直接利用等比数列的性质求出数列的首项和公比，进一步求出数列的的通项公式．（2）利用（1）的结论，进一步利用裂项相消法在数列求和中的应用求出数列的和．【详解】解：（1）依题意，，则，若，则；若，则.（2）因为，则，所以，，得数列的前项和【点睛】本题考查的知识要点：等比数列的性质，数列的通项公式，裂项相消法在数列求和，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．22．如图，在三棱锥中，平面，，，，分别是，的中点．求证：（1）平面；（2）平面．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）根据题意，得到，再由线面平行的判定定理，即可证明线面平行；（2）根据题中